Змістовна програма курсу "Диференціальні рівняння" (математика) - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Програма І робоча програма навчальної дисципліни 1 15.89kb.
Програма вступних випробувань на кваліфікаційні рівні «спеціаліст» і 1 96.92kb.
Тематично-змістовна частина курсу І семестр зм-1 Лекція 1 1 185.64kb.
Програма навчальної дисципліни пмп 08 лінійна алгебра напрям підготовки... 1 277.52kb.
Робоча програма дисципліни «Рівняння математичної фізики» 1 100.17kb.
Програма курсу "Країнознавство" включає вступну частину та два розділи. 1 235.41kb.
Мета І задачі курсу метою курсу „Системи обробки економічної інформації” 1 16.31kb.
Програма вступних випробувань з математики та методики її викладання 1 150.23kb.
Хімічні рівняння 1 57.14kb.
Робоча програма і методичні вказівки до курсу «Історія образотворчого... 1 328.73kb.
Робоча програма невідкладні стани у клініці внутрішньої медицини 6 1361.26kb.
Урок відвертих запитань «Контрактна служба в армії» До Дня Святого... 1 40.13kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Змістовна програма курсу "Диференціальні рівняння" (математика) - страница №1/4

Змістовна програма курсу

"Диференціальні рівняння" (математика)

Виникнення теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння у прикладних задачах. Основні поняття та об’єкти.

Розв’язування деяких типів диференціальних рівнянь першого порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні рівняння. Рівняння Бернуллі. Рівняння Ріккаті. Квазіоднорідні рівняння.

Скалярне автономне рівняння першого порядку. Існування та властивості розв'язку задачі Коші.

Елементи якісного аналізу лінійного рівняння. Достатні умови існування обмеженого на всій дійсній осі розвязку. Скалярне лінійне періодичне рівняння.

Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

Існування та єдиність розв’язку задачі Коші. Теорема існування Пеано. Теорема Пікара існування та єдності розв’язку. Продовження розв’язку задачі Коші.

Елементи геометричного аналізу диференціального рівняння першого порядку. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку. Поле напрямів. Інтегральні криві. Схема дослідження поведінки інтегральних кривих. Теорема Кнезера. Теорема порівняння.

Рівняння у симетричній формі та двовимірні автономні системи. Векторне поле. Автономна система. Класифікація фазових портретів автономних систем у околі положення рівноваги у лінійному наближенні. Вузол. Сідло. Дикритичний вузол. Вироджений вузол. Фокус. Центр. Про коректність методу лінеаризації. Теорема Гробмана-Хартмана. Про проблему центра и фокуса.

Неявні диференціальні рівняння. Теорема існування та єдиності розв’язку. Метод параметризації. Рівняння Клеро і Лагранжа. Геометрія неявного рівняння. Дискримінантні криві та особливі розв’язки.

Інтегрування рівнянь вищого порядку. Зниження порядку окремих типів диференціальних рівнянь вищого порядку. Рівняння, що не містять шукану функцію у явному вигляді.. Автономні рівняння. Рівняння, однорідні відносно шуканої функції та її похідних. Квазіоднорідні рівняння. Рівняння у вигляді повної похідної.

Загальна теорія лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків і загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку. Побудова лінійного однорідного рівняння за його фундаментальною системою розв’язків. Формула Остроградського-Ліувілля.

Лінійні однорідні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Випадки простих і кратних коренів характеристичного многочлена. Рівняння Ейлера. Лінійні неоднорідні рівняння. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами і квазіполіномом у правцй частині. Метод невизначених коефіцієнтів. Нерезонансний та резонансний випадки. Метод комплексных амплітуд.

Лінійні однорідні системи. Теорема існування та єдності розв’язку лінійної однорідної системи. Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Узагальнення методу Ейлера. Матрична експонента.

Лінійні неоднорідні системи. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні системи зі сталою матрицею і квазіполіноміальним вільним членом. Метод невизначених коефіцієнтів.

Коливність розв’язків лінійних однорідних рівнянь другогу порядку. Основні теореми: теорема порівняння, теорема Штурма, теорема про неколивність.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з регулярними особливими точками. Відшукання розв’язків за допомогою узагальнених степеневих рядів. Рівняння Гаусса, Лежандра и Бесселя.

Крайові задачі. Функція Гріна.

Основні властивості розв’язків систем диференціальних рівнянь. Теорема Пеано. Єдиність та продовжуваність розв’язку. Властивості розв’язків нормальної системи як функції початкових даних та параметрів. Неперервність у природній області визначення. Диференційовність розв’язку задачі Коші за початковими даними і параметрами. Асимптотичні розвинення розв’язків диференціальних рівнянь..

