Задача 1 Найти критические точки функции f(X,Y), принадлежащие области D - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Задача 1 Найти критические точки функции f(X,Y), принадлежащие области D - страница №1/1

    Указания к выполнению контрольной работы № 1

    Задача 1

        1. Найти критические точки функции f(X,Y), принадлежащие области D.

        2. Исследовать функцию f(X,Y) на условный экстремум на границе области D.

        3. Выбрать наибольшее Zmax и наименьшее Zmin значения функции Z=f(X,Y) в замкнутой области D, вычмслить значения функции в критических точках внутри области и на её границе.

        4. В ответе записать Zmin, Zmax и координаты (Xmin,Ymin) и (Xmax,Ymax) точек, где достигаются эти значения. Изобразить графически область D и поместить на ней найденные точки (Xmin,Ymin) и (Xmax,Ymax).

    Задача 2

        1. Найти градиент функции U(X,Y) в точке М.

        2. Найти вектор Е, задающий направление.

        3. Вычислить производную функции U(X,Y) по направлению вектора E как проекцию градиента U в точке М на направление вектора Е.

    Задача 3

        1. Найти вектор N(X,Y,Z) нормали к поверхности S в произвольной точке M(X,Y,Z).

        2. Найти вектор N1 нормали к плоскости P.

        3. Найти точку M0(X0,Y0,Z0) на поверхности S, касательная плоскость в которой параллельна плоскости P, используя условие коллинеарности векторов N и N1.

        4. Написать уравнение искомой плоскости. Если задача имеет более одного решения, в ответе написать уравнения всех плоскостей, удовлетворяющих данному условию.

    Задача 4

        1. Стационарные точки функции F(X,Y) определяются как решение системы уравнений:

c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_007.gif; c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_005.gif

        2. Полученная в п.1 система имеет вид:



c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_006.gif

    Умножим первое из уравнений на d2, а второе на (-d1) и сложим их. (Если числа d1 и d2 имеют общие множители, то домножать нужно на недостающие множители). Получим однородное относительно неизвестных х и у уравнение: c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_008.gif. Поделим его на у2 и решим его как квадратное уравнение относительно х/у, получим линейную зависимость между х и у:



c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_010.gif; c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_003.gif

    Подставляя найденные выражения для х в любое из уравнений первоначальной системы, вычислим значения у, а затем и х.

        3. Исследуем найденные в п.2 стационарные точки (х, у) на экстремум.

    Для этого вычислим вторые производные функции F. Обозначим повторную производную по х через A(х, у), повторную производную по у через С(х, у) и смешанную производную по х и у чеpез В(х, у). Достаточным условием существования экстремума в стационарной точке (х, у) является выполнение неравенства: АВ – С2 > 0. Если при этом A > 0, то (х, у) является точкой локального минимума, а если A < 0, то (х, у) - точка локального максимума. В случае АВ – С2 < 0 в стационарной точке экстремума нет.

    Отчет о работе должен содержать:

        1) Все частные производные первого и второго порядка функции F(х, у).

        2) Решение системы уравнений, определяющей стационарные точки.

        3) Исследование стационарных точек на экстремум с помощью достаточного условия экстремума.

        4) Ответ записать в виде таблицы. В таблице указать:

        - координаты всех стационарных точек, записанных в виде десятичных дробей с двумя знаками после запятой;

        - значения функции F в стационарных точках, также записанные в виде десятичных дробей;

        - около каждой стационарной точки написать, является ли она точкой локального максимума, локального минимума или не является точкой экстремума.


    1. Найти все частные производные первого порядка функции c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_009.gifи написать формулу первого дифференциала для этой функции. Найти дифференциал в точке c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_018.gif([4], стр. 192-196).

c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_004.gifM0(1; 2; -2)

    2. Найти все частные производные второго порядка функции c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_016.gifи написать формулу второго дифференциала для этой функции. Найти значение второго дифференциала в точке c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_011.gif([4], стр. 197-199).



c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_013.gif; M0(1; 1)

    3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_017.gifв замкнутой области D, задаваемой неравенством: c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_012.gif([4], стр. 206-207).

    4. Найти производную функции

c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_014.gif

в точке M(1; 1,2) в направлении вектора MN; N(7; -7). ([4], стр. 200-201).

    5. Для поверхности S: c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_002.gifнайти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости P:

c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html_015.gif([4], стр. 203-204).

    6. Найти экстремумы функций двух переменных



c:\users\viktor\desktop\matan\h_html.ashx_files\h_html.gif

определив её стационарные точки и проверив каждую из них с помощью достаточных условий экстремума. ([4], стр. 204-205).


izumzum.ru