Внеклассное мероприятие «Час занимательной математики» в 5-а классе - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Внеклассное мероприятие по физике «Звездный час». Разноуровневая... 2 648.54kb.
Внеклассное мероприятие «своя игра» учитель информатики Минальд Наталья... 1 51.38kb.
Внеклассное мероприятие в 7 классе «Словари русского языка» 1 67.44kb.
«Калейдоскоп творческих идей. Методическая разработка Внеклассного... 1 79.91kb.
Внеклассное мероприятие «Математическое казино» разработала, Новикова... 1 53.4kb.
Внеклассное мероприятие в 4 классе по теме «All the animals are friends» 1 33.06kb.
Внеклассное мероприятие по математике 1 145.34kb.
Внеклассное мероприятие по математике для 5-х классов 1 129.25kb.
Внеклассное мероприятие. Устный журнал по теме: " История возникновения... 1 72.07kb.
Внеклассное мероприятие по английскому языку "Iamlucky!" 1 186.5kb.
Внеклассное мероприятие "Математика царица наук!" Учитель математики: О. 1 69.56kb.
Книга первая о наиболее общем различии между философами] > о рассуждениях... 9 2427.49kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Внеклассное мероприятие «Час занимательной математики» в 5-а классе - страница №1/1

Содержание:
1.Урок занимательной математики в 5 классе 2

2.Внеклассное занятие в 7 классе 8

3.Внеклассное мероприятие в 8 классе «Звездный час» 15

4. Конференция для 8-9 классов «Листая страницы истории» 23

5. Конференция для 10-11 классов «Математика и музыка» 48

Внеклассное мероприятие

«Час занимательной математики»

в 5-а классе

Главная цель мероприятия – активизировать познавательную деятельность учащихся, работать над повышением мотивации учебой деятельности, прививать интерес к предмету.

Задачи:


  1. Активизация и развитие познавательных процессов учащихся (восприятия, внимания, памяти, наблюдательности, сообразительности);

  2. Повторение и закрепление знаний, приобретенных на уроках;

  3. Расширение кругозора и математической культуры учащихся;

  4. Создание деятельной обстановки в процессе игры;

  5. Внедрение мультимедийных технологий в познавательный процесс.

Тип занятия: урок-игра.

Форма: групповая.

Участники игры – учащиеся 5-а класса. Предварительная подготовка включала следующее:



  • подбор материала для конкурсов;

  • организация команд;

  • организация помощников и жюри;

  • раздаточные карточки с заданиями;

  • жетоны (1 жетон – 1 «ум»);

  • мультимедийная презентация.

Структура внеклассного мероприятия:

  1. организационный момент;

  2. актуализация. Вступительное слово учителя;

  3. представление членов жюри;

  4. представление команд;

  5. разминка команд;

  6. конкурс команд;

  7. конкурс болельщиков;

  8. конкурс капитанов;

  9. подведение итогов игры.

Ход игры:

I. Организационный момент.

II. Актуализация. Вступительное слово учителя.

Значительная часть игр ребенка рассчитана на то, чтобы освежать и возбуждать в уме процессы воспроизведения, чтобы неугасимо поддерживать искры мысли… И.А. Сикорский

«Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным».

Блез Паскаль

С тех пор, как существует мироздание

Такого нет, кто б не нуждался в знанье.

Какой мы не возьмем язык и век –

Всегда стремился к знанью человек…

Мы рады приветствовать всех собравшихся. Приветствуем всех, кто любит математику, кто учит математику, кто занимается и увлекается математикой.



III. Представление членов жюри, помощников. Объявление правил оценки команд.

За каждый правильный ответ даётся жетон стоимостью 1 «ум». Победителем считается команда, набравшая большее количество «умов».



IV. Представление команд.

V. Разминка команд.

В качестве разминки командам предлагается отгадать загадки [4].



Вопросы командам девочек:

  1. Живут два друга,

  2. Глядят в два круга. (глаза или очки)

  3. Две сестрёнки – две плетёнки

  4. Из овечьей шерсти тонкой.

  5. Как гулять – так одевать,

  6. Чтоб не мёрзли пять да пять. (варежки)





Вопросы командам мальчиков:

  1. Растёт дуб, у него 12 суков, 52 ветки, на каждой ветке по 7 листьев. (год, 12 месяцев, 52 недели, 7дней)

  2. 101 брат и все в один ряд

  3. Вместе связаны стоят. (изгородь)

Вопросы болельщикам:

  1. Два сына и два отца съели три яйца. По сколько яиц съел каждый? (по одному, дед, сын, внук)

  2. На столе лежали конфеты в кучке.

  3. Две матери, две дочери, да бабушка с внучкой

  4. Взяли конфеты по одной штучке,

  5. И не стало этой кучки.

  6. Сколько было конфет в кучке? (3, бабушка, мама, внучка)

VI. Конкурс команд.

Задание: Занимательный квадрат [4].

Вопрос командам девочек:

В этом квадрате нужно разместить еще числа 2, 2, 2, 3, 3, 3 так, чтобы в сумме получилось число 6.



http://festival.1september.ru/articles/580529/1.gif

Вопрос командам мальчиков:

Расставить в клетках квадрата числа 1, 4, 6, 7, 8, 9 так, чтобы в сумме получилось число 15.



http://festival.1september.ru/articles/580529/2.gif

Задание: Ребусы [4]

Вопрос командам девочек:

http://festival.1september.ru/articles/580529/4.gif

Ответ: родина.

Вопрос командам мальчиков:

http://festival.1september.ru/articles/580529/3.gif

Ответ: нагар.
Задание: Глядя на чертёж [4]

Вопрос командам девочек:

Сколько всего треугольников и четырехугольников вы видите на этом чертеже?



http://festival.1september.ru/articles/580529/5.gif

Ответ: треугольников – 4, четырехугольников – 6.

Вопрос командам мальчиков:

Сколько треугольников и четырехугольников на чертеже?



http://festival.1september.ru/articles/580529/6.gif

Ответ: треугольников – 8, четырехугольников – 6
Задание: Логические задачи [4]

Вопрос командам девочек:

Какой круг лишний?



http://festival.1september.ru/articles/580529/7.gif

Ответ: 2-й.

Вопрос командам мальчиков:

Какое число надо поставить в пустую клетку таблицы?



http://festival.1september.ru/articles/580529/8.gif

Ответ: 81.
Задание: Равенства со спичками

Вопрос командам девочек [1]:

Переложите одну спичку в левой части каждого из числовых равенств так, чтобы получилось верное равенство.

X I = V I I + I I

X = I I I + I I

Ответы: I X = V I I + I I; V = I I I + I I.

Вопрос командам мальчиков [5]:

Переложите одну спичку в правой части каждого из числовых равенств так, чтобы получилось верное равенство.

V I = V + I I I

V I = V I I + I I

Ответы: V I = I V + I I; V I = V I I I – I I.

Задание: “Задачи-смекалки”

Вопрос командам девочек: “Возможна ли солнечная погода?”

Если поздней осенью в 10 часов вечера идёт дождь, то возможна ли через 48 часов солнечная погода?

Ответ: нет, т.к. будет 10 часов вечера.

Вопрос командам мальчиков: “Закрывают ли магазины?”

Магазины при десятичасовом рабочем дне открываются в 8 часов утра и закрываются в 7 часов вечера. Закрывается ли магазин на обеденный перерыв?

Ответ: Да, т.к. с момента открытия до момента закрытия проходит 11 часов, а не 10.
VII. Конкурсы болельщиков.

Продолжи пословицу


  • Не имей … рублей,

  • А имей … друзей. (сто, сто)

  • … раз отмерь,

  • … раз отрежь. (семь, один)

  • За … зайцами погонишься –

  • Ни … не поймаешь. (двумя, одного)

  • Ум хорошо, а … лучше. (два)

V111. Конкурс капитанов.

Задание: Решить задачу “Какое число я задумал”.

Я задумал число, прибавил к нему 12, полученную сумму умножил на 3 и получил 48. Какое число я задумал?



Ответ: 4.

Задание: Назовите наибольшее двузначное число.



Ответ:99.

Задание: Сколько секунд в одном часе?



Ответ:3600.

Задание: На какое число делить нельзя?



Ответ: На ноль.

1X. Подведение итогов игры:

  • объявляется команда-победитель.

Слово учителя:

Наша игра подошла к концу. Всем большое спасибо за участие! Хочу закончить наше мероприятие словами из стихотворения С.Маршака “Пожелание друзьям”.

Желаю вам цвести, расти,

Копить, крепить здоровье,

Оно для дальнего пути –

Главнейшее условие.

Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет,

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет.

Вам от души желаю я,

Друзья, всего хорошего.

А всё хорошее, друзья,

Даётся нам не дёшево.