Теорія перших інтегралів. Означення, геометрична інтерпретація та аналітичний критерій першого інтеграла. Функціонально незалежні перші інтеграли. Повний набір перших інтегралів. Розв’язання задачі Коші за допомогою повного набору перших интегралів. Перші інтеграли автономної системи та системи у симетричній формі..

Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим. Стійкість лінійних систем. Стійкість лінійної системи зі сталою матрицею. Теорема про стійкість за першим наближенням. Функції Ляпунова. Теореми Ляпунова про стійкість. Теорема Четаєва про нестійкість.

Диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Лінійні та квазілінійні диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Метод характеристик. Задача Коші.

ЛІТЕРАТУРА

1. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. - Київ: Либідь, 2003 (3-е видання Київ: ВПЦ “Київський університет”, 2010)

2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння в задачах – Київ:Либідь, 2003

3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1985.

4. Диференціальні рівняння. Завдання для самостійної роботи./ Упорядн. В.М. Бурим та ін. – К.: ВПЦ Київський університет, 2000.

5. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння першого та вищих порядків”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1981.

6. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння вищого порядку та системи диференціальних рівнянь”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1982.

7. Перестюк М.О., Свіщук М.Я. Збірник задач з диференціальних рівнянь – Київ: Либідь, 2004.

8. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М. Наука, 1984.

9. Кривошея С.А., Перестюк М.О., Бурим В.М. Диференціальні та інтегральні рівняння – Київ: Либідь, 2004.

10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: ГИФМЛ, 1958.

11. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высш. шк., 1967.

12. Іщук В.В., Позур С.В., Капустян О.В., Мельничук О.В. Крайові задачі – К., 2005. – 35с.
Змістовна програма курсу

"Диференціальні рівняння" (механіка)

Виникнення теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння у прикладних задачах. Основні поняття та об’єкти.

Розв’язування деяких типів диференціальних рівнянь першого порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні рівняння. Рівняння Бернуллі. Рівняння Ріккаті. Квазіоднорідні рівняння.

Скалярне автономне рівняння першого порядку. Існування та властивості розв'язку задачі Коші.

Елементи якісного аналізу лінійного рівняння. Достатні умови існування обмеженого на всій дійсній осі розвязку. Скалярне лінійне періодичне рівняння.

Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

Існування та єдиність розв’язку задачі Коші. Теорема існування Пеано. Теорема Пікара існування та єдності розв’язку. Продовження розв’язку задачі Коші.

Елементи геометричного аналізу диференціального рівняння першого порядку. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку. Поле напрямів. Інтегральні криві. Схема дослідження поведінки інтегральних кривих. Теорема Кнезера. Теорема порівняння.

Рівняння у симетричній формі та двовимірні автономні системи. Векторне поле. Автономна система. Класифікація фазових портретів автономних систем у околі положення рівноваги у лінійному наближенні. Вузол. Сідло. Дикритичний вузол. Вироджений вузол. Фокус. Центр. Про коректність методу лінеаризації. Теорема Гробмана-Хартмана. Про проблему центра и фокуса.

Неявні диференціальні рівняння. Теорема існування та єдиності розв’язку. Метод параметризації. Рівняння Клеро і Лагранжа. Геометрія неявного рівняння. Дискримінантні криві та особливі розв’язки.

Інтегрування рівнянь вищого порядку. Зниження порядку окремих типів диференціальних рівнянь вищого порядку. Рівняння, що не містять шукану функцію у явному вигляді.. Автономні рівняння. Рівняння, однорідні відносно шуканої функції та її похідних. Квазіоднорідні рівняння. Рівняння у вигляді повної похідної.

Загальна теорія лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків і загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку. Побудова лінійного однорідного рівняння за його фундаментальною системою розв’язків. Формула Остроградського-Ліувілля.

Лінійні однорідні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Випадки простих і кратних коренів характеристичного многочлена. Рівняння Ейлера. Лінійні неоднорідні рівняння. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами і квазіполіномом у правцй частині. Метод невизначених коефіцієнтів. Нерезонансний та резонансний випадки. Метод комплексных амплітуд.

Лінійні однорідні системи. Теорема існування та єдності розв’язку лінійної однорідної системи. Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Узагальнення методу Ейлера. Матрична експонента.

Лінійні неоднорідні системи. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні системи зі сталою матрицею і квазіполіноміальним вільним членом. Метод невизначених коефіцієнтів.

Коливність розв’язків лінійних однорідних рівнянь другогу порядку. Основні теореми: теорема порівняння, теорема Штурма, теорема про неколивність.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з регулярними особливими точками. Відшукання розв’язків за допомогою узагальнених степеневих рядів. Рівняння Гаусса, Лежандра и Бесселя.