Литература

  1. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М: «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

  2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл.сред.шк. – 5-е изд. – М: Просвещение, 1988. –160с.: ил.

  3. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб.пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1995. – 80с., ил.

  4. Коваль С. От развлечения к знаниям. WYDWNICTWF. WFRSZAWA. 1975.

  5. Болховитинов В.Н. Твое свободное время. М: «Детская литература». 1970.

Внеклассное мероприятие по математике в 7 классе.

Учитель: Тимофеева С.А

Тема мероприятия: «Математическая мозаика»




Цель мероприятия:


  • Расширение кругозора и привитие интереса к математике.

  • Развитие сообразительности, находчивости, тренировка памяти.

  • Воспитание внимания, ответственности


Структура мероприятия.


  • Слово учителя

  • Числовые суеверия

  • Единица, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять

  • Выступление учащихся о числах

  • Головоломки

  • Поговорки

  • Обобщение о числах

  • Викторина

  • Подведение итогов



Слово учителя

Древнегреческий математик Пифагор (4 век до н.э.) считал что число сущность всех вещей, и что вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений. Математика и числовая мистика были фантастически перепутаны в учении пифагорейцев. Однако из этого мистического учения выросла точная наука.


Числовые суеверия
Каждое число в древности считалось самым главным и почитаемым. На ряду с развитием науки о числах появились и различные суеверия. За каждым числом считалось скрывается тайна.
Единица – дух из которого происходит весь мир



  • Вот один иль единица очень тонкая как спица

  • Единица есть разум, добро ,гармония , счастье

  • Единица есть материя тьма, хаос

  • Единица есть матерь всех чисел

  • Единица – наименьшее натуральное число

  • Единица не относится ни к простым, ни к составным

  • Единица является единственным натуральным числом, имеющим только один делитель

  • Единица является делителем каждого натурального числа

  • Единица единственно натуральное число, n-я степень равна тому же числу

  • После умножения (или деления) какого-нибудь числа на единицу это число не меняется


Два – есть начало неравенства, противоречия, оно есть мнение, ибо в мнении встречается истина с ложью.


  • А вот это цифра два полюбуйся какова: выгибает двойка шею, волочится хвост за нею.

  • Два происходит от единицы

  • Два единственное простое чётное число


Три – божественное число, святое, символ веры и совершенства в предметах и явлениях мира.


  • А за двойкой посмотри выступает цифра три. Тройка третий из значков состоит из трёх крючков.

  • Три наименьшее простое нечётное число

  • Три единственное число натурального ряда, которое равно сумме всех предыдущих натуральных чисел: 3=1+2

  • Три выражает треугольник

  • Богиня охоты Диана имела три лица

  • В сказке «Илья Муромец и соловей- разбойник» три старика дали Илье напиться воды, после чего он почувствовал в себе огромную силу, хотя до этого 30 лет болел и не слезал с печки

  • Всем известен христианский праздник «Троица»



Четыре – символ веры, равенства и справедливости


  • За тремя идёт четыре, острый локоть оттопыря.

  • Четыре – квадратное число.

  • Из первых четырёх чисел натурального ряда можно получить числа первого десятка.

  • 1+4=5

  • 2+4=6

  • 3+4=7

  • 1+3+4=8

  • 2+3+4=9

  • 1+2+3+4=10


Пять

  • А потом пошла плясать по бумаге цифра пять, руку вправо потянула, ножку в лево изогнула.

  • Пять есть сумма первого чётного числа и первого нечётного числа.

  • 5=2+3


Шесть


  • Цифра шесть – дверной замочек: сверху крюк, внизу кружочек.



Семь – синоним полноты, совершенства, появляется всюду, где была тайна



  • Вот семёрка кочерга, у неё одна нога.

  • Семь составлена из чисел 3 и 4

  • Семь дней творения

  • Семь дней в неделе

  • Семь музыкальных звуков

  • Семь цветов радуги


Восемь.

  • У восьмёрки два кольца без начала и конца.


Девять – символ постоянства, мужества, стойкости


  • Цифра девять иль девятка-

  • Цифровая акробатка,

  • Если на голову встанет,

  • Цифрой шесть девятка станет.




  • Жюри на олимпийских играх в древней Греции состояло из девяти судей.




  • Существовало девять мусс, покровительниц искусства и науки.




  • В русских сказках действие часто происходит в «тридевятом царстве» за «тридевять земель» .




  • Название картины Айвазовского «Девятый вал» также отражает народные поверья о силах природы, из которых девятое наиболее грозное


Десять
Это сумма чисел 1+2+3+4=10. Десять изображали треугольным числом. Это совершенный треугольник и клятва наша. Вселенная построена так: около «центра огня» вращается десять небесных тел на десяти сферах, все эти тела расположены от «центра огня» на расстояниях, которые находятся в гармоническом отношении между собой, соответственно музыкальным интервалом. А потому звуки, которые возникают при движении десяти небесных тел образуют гармоническую музыку вращающихся сфер, музыку, Вселенной.

Головоломки




  1. У семерых братьев по одной сестре. Много ли это?

  2. Ты, да я, да мы с тобой. Много ли нас стало?

  3. шёл муж с женой, да брат с сестрой, да шурин с зятем, много ли всех?

  4. Шли гурьбой: тёща с зятем, да муж с женой, мать с дочерью, да бабушка с внучкой, да дочь с отцом, много ли всех?

  5. Летела стая тетеревов, села на деревья, по два на дерево сядут – одно дерево лишнее, по одному сядут – один тетерев лишний, много ли деревьев и тетеревов?

  6. Отгадай число, если половина – треть этого числа

  7. Требуется расставить знаки «+» и «- » слева от знака равенства так, чтобы получилось число 15.

847354=15
Поговорки (с применением чисел)


  • Седьмая вода на киселе

  • За один раз не срубишь

  • За двумя зайцами погонишься, ни одного не поймаешь

  • Двое пашут, семеро машут

  • Сто голов – сто умов

  • Первый блин комом

  • Бабушка надвое сказала

  • Семеро одного не ждут


Викторина (блиц – опрос)


  1. Первая группа греческого алфавита

  2. утверждение с доказательством

  3. длина замкнутого круга

  4. какое число делится на все числа без остатка

  5. Результат проделанных действий

  6. Раздел математики, изучающей фигуры

  7. Результат умножения

  8. как называется угол, равный 180º

  9. Место, которое занимает цифра в записи числа

10. Можно ли делить на ноль

11. Отрезок соединяющий точку окружности и центр

12. Первое число при делении

13. Раздел математики, изучающий фигуры

14. Запись состоящая из одной или нескольких цифр

15. Результат умножения




Вывод:


  1. божественное число

  2. храброе число

  3. символ совершенства

  4. символ веры

  5. символ правосудия

  6. символ течения времени

  7. священное число

  8. символ смерти

  9. число премудрости, постоянства, мужества

  10. треугольное число

Подведение итогов. Награждения.



Литература


  1. Ю. В. Щербакова « Занимательная математика на уроках»

  2. Т.А. Лепёхина « Математическое ассорти»

  3. Газета «Математика»

  4. Презентация прилагается

Внеклассное мероприятие «Звездный час», 8 класс

Предмет математики столь серьёзен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным».

Блез Паскаль

Правила игры:

  • За каждый правильный ответ игрок получает 1 балл.

  • Если и его партнер правильно отвечает на вопрос, то они получают звезду.

  • Если игрок ответил неправильно, а партнёр – правильно, то звезда не даётся.

  • На обдумывание каждого вопроса дается 5 сек.

  • После каждого тура (а их - четыре) будет отсеиваться одна пара игроков, набравшая наименьшее количество очков.

  • Если у нескольких пар число очков окажется одинаковым, то будут учитываться полученные ими звезды.

  • В супер-игре сразятся две пары, дошедшие до финала.





  • Кто из них является автором учебника для детей под названием «Арифметика?»

  • Кому принадлежат слова: «Вдохновение нужно в геометрии, как в поэзии»?





  • Какой четырёхугольник по очень важному признаку является лишним?

  • Какая из этих фигур обладает наибольшим количеством свойств?

  • Для какого четырёхугольника имеет смысл выражение: «Найдите среднюю линию»?







  • Кто из этих учёных с большой точностью вычислил значение числа пи?

  • Кто из этих учёных участвовал в атлетических состязаниях и на олимпийских играх был дважды увенчан лавровым венком за победу в кулачном бою?

  • Этот учёный сформулировал следующие теоремы:

  • 1) «Вертикальные углы равны»

  • 2) «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны»



  • По моему, все это единицы измерения длины. Так ли это?

  • Расположите единицы длины в порядке убывания.




  • Все ли фигуры симметричны?



  • Эти учёные жили в разные эпохи, но их объединяет то, что каждый из них пытался доказать аксиому параллельных прямых.

  • Я думаю, что сначала жил Гаусс, затем Евклид и уже потом Лобачевский. Так ли это?

  • Кто из них уже в 24 года был профессором университета?



  • Какая из этих фигур по одному очень важному признаку является лишней?





  • На каком из рисунков изображён график обратной пропорциональности?



IV тур

Задание

В корзине лежат буквы. Участникам игры требуется из них составить слова. Победит тот, кто составит самое длинное слово. Если количество букв в словах участников будет одинаковым, то побеждает тот, у кого больше составлено слов. Собственные и нарицательные слова во множественном числе засчитываться не будут. Участники игры вместо недостающей буквы могут использовать звезду. На выполнение задания отводится две минуты. Болельщики тоже участвуют в этом туре.



Ф И Н А Л

АРИФМЕТИКА

Из слова «арифметика» нужно составить как можно больше слов. Каждую букву разрешается использовать столько раз, сколько она встречается в этом слове, т.е. буквы «а» и «и» – два раза, а остальные – по одному. Тот, кто назовёт последнее слово, – победит.






«Листая страницы истории»

(математическая конференция)

8-9 класс

Цели и задачи: 1.Активизация познавательной деятельности учащихся.

2.Мотивация к самостоятельной индивидуальной

творческой работе.

3.Углубление и расширения предметных знаний.

4.Стремление разнообразить формы познавательной деятельности по предмету.

План конференции:


  • Вступительное слово учителя

  • Страница первая « Из истории Древнего мира»

  • Страница вторая «Галерея великих математиков»

  • Страница третья «Восток. Средние века»

  • Страница четвёртая «Отрицательные числа»

  • Страница пятая» Создание языка алгебры»

Сегодня мы совершим путешествие к истокам старейших наук - алгебры и геометрии. Мы прочитаем пять исторических страниц.


Страница первая. « Из истории Древнего мира.»
Сообщение о зарождении алгебры

Алгебра зарождалась и развивалась постепенно в недрах арифметики в связи с задачей решения уравнений. Ещё в глубокой древности египтяне, вавилоняне и индийцы владели первоначальными элементами алгебры; они умели по условиям задачи составлять уравнения и решать некоторые из них.

На вавилонских клинописных пластинках и египетских папирусах содержится ряд задач, которые можно решить составлением уравнений. Вавилонские математики решали их с помощью специальных таблиц и правил, которыми предписывалась последовательность действий, однако они ещё не знали буквенных обозначений величин, и общих приемов решения алгебраических задач у них не было. В Древнем Египте при решении таких задач для обозначения неизвестного числа был установлен особый значок, называли его хау, что в переводе на русский значит «куча»

В  Древнем  Египте  математические  правила, нужные  для  земледелия, астрономии  и  строительных  работ  записывались  на  стенах  храмов  или  папирусах. Еще  4 тыс. лет  назад   они  решали  практические  задачи  по  арифметике, алгебре  и геометрии, причем  в  арифметике  пользовались  не  только  целыми  числами, но  и  дробями. Высшим  достижением  египетской  математики  является  точное  вычисление  объема  усеченной  пирамиды   с   квадратным  основанием.

Ну  а  записывалось  все  это  на  папирусе  писцами.

 Самый  большой, сохранившийся  до  наших  дней, папирус  писца  Ахмеса. Папирус  имеет  размер  5,25 м х 33 см  и  содержит  84 задачи.  Он  хранится  в  Британском  музее  Англии, находится  в  Лондоне.

Другой  папирус (его   размеры 5,44 м  х 8 см ) включает  25  задач. Он  был  приобретен  русским  востоковедом  В.С. Голенищевым   в  1893 году  и  в  настоящее  время  принадлежит  Московскому  музею  изобразительных  искусств  им. А.С.Пушкина.   Московский  папирус  исследовали  ученые  - академики  Б.А. Тураев  и  В.В. Струве.

 

Задачи  из  папируса  Ахмеса:

1)      У  семи  лиц  по  семь  кошек, каждая  кошка  съедает  по  семи  мышей, каждая  мышь  съедает  по  семи  колосьев, из  каждого  колоса  может  вырасти  по  семь  мер  ячменя. Как  велики  числа  этого  ряда  и  их  сумма?

Ответ: 7;  49; 343; 2401; 16807; 16907; сумма  - 39214.

Эта  задача - путешественница  из  древнего  египетского  папируса  трансформировалась  на  Руси  в  старинную  народную  задачу  и  встречалась  в  различных  формулировках:

                             Шли  7  старцев,

                             У  каждого  старца  по  семь  костылей,

                                   На  каждом  костыле  по  7  сучков,

                                   На  каждом  сучке  по  7  кошелей,

                                   В  каждом  кошеле  по  7  пирогов,

                                   В  каждом  пироге  по  7  воробьев.

                                   Сколько  всего?                                 [137256]

                                               (Старинная  народная  задача).


Сообщение о правиле ложного положения.
Приведём пример решения задачи в древности. В папирусе Ахмеса среди других задач есть такая: 2Куча, её седьмая часть, её целое. Что составляет 19».

Эту задачу легко решить, составляя уравнение:Х+1/7Х=19

При решении подобных задач математики пользовались правилом ложного положения, или фальшивым правилом. Они сначала предполагали, что куча-

это 7. Тогда 1/7 кучи составляет 1, а вместе – 8, но по условию должна составлять 19. Допущенное значение кучи 7 надо увеличить в 19 раз и уменьшить в 8 раз, то есть куча равна 7* 19/8=16 5/8.

Правило ложного положения было известно и в Древнем Китае ещё около 2000г. до н.э. Дальнейшее развитие начала алгебры получили в Древней Греции Средней Азии. Этому содействовали учёные Пифагор, Диофант и другие, хотя о существовании алгебры они ещё и не подозревали.

Сообщение

о решении уравнений в Древней Греции


Среди математиков Древней Греции было принято выражать алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел – как объем прямоугольного параллелепипеда.

Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. Возможно, вы догадались, что здесь идет речь о хорошо известной вам формуле (а+в)2 = а2 + 2ав + в2. С того времени идут термины «квадрат числа», «куб числа». Квадратные уравнения греки также решали геометрически. Они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (не ранее 3-го в. н.э.). Особое внимание уделял неопределенным уравнениям, теория которых называется теперь «диофантовым анализом». У Диофанта была попытка ввести буквенную символику. В «Греческой антологии» помещена эпитафия (надгробная надпись), в которой сказано:



Здесь погребен Диофант, и камень могильный

При счете искусном расскажут нам,

Сколь долг был его век.

Велением Бога но мальчиком был шестую часть своей жизни;
В двенадцатой части затем прошла его юность,

Седьмую часть жизни прибавим – пред нами очаг Гименея.

Пять лет протекло, и прислал Гименей ему сына.

Но горе ребенку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, как скончался несчастный.

Четыре года страдал Диофант от утраты той тяжкой

И умер, прожив для науки. Скажи мне,

Сколько лет достигнув, смерть воспринял Диофант?
Интересно, что эта надпись на могиле Диофанта приводит нас к уравнению первой степени:

1/6х+1/12х+ 1/7х+5+1/2х+4=х

Математика Древней Греции.

 

Математика  на  Востоке  развивалась  очень  медленно. Новые  открытия  были  редким  явлением. Одни  и  те  же  знания  передавались  из  поколения  в  поколение  в  течение  многих  столетий. В  математике  Дальнего  Востока  не  встречаются  попытки  доказать  какие-либо  утверждения. Тексты  содержат  лишь  условие  задачи  и  правила  решения: «делай то-то».



Этот  процесс  застоя  был  прерван  благодаря  появлению  новой  цивилизации: в  VI  в.  до  н.э.  в  Древней  Греции  родилась  математика  как  точная  наука, которая  была  основана  на  строгих  доказательствах.

            Если  от  математики  Древнего  Востока  до  нас  дошли  отдельные  задачи  с  решениями  и  таблицы, то  в  Древней  Греции  рождается  наука  математика, основанная  на  строгих  доказательствах.

            Этот  важнейший  скачок  в  истории  развития  математики  относится  к  VI - V в.в.  до  н.э.  Афины - центр  культурной  и  научной  жизни. Сюда   стекались  со  всех  сторон  античного  мира  ученые  и  люди, желающие  пополнить  свои  знания. Они  собирались  вокруг  знаменитых  ученых. Преподавание  велось  устно, известно, что  бумага  была  изобретена  несколько  позднее - во  II веке  до  н.э. И  когда  появились  книги,  то  они  были  большой  редкостью  и  очень  очень  дорогими.