Крайові задачі. Функція Гріна.

Основні властивості розв’язків систем диференціальних рівнянь. Теорема Пеано. Єдиність та продовжуваність розв’язку. Властивості розв’язків нормальної системи як функції початкових даних та параметрів. Неперервність у природній області визначення. Диференційовність розв’язку задачі Коші за початковими даними і параметрами. Асимптотичні розвинення розв’язків диференціальних рівнянь..

Теорія перших інтегралів. Означення, геометрична інтерпретація та аналітичний критерій першого інтеграла. Функціонально незалежні перші інтеграли. Повний набір перших інтегралів. Розв’язання задачі Коші за допомогою повного набору перших интегралів. Перші інтеграли автономної системи та системи у симетричній формі..

Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим. Стійкість лінійних систем. Стійкість лінійної системи зі сталою матрицею. Теорема про стійкість за першим наближенням. Функції Ляпунова. Теореми Ляпунова про стійкість. Теорема Четаєва про нестійкість.

Диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Лінійні та квазілінійні диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Метод характеристик. Задача Коші.

ЛІТЕРАТУРА

1. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. - Київ: Либідь, 2003 (3-е видання Київ: ВПЦ “Київський університет”, 2010)

2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння в задачах – Київ:Либідь, 2003

3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1985.

4. Диференціальні рівняння. Завдання для самостійної роботи./ Упорядн. В.М. Бурим та ін. – К.: ВПЦ Київський університет, 2000.

5. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння першого та вищих порядків”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1981.

6. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння вищого порядку та системи диференціальних рівнянь”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1982.

7. Перестюк М.О., Свіщук М.Я. Збірник задач з диференціальних рівнянь – Київ: Либідь, 2004.

8. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М. Наука, 1984.

9. Кривошея С.А., Перестюк М.О., Бурим В.М. Диференціальні та інтегральні рівняння – Київ: Либідь, 2004.

10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: ГИФМЛ, 1958.

11. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высш. шк., 1967.

12. Іщук В.В., Позур С.В., Капустян О.В., Мельничук О.В. Крайові задачі – К., 2005. – 35с.
Змістовна програма курсу

"Диференціальні рівняння" (статистика)

Виникнення теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння у прикладних задачах. Основні поняття та об’єкти.

Розв’язування деяких типів диференціальних рівнянь першого порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні рівняння. Рівняння Бернуллі. Рівняння Ріккаті. Квазіоднорідні рівняння.

Скалярне автономне рівняння першого порядку. Існування та властивості розв'язку задачі Коші.

Елементи якісного аналізу лінійного рівняння. Достатні умови існування обмеженого на всій дійсній осі розвязку. Скалярне лінійне періодичне рівняння.

Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

Існування та єдиність розв’язку задачі Коші. Теорема існування Пеано. Теорема Пікара існування та єдності розв’язку. Продовження розв’язку задачі Коші.

Елементи геометричного аналізу диференціального рівняння першого порядку. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку. Поле напрямів. Інтегральні криві. Схема дослідження поведінки інтегральних кривих. Теорема Кнезера. Теорема порівняння.

Рівняння у симетричній формі та двовимірні автономні системи. Векторне поле. Автономна система. Класифікація фазових портретів автономних систем у околі положення рівноваги у лінійному наближенні. Вузол. Сідло. Дикритичний вузол. Вироджений вузол. Фокус. Центр. Про коректність методу лінеаризації. Теорема Гробмана-Хартмана. Про проблему центра и фокуса.

Неявні диференціальні рівняння. Теорема існування та єдиності розв’язку. Метод параметризації. Рівняння Клеро і Лагранжа. Геометрія неявного рівняння. Дискримінантні криві та особливі розв’язки.

Інтегрування рівнянь вищого порядку. Зниження порядку окремих типів диференціальних рівнянь вищого порядку. Рівняння, що не містять шукану функцію у явному вигляді.. Автономні рівняння. Рівняння, однорідні відносно шуканої функції та її похідних. Квазіоднорідні рівняння. Рівняння у вигляді повної похідної.

Загальна теорія лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків і загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку. Побудова лінійного однорідного рівняння за його фундаментальною системою розв’язків. Формула Остроградського-Ліувілля.

Лінійні однорідні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Випадки простих і кратних коренів характеристичного многочлена. Рівняння Ейлера. Лінійні неоднорідні рівняння. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами і квазіполіномом у правцй частині. Метод невизначених коефіцієнтів. Нерезонансний та резонансний випадки. Метод комплексных амплітуд.