Страница вторая «Галерея великих математиков»

            В  Афинах  жил  Сократ, была  создана  Академия  Платона, позже  лицей  Аристотеля. Согласно  легенде, Платон  принимал  в  свою  школу  только  тех, кто  знал математику. Учеников  встречала  надпись: «Пусть  не  входит  сюда  не  знающий  геометрии». И так, геометрия как теоретическая наука стала складываться в Древней Греции в период с VII по III век до нашей эры. В Древней Греции основную роль в развитии геометрии сыграли  так называемые философские школы. Самыми известными были школы Фалеса, Пифагора, Платона, Александрийская  и др. Ученые и философы Древней Греции восприняли и переработали достижения культуры и науки Древнего Востока. Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс и др. ездили в Египет и Вавилон для изучения музыки, математики и астрономии. Не случайно зачатки греческой геометрической науки связаны с именем Фалеса Милетского, основателя ионийской школы.  Ученые ионийской школы впервые подвергли логической обработке и систематизировали математические сведения, позаимствованные у древневосточных народов, в особенности у вавилонян. Фалес считается «отцом  геометрии». Итак, Фалес Милетский.



Фалес Милетский (635- 548 гг. до н.э.) - математик, философ, астроном, купец, жил в г.  Милете, отсюда и название Милетский. Как купец, прокладывая пути в Египет, Индию, Вавилон, знакомился с восточной математикой, перенимал ее, нес в Грецию. Первоосновой всего сущего Фалес считал воду. «Вода есть начало всего; все из нее происходит и в нее превращается», - считал Фалес. Также ему принадлежит изречение «Познай самого себя!». Ему приписывают доказательство некоторых геометрических теорем. Он доказал, что диаметр делит круг пополам, теорему л равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, теорему о пропорциональных отрезках. Фалес научился определять высоту предмета по его тени. Он измерил высоту пирамиды, наблюдая тень пирамиды в тот момент, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами, считая что отношение длины вертикально поставленной палки к длине ее тени, равно отношению высоты пирамиды к длине ее тени.

 


Пифагор

Величайший математик Древней Греции - Пифагор. Родился около 570 гг. до н. эры на богатом греческом острове Самос. В молодости много путешествовал по Египту и Вавилону, изучая мудрость жрецов. Учился у многих ученых. К моменту возвращения домой на острове Самос правили римляне. Поэтому Пифагор переезжает в Кротон (Южная Италия). Там он основал Пифагорейский союз. Они занимались наукой и политикой. Деятельность союза была тайной. Доступ в него был открыт не для всех. Своими открытиями нельзя было делиться с теми, кто в союз не входил. Пифагорейцы называли свою систему знаний «математика», т.е. наука, учение. Число для них - главный объект изучения. Пифагор утверждал : «Все есть число».

Единицы, из которых состоят целые положительные числа, считались неотделимыми и изображались в виде точек.  Пифагорейцы рассматривали треугольные числа:

1; 1 + 2 = 3;   1 + 2+ 3 = 6;   1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Одним из основных достижением пифагорейской школы было построение теории делимости: разбили все натуральные числа на четные и нечетные, простые и составные, рассматривали совершенные числа.  Совершенные числа - числа, которые равны сумме своих делителей:

6 = 1 + 2 + 3;     28 = 1 + 2 + 4 +7 +14;

Пифагорейцы связывали с числом мистические утверждения. У них существовала «клятва числом 36». Числу 36 приписывались особые свойства в связи с выполнением соотношений:

36 = 1         36 = (2 + 4 + 6 + 8) + (1 + 3 + 5 + 7) ;

Также в школе Пифагора верили в чудесные свойства числа 10,  10 = 1 + 2 + 3 + 4;

«1» - считали матерью всех чисел;

«2» - выражало линию;

«3» - треугольник;

«4» - пирамида.

Пифагор учил, что «число есть сущность всех вещей». Даже на вопрос, что такое дружба? -  Пифагор ответил: это то же, что и отношение между числами 220 и 284. Эти числа пифагорейцы называли дружественными, так как у них одинаковая сумма натуральных делителей. В школе очень много занимались геометрией. Доказана теорема Пифагора: (сумма квадратов катета равна квадрату гипотенузы).

Пифагорейцы  занимались арифметикой (теорией чисел), гармонией (теорией музыки), геометрией, астрономией.  Именно в школе Пифагора представление о шарообразности Земли.

Задачи 1) Титан острова Самос Поликрат однажды на пиру спросил у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, -  ответил Пифагор. - Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины. Сколько учеников было у Пифагора?

[Ответ: в школе Пифагора было 28 учеников].

Когда же в греческих колониях Южной Италии пришли к власти сторонники демократии, школа Пифагора была разгромлена. Пифагорейцы бежали из Кротона. Это обстоятельство во многом способствовало распространению математики по всей Греции и даже за ее пределами. 

Евклид  (ок. 365 - 300 г. до н.э.) - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. К сожалению, сведения о жизни Евклида до нас не дошли. Известно только, что он жил около 300 года до нашей эры, что расцвет его творчества приходится на александрийский период развития культуры и науки, когда после смерти Александра Македонского и распада его огромной империи на первое место по своему экономическому, политическому и культурному  значению выдвинулся город Александрия.  Царь Птолемей I, правивший Египтом в то время, чтобы возвеличить сове государство, привлек в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз - Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанические и зоологические сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и, главное, великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд по геометрии «Начала» - главный труд  жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

 

Начала.

Там, где с морем

Сливается Нил,

В древнем жарком краю

Пирамид

Математик греческий жил -

Многознающий,

Мудрый Евклид.

Геометрию он изучал,

Геометрии он обучал.

Написал он великий труд.

Эту книгу

«Начала» зовут.

 

Предшественники   Евклида - Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все их труды - это отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.  Как современников, так и последователей Евклида в его работе привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала»  состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т.д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа положений - пяти аксиом и пяти постулатов, принимаемых без доказательства,  - строится вся система геометрии.



О «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный рукописный памятник древности. Книга имеет свою весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах; с папируса они перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. До XX века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными, переведены на множество языков. На русском языке «Начала» были изданы три раза в XVIII в. и четыре раза в XIX в. Последний и самый совершенный перевод с греческого был осуществлен в 1948 - 1950 г.



Основные понятия в геометрии Евклида: 

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил его указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», - ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Царский путь в геометрию

  Инсценировка стихотворения

(Автор, царь, Евклид, поэт.)

 

Евклид отдал на царский суд



«Начала» - свой великий труд.

Пытался царь читать «Начала»

То с середины, то с начала,

Но лишь запутался вконец.

И тщетность осознав попыток,

Папируса швырнул он свисток:

- Позвать Евклида во дворец!

В душе царя кипит обида,

Владыку труд ученый злит:

«Миру славит мудреца Евклида!

Царь геометрии - Евклид!

А мне наука неподвластна?!!»

-Евклид! Письмо твое не ясно.

Не понял я: о чем тут речь?

Ты снова должен приналечь.

Труд переделать свой...

Иначе...

- Нет, я не выполню задачи, - Евклид сказал,

- Ни я, ни боги!

В науке царской нет дороги!

И поклонился...

Так, для вида.

Царь побледнел от слов Евклида.

Придворный задрожал народ...

Но вышел тут

Поэт вперед.

Спасти задумал он Евклида

И поклонился

(не для вида)

- О мудрый царь!

Уйми свой гнев...-

Царю он молвил нараспев. -

- Есть путь в науку для царя.

Искусство с логикой миря,

Сложил я о науке стих

Для царских для ушей твоих.

Читал поэт:

- Быстрей, чем в небе птица,

Летела вдаль царева колесница,

В пыли дороги оставляя след.

Двум параллельным

Никогда не слиться!

И это просто,

Словно тьма и свет...

Царя мы ставим

Во главе угла.

Когда он с нами,

Отступает мгла.

Шар головы его

Как солнца лик.

Познаний царских

Радиус велик.

Царь головой кивал:

- мне все тут ясно.

Поэта все хвалили

Громогласно.

И тихо из дворца

Ушел Евклид.

Его поступок

Был царем забыт.
На протяжении веков были даны многочисленные доказательства теоремы Пифагора. Одно из древнейших дано Евклидом и изложено им в «Началах». Как формулировка, так и доказательство теоремы Пифагора имеют у Евклида чисто геометрический характер. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника ВАС он  строит соответствующие квадраты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
Притча о трех учениках.

                                 (Автор, Евклид, Архелай, Архилох, Архимед.)

 

Чтоб попасть к нему



В ученики

И постигнуть мудрость

Старика,

Морем плыли,

Шли издалека...

А вопросы были нелегки.

- Что есть точка?-

Вопрошал Евклид,

Взглядом обводя своих гостей.

- Точка - это то,

В чем нет частей, -

Архелай кудрявый говорил.

- Правильно ответил,

Молодец! -

Улыбнулся ласково мудрец.

- Ну, а в чем же линии секрет?

- Есть длина,

А ширины в ней нет!

Снова в точку.

Я б хотел узнать:

Для чего ученым хочешь стать?

Ведь дороги к знаньям

Непросты?!

Я богатым стать хочу,

Как ты!

Я слыхал: Наука - это клад!

Я уверен:

Ты, Евклид, богат!

Две монеты

Достает мудрец.

Их берет

Растерянный юнец.

Все. Ступай! -

Ученый говорит.



Ты теперь богаче,

Чем Евклид.

Теплый ветер

вдруг подул сильней,

Пальмы закачал на берегу.

- Кто поделит круг

На пять частей?

Архилох поднялся:

- Я смогу!

Осветило солнце смуглый лик.

Циркуль сжав уверенно в руке,

Круг он делит ловко на песке.

Головой кивнул ему старик:

Хорошо! -

Потом спросил Евклид: ,

- А тебя к науке что манит?

Юношу погладил по плечу.

- Знаменитым стать,

Как ты, хочу.

Слышу всюду:

«Как умен Евклид!».

Значит, славу.

Знание сулит!

Взял Евклид заточенный тростник

Пишет на папирусе старик:

«Люди! Он умней, чем я.

Евклид».

- На, иди!

Теперь ты знаменит!

Ну, а третий

Думает о чем?

Что-то чертит,

Чем-то увлечен.

-  Что ты чертишь?

- Линии черчу.

Теорему доказать хочу,

Но другим путем,

Не как Евклид. -

Юноша упрямо

говорит.

Слезы на глазах

У старика:



Он нашел себе, ученика.

- Кто же ты?

И слышит он  ответ:   

- Я из Сиракуз.

Я - Архимед.

 Кроме Евклида, крупным ученым эпохи эллинизма был Архимед. Архимед родился в 287 году до нашей эры  в греческом городе Сиракузы, где и прожил почти всю свою жизнь. Отцом его был Фидий, придворный астроном правителя города Гиерона. Учился Архимед, как и многие другие древнегреческие ученые, в Александрии, где правители Египта  Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также основали знаменитую, самую большую в мире библиотеку. После учебы в Александрии Архимед вернулся в Сиракузы и унаследовал, должность отца.     

Труд этого великого ученого был ослепляюще многогранным. Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики, и механики.

  «Об измерении круга» впервые вычислил число «пи» - отношение длины окружности к диаметру - и доказал, что одинаково для любого круга:

                                          

                                          3 10/71 < π <  3 1/7

   Выведенное Архимедом для π  приближенное значение 22/7 ≈ 3,14 казалось вполне удовлетворительным для практики.

   Известно, что отношение длины окружности к диаметру не может быть точно выражено ни целым числом, ни обыкновенной дробью, ни конечной десятичной дробью. Созданный Архимедом метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся многими видными математиками на протяжении почти двух тысяч лет. Мы до сих пор пользуемся придуманной Архимедом системой наименования целых чисел. 

    Но Архимед знал также, что предметы имеют не только форму и измерение: они движутся, или могут двигаться, или остаются неподвижными под воздействием определенных сил, которые двигают предметы вперед или приводят в равновесие. Великий сиракузец научал эти силы, дав начало новой отрасли математики. Эта геометрия веся и есть рациональная механика, это статика, а также гидростатика, первый закон которой открыл Архимед (закон, носящий его имя), согласие которому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной им жидкости. Ванна, в которой купался Архимед, была, вероятно, заполнена до краев. При погружении (постепенном!) вода выливалась. Чем глубже погружался Архимед, тем больше выливалось воды и тем больше становилась выталкивающая сила. Рассказывают, что однажды к Архимеду обратился Гиерон, правитель Сиракуз. Он приказал проверить, соответствует ли вес золотой короны весу отпущенного на ее изготовление вол ста. Для этого Архимед сделал два слитка: один из золота, другой из серебра, каждый такого же веса, что и корона. Затем поочередно положил их в сосуд с водой, отметил, на сколько поднялся ее уровень в обоих случаях. Опустив в воду корону, Архимед установил, что ее объем превышает объем слитка. Так и была доказана недобросовестность мастера.
Закон Архимеда

 

Инсценировка стихотворения

 

(Автор, ювелир, Гиерон, Архимед, слуги.)



 

Автор.                        Жил в Сиракузах мудрец Архимед.

Был другом царя Гиерона,

Какой для царя самый важный предмет?

Вы все догадались - корона!

Захотелось Гиерону

Сделать новую корону.

Золота отмерил строго.

Взял не мало и не много -

Сколько нужно - в самый раз.

Ювелиру дал заказ.

Через месяц Гиерону

Ювелир принес корону.

Взял корону Гиерон,

 Оглядел со всех сторон.

 Чистым золотом сверкает...

Но ведь всякое бывает.

 И добавить серебро

 Можно к золоту хитро,

 А того и хуже - медь

(Если совесть не иметь)...

И царю узнать охота:

 Честно ль сделана работа?

 Не желал терпеть урон,

И позвал он Архимеда...

 Началась у них беседа

 

Гиерон.                    Вот корона, Архимед:



  Золотая или нет?        

Архимед.                 Чистым золотом, сверкает.

Гиерон.                    Но ты знаешь - все бывает!

И добавить серебро 

Можно к золоту хитро,

А того и хуже: медь,

 Если совесть не иметь.

Сомневаться стал я что-то:

Честно ль сделана, работа?   

Можно ль это, ты скажи,

определить?

Но корону не царапать,

не пилить...

Автор:                   И задумался ученый.

Что известно?

Вес короны.

Ну, а как найти объем?

 Думал ночью, думал днем.

И однажды, в ванне моясь.

Погрузился он по пояс

-На пол вылилась вода.

 Догадался он тогда,

 Как найти объем короны.

И помчался к Гиерону

Не обут и не одет...

А народ кричал вослед:

- Что случилось, Архимед?   

 Может быть, землетрясенье?

 Или в городе пожар?

Всполошился весь базар! ,

Закрывали лавки даже.

Шум, и крики, и смятенье!

Он промчался мима стражи:

- Эврика! Нашел решенье!:

 - Во дворец примчался он:

-  Я придумал, Гиерон!

 

(Во дворце.)



Эврика! Раскрыл секрет!

 Гиерон.                       Ты оденься, Архимед!

Вот, сандалии, хитон.

А расскажешь все потом.

 Архимед.                              Пусть весы сюда несут

И с водой большой сосуд...

Все доставить Гиерону!..

(Слуги все приносят.)

На весы кладем корону

И теперь такой же ровно.

Ищем слиток золотой...

 (Находит кусок золота, по весу равный короне.)

  Гиерон.                      Все понятно!                   

Архимед.                     Нет, постой!       

 Мы теперь корону нашу

 Опускаем в эту чашу.

Гиерон, смотри сюда:

В чаше поднялась вода!

Ставлю черточку по краю,

Гиерон.                        А, корону?                                   

Архимед.                   Вынимаю.   

В воду золото опустим,

 В воду золото?

Допустим...

Архимед.                   Поднялась опять вода.

 Метку ставлю

Я.

Гиерон.                         Куда?                                                  

Архимед.                      Ну,  конечно же, по краю.

 

 Гиерон.                      Ничего не понимаю.                                                                                                



Лишь две черточки я вижу:

Эта - выше, эта - ниже.

Но какой же вывод главный?

                            

Архимед.                    Равный вес.                                             

Объем - не равный!

Понимаешь, Гиерон,

Я сейчас открыл закон.

Тот закон совсем простой:

Тело вытеснит...

 

 Гиерон.                      Постой.                                            



Говоришь: объем неравный?

Мастер мой мошенник: явный!

За фальшивую корону

Он ответит по закону!

А ты за разгадку -

Получишь дары!

 

 Автор.                   На этом прервалась беседа...

 

Немало  воды  утекло  с  той  поры,



Но  помнят  закон  Архимеда!                                           
Еще более убедительное доказательство необходимости подобных изобретений Архимед дал в 212 году до нашей эры. При обороне Сиракуз от римлян вовремя второй Пунической войны он сконструировал несколько боевых машин, которые позволили горожанам отражать атаки превосходящих в силе римлян в течение почти трех лет. Одной из них стала система зеркал, с помощью которой египтяне смогли сжечь флот неприятеля.

 

Один в поле воин, если он Архимед.

  

Сиракузы. 214 год до нашей эры.



 

Пришла а Сицилию воина,

 Пришли неотвратимо.

До Сиракуз дошла она

С жестоким поиском Рима,

 Суровый консул Марк Марцелл

Галер идет армаду:

Марцелл брать крепости умел,

Умел вести осаду.

 - Веет пять дней!

-  Сказал Марцелл,

-  Мне нужно для победы.