Лінійні однорідні системи. Теорема існування та єдності розв’язку лінійної однорідної системи. Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Узагальнення методу Ейлера. Матрична експонента.

Лінійні неоднорідні системи. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні системи зі сталою матрицею і квазіполіноміальним вільним членом. Метод невизначених коефіцієнтів.

Коливність розв’язків лінійних однорідних рівнянь другогу порядку. Основні теореми: теорема порівняння, теорема Штурма, теорема про неколивність.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з регулярними особливими точками. Відшукання розв’язків за допомогою узагальнених степеневих рядів. Рівняння Гаусса, Лежандра и Бесселя.

Крайові задачі. Функція Гріна.

Основні властивості розв’язків систем диференціальних рівнянь. Теорема Пеано. Єдиність та продовжуваність розв’язку. Властивості розв’язків нормальної системи як функції початкових даних та параметрів. Неперервність у природній області визначення. Диференційовність розв’язку задачі Коші за початковими даними і параметрами. Асимптотичні розвинення розв’язків диференціальних рівнянь..

Теорія перших інтегралів. Означення, геометрична інтерпретація та аналітичний критерій першого інтеграла. Функціонально незалежні перші інтеграли. Повний набір перших інтегралів. Розв’язання задачі Коші за допомогою повного набору перших интегралів. Перші інтеграли автономної системи та системи у симетричній формі..

Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим. Стійкість лінійних систем. Стійкість лінійної системи зі сталою матрицею. Теорема про стійкість за першим наближенням. Функції Ляпунова. Теореми Ляпунова про стійкість. Теорема Четаєва про нестійкість.

Диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Лінійні та квазілінійні диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Метод характеристик. Задача Коші.

ЛІТЕРАТУРА

1. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. - Київ: Либідь, 2003

2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння в задачах – Київ:Либідь, 2003

3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1985.

4. Диференціальні рівняння. Завдання для самостійної роботи./ Упорядн. В.М. Бурим та ін. – К.: ВПЦ Київський університет, 2000.

5. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння першого та вищих порядків”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1981.

6. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння вищого порядку та системи диференціальних рівнянь”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1982.

7. Перестюк М.О., Свіщук М.Я. Збірник задач з диференціальних рівнянь – Київ: Либідь, 2004.

8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: ГИФМЛ, 1958.

9. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высш. шк., 1967.


Змістовна програма курсу

"Інтегральні рівняння та елементи функціонального аналізу"

Поняття інтегрального рівняння. Інтегральні рівняння у прикладних задачах. Класифікація інтегральних рівнянь.

Рівняння Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром. Зведення питання розв’язності інтегрального рівняння до питання розв’язності системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Визначник Фредгольма. Характеристичні числа, власні функції. Спряжене рівняння. Теореми Фредгольма . Альтернатива Фредгольма.

Принцип стислих відображень. Теорема Банаха. Узагальнення теореми Банаха. Застосування принципу стислих відображень до розв’язання рівняння Фредгольма 2-го роду та рівняння Вольтерра 2-го роду. Застосування принципу стислих відображень до розв’язання деяких класів нелінійних інтегральних рівнянь.

Лінійні нормовані простори. Банахові простори. Лінійні оператори.

Неперервність та обмеженість. Норма лінійного оператора. Простір лінійних обмежених операторів. Збіжність у просторі .

Добуток лінійних неперервних операторів. Обернений оператор. Властивості оберненого оператора. Теорема Банаха (про обернений оператор).

Рівняння Фредгольма 2-го роду . Ряд Неймана. Повторні ядра. Резольвента. Властивості резольвенти. Рівняння Вольтерра 2-го роду. Побудова резольвенти.

Теореми Фредгольма для рівняння Фредгольма 2-го роду з неперервним ядром.

Резольвентна множина та спектр лінійного оператора.

Компактні оператори. Властивості. Гільбертів простір. Спряжений оператор. Рівняння Ріса-Шаудера. Симетричні оператори в гільбертовому просторі. Компактні симетричні оператори в гільбертовому просторі. Власні значення та власні вектори компактного симетричного оператора .

Процес ортогоналізації системи лінійно незалежних елементів у лінійному просторі зі скалярним добутком.

Теорема Гільберта-Шмідта. Застосування теореми Гільберта-Шмідта до розв’язання операторних рівнянь. Формули Шмідта. Інтегральні рівняння з симетричним ядром.

Поняття коректно поставленої задачі. Аналіз інтегрального рівняння Фредгольма 1- го роду з точки зору коректності постановки задачі.

Рівняння Вольтерра 1-го роду. Зведення до рівняння Вольтерра 2-го роду.