Как видно, раньше не имел

Он дела, с Архимедом...

В расчет не брался Архимед.

(Ученый? Что он может!)

Машин, каких не видел свет,

Марцелл не видел тоже,

Ждал римлян настоящий ад

На море и на суше,

Машины топят, бьют, крушат,

Стреляют, валят, рушат!

Идут пентеры - римский флот,

 Но Архимед пускает в ход

Железный клюв и крючья -

Пентеру в воздухе трясет,

 С размаху бьет о кручи,

Мелькают бревна-рычаги,

Как великанов руки.



-  Здесь Архимед! - кричат враги.

Нет, здесь! Юпитер, помоги!



Бросают в страхе луки.

Законы равновесья тел,

Законы рычага -

Все то, что знал он, что умел,

Сегодня бьет врага...

Строи квадратур,

Парабол, сфер.

Пи эр квадрат, и два пи эр,

И теорем железный строй -

Все вывел Архимед на бой!

Машины мечут тучи стрел,

Швыряют в цель каменья.

-  Всем отступать, - кричит Марцелл,

Всем отступать, кто уцелел!

Проиграно сраженье.

Заметим, что идея поиска музыкальных отношений, в геометрических образах сильно увлекала античных исследователей. Не случайно из множества первоклассных открытий Архимед больше всего ценил свое открытие отношения объемов и площадей поверхностей цилиндра и вписанного в него шара, равного 3:2, то ость квинте. Эту теорему Архимед считал своим высшим достижением. По завещанию чертеж этих фигур был выполнен на его могильном камне. (По этому чертежу и была найдена могила Архимеда.) А погиб Архимед во время осады Сиракуз: его убил римский воин в тот момент, когда ученый был поглощен поисками решения поставленной перед собой проблемы.



СМЕРТЬ АРХИМЕДА

К. Анкундинов

Он был задумчив и спокоен,

Загадкой круга увлечен…

Над ним невежественный воин

Взмахнул разбойничьим мечом.

Чертил мыслитель с вдохновеньем,

Сдавил лишь сердце тяжкий груз.

“Ужель гореть моим твореньям

Среди развалин Сиракуз?”

И думал Архимед: “Поникну ль

Я головой на смех врагу?”

Рукою твердой взял он циркуль-

Провел последнюю дугу.

Уж пыль клубилась над дорогой,

То в рабство путь, в ярмо цепей.

“Убей меня, но лишь не трогай,

О, варвар, этих чертежей!”

Прошли столетий вереницы.

Научный подвиг не забыт.

Никто не знает, кто убийца.

Но знают все, кто был убит!

Страница третья «Восток. Средние века.»
Арабские завоевания привели к распространению языка арабов и их религии – ислама. 9-12 вв.н.э. – это расцвет науки в арабоязычных странах: начала складываться научная традиция, основанная на античном наследии, арабский язык становится языком науки.
Сообщение

о Мухаммеде аль-Хорезми
Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед бен Мусса аль-Хорезми, то есть отец Абдалаха, Мухаммед, сын Муссы, жил и работал в Багдаде. «Аль Хорезми» буквально означает «из Хорезма», то есть родился в городе Хорезме (сейчас входит в состав Узбекистана).

В то время в Багдаде правил халиф аль-Мамун, который уважал ученых и покровительствовал наукам. По его повелению в Багдаде был построен Дом мудрости с библиотекой и обсерваторией. Здесь работали почти все крупные арабские ученые, в том числе и аль-Хорезми. Его перу принадлежит много книг, написанных на арабском языке, по математике и астрономии. Сведения о жизни и деятельности Мухаммеда аль-Хорезми, к сожалению, почти не сохранились, а из математических работ до нас дошло всего две – по алгебре и по арифметике. Алгебраическая работа называется «Китаб аль-джебр аль-мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Здесь решение уравнений рассматривается не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики.

Автор одним из первых стал обращаться с уравнениями, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеется уравнение 5х-16=20-4х. Считая, что оно задает равновесие некоторых грузов на чашках весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество.

Было: 5х – 16=20 – 4х.

Добавил: 5х -16+16=20 – 4х+16.

Стало: 5х=20 – 4х+16, или 5х=36 – 4х.

После этой законной операции (прибавление одинакового количества) число 16 исчезло из левой части и восстановилось в правой со знаком плюс. Точно так же на обе чаши весов можно прибавить 4х,

Было: 5х=36-4х.

Добавил: 5х+4х=36 – 4х+4х.

Стало: 5х+4х=36, или 9х=36. следовательно, х=4.

В правой части выражение 4х пропало, а влевой части оно восстановилось со знаком плюс.

Главный принцип – если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате получаются равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой» для решения уравнений.

Чтобы решить уравнение, Мухаммед аль-Хорезми переносил члены уравнения из одной части в другую с противоположным знаком (эта процедура и называется «аль-джебр», затем приводил подобные слагаемые («аль-мукабала») и лишь затем решал уравнение. Однако автор заведомо не принимал во внимание уравнения, у которых нет положительных решений.

Слово «аль-джебр» со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово

алгебра.

Так как в те времена отрицательные числа считались ненастоящими, то действие аль-джебр, как бы превращающее число из небытия в бытие, казалось чудом. Эту науку в Европе долго считали «великим искусством», рядом с «малым искусством» - арифметикой.

Алгебраический трактат Мухаммеда аль-Хорезми послужил началом создания алгебры. В этом трактате изложены правила умножения одночленов и двучленов, приведены задачи и способы их решения. Затем он рассматривает шесть различных видов уравнений и приемы их решения:


  1. квадраты равны корням, то есть ах2=вх;

  2. квадраты равны числу, то есть ах2=с;

  3. корни равны числу, то есть ах=с;

  4. квадраты и числа равны корням, то есть ах2+с=вх;

  5. квадраты и корни равны числу, то есть ах2+вх=с

  6. корни и числа равны квадратам, то есть вх+с=ах2.

Решение уравнений, чисто алгебраическое, подкреплялось для убедительности геометрическим. Доказательств не было (в те времена доказательства были только в геометрии), способ решения задачи излагался в виде рецептов.

Книга по арифметике, долгое время считавшачся потерянной, была найдена в 1857 г. в библиотеке Кембриджского университета (Великобритания). Точнее, был найден ее перевод на латинский язык. В этой книге даны четыре правила арифметических действий, практически те же самые, что используются сейчас. Первые строки были переведены так: «Сказал Алгоритми. Воздадим хвалу Богу, нашему вождю и защитнику». Так имя Мухаммеда аль-Хорезми перешло в Алгоритми, откуда и появилось слово алгоритм.

Мухаммед аль-Хорезми был не только математиком. Среди его сочинений есть труд по географии, он организовал несколько научных экспедиций в Византию, Хазарию, в Афганистан и другие страны. Но его успехи в математике затмевают все прочие достижения: ведь он – один из немногих величайших умов мира, создавший новую науку!.

Учитель: Долгое время развитие алгебры тормозило нежелание математиков признавать отрицательные числа. Поэтому даже уравнение первой степени (с точки зрения древних) не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений второй степени приходилось различать много частных случаев.


Страница четвёртая «Отрицательные числа»
Сообщение

о возникновении отрицательных чисел
Первые понятия об отрицательных величинах сложились примерно к 1 в. до н.э. в процессе решения уравнений. Этому особенно способствовали коммерческие вычисления, в которых отрицательные числа имели наглядный смысл убытка, расхода, недостатка и т. д. Впервые употребили отрицательные числа математики Индии Ариабхата (5 в.) и Брахмагупта (7 в.), они истолковали понятие положительных и отрицательных величин как об имуществе и долге.

Например, сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов – долг, сумма имущества и долга – их разность или, если они равны, нуль. Сумма нуля и долга есть долг и так далее.


Страница пятая «Создание языка алгебры»
Сообщение

о Франсуа Виете
Становление буквенной символики происходило весьма медленно. Только в конце 16 в. в трудах французского математики Франсуа Виета буквенные обозначения легли в основу алгебры.

Франсуа Виет родился во Франции. Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику в родном городе. В 1571 г. переехал в Париж, где со временем занял видную придворную должность – тайного советника при короле. Математикой он занимался в часы отдыха. Ознакомившись с учением Кеплера, Виет заинтересовался астрономией. Он решил написать обширный астрономический трактат, но для этого необходимы глубокие математические знания. Занявшись изучением математики, он выполнил ряд алгебраических исследований, а трактата по астрономии так и не написал.