Інтегральні рівняння Вольтерра з ядром . Рівняння Абеля.

Інтегро-диференціальні рівняння. Приклади задач, які приводять до інтегро- диференціальних рівнянь. Інтегро-диференціальні рівняння з інтегральними оператороми типа Вольтерра і Фредгольма.

ЛІТЕРАТУРА

1. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения.- М.: МГУ, 1989.

2. Краснов М.П. Интегральные уравнения.-М.: Наука, 1975.

3. Михлин С.Т. Лекции по линейным дифференциальным уравнениям.- М.:Наука, 1959.

4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1981.

5. Краснов М.П. Интегральные уравнения: задачи и упражнения.-М.:Наука, 1976.

6. Головач Г.П., Калайда О.Ф. Збірник задач з диференціальних та інтегральних рівнянь.- Київ:Техніка, 1989.


Змістовна програма курсу

"Варіаційне числення та методи оптимізації"

Теорема Вейєрштрасса для напівнеперервних знизу функцій. Теорема Вейєрштрасса для напівнеперервних знизу функцій в банаховому просторі.

Теорема про апроксимацію в нормованому просторі. Теорема єдиності. Теорема про апроксимацію в гільбертовому просторі. Теорема про відокремлення. Теорема про відокремлення в широкому сенсі. Теорема про нетривіальність спряженого конуса.

Елементарна задача лінійного програмування. Терема Куна-Такера. Теорема Куна Таккера у формі сідлової точки.

Похідні в нормованому просторі (означення, теорема про зв’язок, контрприклади). Теорема про суперпозицію. Теорема про середнє. Похідні вищих порядків (означення, простір білінійних форм, теорема про ізоморфізм). Необхідні і достатні умови екстремуму в гладких задачах без обмежень.

Лема про замкненість образу. Лема про анулятор підпростору. Лема про анулятор ядра регулярного оператора. Теорема Люстерника.

Теорема про необхідні умови екстремуму в гладких задачах з обмеженнями типу рівностей. Теорема про необхідні умови екстремуму в гладких задачах з обмеженнями типу нерівностей.

Лема Лагранжа. Лема Дюбуа-Реймона. Необхідні умови слабкого локального міні-муму в задачі Больца. Необхідні умови слабкого локального мінімуму в задачі Лагранжа. Необхідні умови слабкого локального мінімуму в класичній ізопериметричній задачі. Необхідні умови слабкого локального мінімуму в загальній ізопериметричній задачі.

Векторна лема Дюбуа-Реймона. Посилена лема Дюбуа-Реймона. Необхідні умови слабкого локального мінімуму в векторній задачі Лагранжа. Необхідні умови слабкого локального мінімуму в векторній задачі Больца. Необхідні умови слабкого локального мінімуму в задачі зі старшими похідними. Необхідні умови сильного локального мінімуму в задачі Лагранжа для кусково-гладких функцій. Необхідні умови Вейєрштрасса сильного локального мінімуму. Лема про спрямлення кутів. Необхідні умови слабкого локального мінімуму 2-го порядку.

Функція Беллмана. Теорема про властивості функції Беллмана. Теорема Беллмана, рівняння Беллмана. достатні умови оптимальності в термінах рівняння Беллмана. Аналітичне конструювання лінійного регулятора.

Принцип максимуму Понтрягіна. Принцип максимуму Понтрягіна в задачі Больца. Принцип максимуму Понтрягіна в задачі оптимальної швидкодії. Достатні умови оптимальності в формі принципу максимуму.

ЛІТЕРАТУРА



  1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – М.: Наука, 1979. – 425с.

  2. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. – М.: Мир, 1974. – 315с.

  3. Алексеев В.М., Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. – М.: Наука, 1984. – 265с.

  4. Перестюк М.О., Станжицький О.М., Капустян О.В. Екстремальні задачі. Навчаль­ний посібник – К.: ВПЦ Київський університет, 2004. – 50 с.

  5. Перестюк М.О., Станжицький О.М., Капустян О.В. Задачі оптимального керу­вання. Навчальний посібник – К.: ТВіМС, 2004. – 55 с.

  6. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. – М.: Мир, 1973. – 250с.

  7. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. – М.: Наука, 1980. – 318с.

  8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1981. – 460с.

  9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972. – 544с.

  10. Моклячук М.П. Варіаційне числення. Екстремальні задачі. – К.: Либідь, 1994. – 328с.

  11. Пономаренко А.И., Леоненко Н.Н., Борисенко А.Д. Учебные задания к лабора­торным занятиям по курсу методы оптимизации. – К.: КГУ, 1986. – 40с.

следующая страница >>