В то время Франция вела войну с Испанией, Виет оказал большую услугу родине, расшифровав весьма важные письма испанского двора. Испанские шпионы использовали чрезвычайно сложный шифр, состоящий из 300 знаков, менявшихся время от времени. Они даже не допускали мысли, что такой сложный шифр может быть раскрыт, и не беспокоились, когда отдельные секретные донесения попадали к французам. Два года французы перехватывали и читали шифровки, что помогло им нанести ряд поражений испанского армии. Инквизиция же обвиняла математика в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре. Математик не был выдан инквизиции, однако от должности его отстранили. Четыре года опалы оказались необычайно плодотворными для Виета. Математика стала его единственной страстью, он работал самозабвенно. По рассказам современников, он мог просиживать за письменным столом по трое суток, только иногда забываясь сном на несколько минут.

В работе «Введение в аналитическое искусства» Виет изложил усовершенствованную им теорию уравнений с применением изобретенных символов.



Теорема Виета

для корней квадратного уравнения
По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого;

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда –

В числителе в, а в знаменателе а.


ах2+вх+с=0

х1х2=с/а, х1х2=-в/а

Заключительное слово учителя:

Наука прошла большой и сложный путь развития - от египетских и вавилонских памятников до атомных электростанций, лазеров и космических полетов. Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным. Обычно принято говорить о преемственности в науке. Без Евклида и Архимеда не было бы Ньютона, без Ньютона не было бы Эйнштейна и Бора... Но такое утверждение верно в общем, из каждого правила есть исключен Нас, живущих в начале XXI века, влечет старина. В своих предках мы замечаем прежде всего то, чего им не хватает с современной точки зрения, и обычно не замечаем того, что нам самим не хватает по сравнению с ними. Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству.

      И мы должны быть благодарны Истории человечества, которая не только подарила миру таких людей как Пифагор, Евклид, Архимед, но и сохранила память о них.

      Не будем и мы забывать о них...



Литература:

1.Маслова Т. История математики. Ж. Математика. 2008. №8.

2.Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. Учпедгиз. 1963.

3.Акимова С. Занимательная математика. Тригон. 1997

4.Школьный веб-сайт http: //mou58. togliatty. rosshkola. ru

КОНФЕРЕНЦИЯ

«Математика и музыка»

в 9-10 классе

Цель: расширение, углубление, обогащение знаний, развитие кругозора, повышение математической культуры учащихся.

«Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса».

Альберт Энштейн

ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ:

1.Вступление.

2.Пифагор и его открытие в музыке.

3.Законы пифагорейской музыки.

4.Гармония чисел - гармония звуков.

5.Ноты и дроби.

6.Партитуры и программирование.

7.Логическая связь математики и музыки.

8.Сопоставление терминов и понятий математики и музыки.

9.Рефлексия.



1выступление. Какая связь может быть между математикой, мудрой царицей всех наук, и музыкой? Как могут взаимодействовать такие совершенно разные человеческие культуры? Предлагается найти ответы на эти вопросы, доказать, что связь между музыкой и математикой существует.

Дважды два – четыре,

Дважды два – четыре,

А не три, а не пять – это надо знать!

Дважды два – четыре,

Дважды два – четыре,

А не шесть, а не семь – это ясно всем!

Трижды три навеки – девять,

Ничего тут не поделать!

И нетрудно сосчитать,

Сколько будет пятью пять!

Пятью пять – двадцать пять!

Пятью пять – двадцать пять!

Совершенно верно!

сл. М.Пляцковского, муз. В.Шаинского

Вслушайтесь в эту веселую песенку. На её примере можно выдвинуть гипотезу, что занятия музыкой помогают изучению математики. С помощью этой песенки можно легко запомнить некоторую часть таблицы умножения. Думается, что ни один человек в мире не может прожить без математики и без музыки.

Наверняка, каждый из вас сейчас подумал, какая же связь может быть между математикой - мудрой царицей всех наук, и музыкой?

Как могут взаимодействовать, такие, совершенно разные человеческие культуры?

И сегодня на нашей конференции предлагается вам найти ответы на эти вопросы и доказать, что связь между музыкой и математикой всё же  существует.

Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и  гармонию. Решая математические задачи,  мы погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываясь о том, что мир звуков и пространство чисел издавна тесно связаны друг с другом.

И что если попробовать определенным образом переложить ноты на числа. Будет ли наблюдаться в этом числовом ряду закономерность? Если такая связь существует, то можно предположить обратное, что ряд чисел имеет свое музыкальное звучание. В этом и актуальность нашей конференции.

Несомненно, математика пронизывает музыку.



2 выступление.

Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как  утверждали древние мудрецы.

В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера "Диссертация о звуке", написанная в 1727 году.  "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков". Свое отношение к математике и музыке ученые  высказывали в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать"..На что Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики"

Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета - музыку и математику. Музыка, как одно из видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.

Не музыкантов готовила школа Пифагора, она готовила людей, которые искали гармонию мира, живущего в тени звезд. Искали в себе человека, искали музыку небесных сфер.

В свою школу Пифагор принимал тех, кто очистил душу музыкой и тайной гармонией чисел. С Пифагора в математике стал господствовать греческий стиль мышления – это явилось главной причиной ее сегодняшнего расцвета. В важнейшем философском вопросе о природе Пифагор избрал путь, который из античности вел прямо в современность.

Пифагор назвал звездный мир словом «космос», что на языке его далекой родины означало: порядок, совершенство, прекрасная обустроенность.

Пифагор – это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул. Пифагор значит «убеждающий речью».

«Любым способом следует избегать и отсекать огнем, железом, любыми средствами от тела – болезнь, от души – невежество, от желудка – излишества, от города – смуту, от дома – разногласие, от всего в целом – неумеренность», - говорил Пифагор.

Любимое детище великого эллинского мудреца – пифагорийский союз. Это был союз истины, добра и красоты.

В школе Пифагора получила свое первоначальное оформление математическая теория музыка.

Громадная заслуга древних греков в развитии науки состоит в том, что они находили причины и выводили из них следствия. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки. Родился Пифагор около 570 года до нашей эры на острове Самос. Пифагор основал науку о гармонии сфер, утвердив ее, как точную науку.

Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.



3 выступление.

Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Ясность в этот вопрос внес Архит (IV в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т.е. скорости ударения струны по частичкам воздуха.

Сегодня эта "скорость движения" носит название частоты колебания струны. Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине.

Неудивительно, что рассуждая о высоте звука и интервалах, древние греки говорили о длинах струн и их соотношении. Так Пифагор установил, что, если пережать струну ровно посередине, она станет звучать на октаву выше. Но теперь то известно, что это первый обертон звука, издаваемого целой струной, стал главным тоном. Поэтому его можно считать "тем же" звуком, что и привело к обозначению двух этих звуков одной нотой.



Законы пифагорейской музыки.

В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .

w = a : l ,

где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями против ярости и гнева. Они проводили занятия математикой под музыку, так как заметили, что она благотворно влияет на интеллект.

Он учился музыке в Египте и сделал ее предметом науки в Италии.

Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры.

Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой-либо другой ноты, лиру каждый раз нужно перенастраивать.

Следуя теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, что числа правят музыкой.  В своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике) и вследствие этого восстанавливает в организме человека гармонию.

4 выступление.

Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт ( его первый труд  - "Compendium Musicae" в переводе "Трактат о музыке") , Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д'Аламбер, Даниил Бернулли и другие.

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимосвязях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая и духовная деятельность человека. Что между ними размещается все, что человечество создало в области наук и искусства». - писал Г. Нейгауз. 

Изучив работы ученых, было установлено, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики.

Таким образом,  многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков  и  дополняет  друг друга, музыку и математику.

Музыка учит не только видеть, но и воспроизводить увиденное, не только слышать, но и представлять то, что слышишь. Следовательно, она развивает все виды восприятия: зрительное, слуховое, чувственное – и все виды памяти: зрительную, слуховую, моторную, образную, ассоциативную. Ребенок, играющий «Осеннюю песнь» Чайковского и как бы видящий в это время грустную картинку осени, на уроке, например, истории будет так же ясно представлять все излагаемое учителем, и от этого лучше запоминать. 

Конспектируя материал, он будет его усваивать тоже гораздо лучше, потому что у него налажена моторная память, то есть связь между мышлением и двигательными функциями руки. Вы и сами знаете, что иногда какой-нибудь забытый навык вспоминается больше руками, а не головой. 

Кроме того, музыка развивает ассоциативную фантазию, без которой невозможно овладение другими видами искусств... История знает массу людей, талант которых многогранен и способности к одному роду занятий как бы дополняют способности к другому. Леонардо да Винчи был скульптором, художником, архитектором, инженером; пел, преподавал пение и был первым, кто изучил природу вокального искусства. 

Александр Сергеевич Грибоедов, русский писатель и дипломат, был еще композитором, пианистом и органистом. Михаил Иванович Глинка прекрасно рисовал. Эйнштейн играл на скрипке... Дети, обучающиеся музыке, обычно обнаруживают способности и тягу к другим видам искусства, потому что, помимо когнитивных способностей, музыка развивает эмоции, улучшает личностные качества. 

Во-первых, ребёнок может выбрать, с каким родом деятельности будет связана его судьба и сам определиться, так как имеет представление и о науке, и о живописи, и о музыке. Во-вторых, чаще всего после окончания получения начального музыкального образования, решение принимается самостоятельно и, как правило, без замешательств, что говорит о полной личностной сформированности ребёнка. О влиянии музыки на человека можно говорить бесконечно.



5 выступление.

На первых же уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной грамоты – ученики музыкальных школ сразу же сталкиваются с математикой.

В музыке все считать надо. Как и в математике.

7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы .

А ноты-то все разные. Одни коротенькие совсем, другие длинные.

Так в 5-6 лет ребята, которые занимаются музыкой, узнают, что ноты или что-нибудь другое может делиться. А ведь деление школьники начинают изучать только в 8-9 лет, в конце второго класса. Интересно, что у истоков музыкальной грамотности стоял великий математик Пифагор. И не случайно!

Чтобы записать слова – мы используем буквы, числа – цифры, а музыку – ноты.

При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность).

Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби.

Предлагается рассмотреть нотную запись отрывка пьесы Петра Ильича Чайковского «Сладкая греза», исполняемого на блок-флейте. 

В этой нотной записи:

6Целые ноты не используются.

4aПоловинки используются 3 раза. Например, нота до.

2aЧетверти используются 12 раз. Например, нота ре.

1a Восьмые используются 3 раза. Например, нота ми.

Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент.

Именно здесь мы сталкиваемся с математической операцией сравнения.

В музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности. Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть никогда не пересекаются.

Кроме вышеупомянутых понятий, с понятием последовательность в математике мы встречаемся крайне часто. Обычно цель при встрече с ними – отгадать следующее число или символ.

 Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной последовательности.

Таким образом, математика и музыка – два полюса человеческой культуры, два школьных предмета, две системы мышления, тесно связанные между собой:


  • Музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически.

  • Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности.

Данное исследование доказывает, что музыка помогает изучать математику. Ребятам, которые занимаются музыкой легче справляться с математикой в школе.

6 выступление.

В музыке, что обычно забывается, немало математики. Мы используем западноевропейской нотную систему, основа которой – две вполне строгие шкалы частоты и времени. Частоты звукоряда представляют собой геометрическую прогрессию с коэффициентом 1,059... (корень 12 степени из 2), а временная организация - это звуки и паузы, находящиеся в кратных отношениях (чаще всего деноминатором выступает степень 2). Структура музыкального произведения нередко оказывается очень простой, представляя собой чередование некоторых «блоков-модулей» определенной протяженности. Мелодические партии имеют, как правило, деление на мотивы, фразы, предложения и периоды, а аккомпанирующие – явно выраженный периодический характер. И все это еще объединено гармонией – своеобразными матрицами нормативных сочетаний звуков из некоторой сетки частот.

На практике музыкант значительно реже математика задумывается о формальной основе музыкального произведения, которая зафиксирована в нотах. То, что действительно в музыке является строгим, складывалось столетиями, обусловлено акустическими явлениями и психологией восприятия звука. Но все это для традиционного музыканта некая данность, фундамент, который в повседневной практике не требует ни ревизии, ни пристального внимания. И это оправданно, поскольку предмет музыканта, будь он исполнителем, композитором, педагогом или теоретиком, менее формализован и включает собственные непростые задачи.

Нотный текст и звучащее произведение – вещи очень разные. По сути, партитура это лишь план действия исполнителя. С акустической точки зрения, звучащее произведение – чрезвычайно сложный объект, уникальность которого связана с конкретным музыкантом и конкретным исполнением. Действительно, анализируя версии самой простой мелодии, разбираясь в волнах и спектрах акустической записи, можно схватиться за голову от обилия нюансов.

Очень давно, начиная с Пифагора, а может быть и ранее, математики обратили внимание на формальную сторону организации музыки – временную и частотную шкалы. Однако, механизмы, воспроизводящие музыку по программе, появились раньше, чем механизмы-калькуляторы, поэтому можно рискнуть назвать музыкантов самыми первыми программистами. Впрочем, и в письменном наследии древних культур, пожалуй, только нотные записи, как описание временного процесса, ближе всего к текстам программ. Как в партитурах, так и в текстах программ есть блоки, условия, циклы и метки, только не многие программисты и музыканты знают об этих параллелях. Но, помня об этом, уже нельзя удивляться тому, что инженеры заставляли воспроизводить мелодии самые первые ЭВМ. Правда, музыканты не могли относить машинную музыку к настоящей, возможно потому, что в ней не было ничего, кроме мертвых звуков или плана. Да и сам машинный звук, являвшийся на первых шагах простым меандром, был крайне далек от звучания акустических инструментов. Видимо поэтому следующим периодом в развитии музыкальных компьютерных технологий стали исследования и разработки методов синтеза звука.
(Фрагмент статьи «Алгеброй гармонию поверить», PCWeek, (127) 03/1998)
Не вызывает ни малейших сомнений тот факт, что наблюдается существенная связь между ранним музыкальным опытом и уровнем познавательного развития в определенных, не имеющих отношения к музыке, сферах таких, как математика, память, а также восприятие пространства и времени. На деле же исследования влияния музыки на детей показывают даже то, что познавательные успехи детей возрастают соответственно тому, сколько лет дети активно развивают свои музыкальные способности, а также то, что чем раньше у ребёнка пробуждают интерес к активной музыкальной деятельности, тем очевиднее будут успехи в упомянутой области!

7 выступление.

               Можно привести высказывание народного артиста России, пианиста, педагога, доктора искусствоведения Генриха Густавовича Нейгауза: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства». Немного непривычно слышать подобные слова из уст музыканта. Казалось бы, искусство – весьмя отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф.). Абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение математики наполняется всё более богатым содержанием. 4

Существует две математики.

Первая – изучает «реальные» математические структуры, существующие независимо от открывших их математиков. Это и есть прикладная математика. Но результаты прикладной математики дают иногда неожиданные и важнейшие следствия. Логическую взаимосвязанность результатов науки выразил выдающийся немецкий математик, иностранный член-корреспондент РАН, иностранный почетный член АН СССР Давид Гильберт: «Разрешите мне принять, что дважды два – пять, и я докажу, что из печной трубы вылетает ведьма». Красоты науки и в логической стройности, и в богатстве связей. Ощущение красоты помогает проверять правильность результатов и отыскивать новые законы. Это ощущение – отражение в нашем сознании гармонии, существующей в природе. Поэтому математика оказывается точным и незаменимым инструментом, вскрывающим красоту опытных наук.

      Вторая – математика, предметом изучения которой является искусственные конструкции, созданные математиками в процессе их свободного творчества.5

 3

8 выступление.

Сопоставление терминов и понятий в музыке и математике.


1. Ритм.

1.1. Ритм в музыке.



Ритм – основа всего музыкального движения, порядок сочетания во времени  всех элементов музыкальной речи: мелодии, гармонии и т.д.

         Рассмотрим первоначальное значение этого слова, значение понятия «ритм», которое придавали ему древние греки. В их понимании ритм – всякое равномерное чередование, размеренность, происходящая с определенной частотой, последовательностью, скоростью протекания. Поэтому с ритмами мы встречаемся на каждом шагу в повседневной жизни: день сменяется ночью, зима – весной и т.д. Даже на улице: например, прислушайтесь к шагам: раз-два, левой-правой…

         Ритмами наполнена и математика. Вспомните ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5. Ощущаете ритм. Его основа – каждое последующее число получается из предыдущего, если к нему прибавить единицу.

         С XVII века в музыкальном искусстве утвердился тактовый (акцентный) ритм, основанный на чередовании сильных и слабых долей.

         ПРИМЕР 1. Рассмотрим русскую народную песню «Во поле берёза стояла»:

о поле бе|рёза сто|яла|

о поле куд|рявая сто|яла|

         Ударный слог называется сильной долей, не ударный  - слабой. Промежуток между двумя сильными долями называется тактом и отделяется двумя вертикальными линиями. Первая доля такта всегда сильная. Таким образом, в каждом такте одна сильная и три слабые доли. На первый взгляд, исключением являются последние такты, однако, это не так.

         В связи с количеством долей в такте различают простые такты (двух- и трехдольные), сложные (четырех-, шести-, девяти-, двенадцатидольные), смешанные (например, пятидольные). Размер такта обозначается дробью, в которой числитель указывает на количество долей в такте, а знаменатель показывает, какие это доли (в зависимости от их длительности). В этом смысле простыми размерами считаются размеры: 2/4, ¾ (в числителе дробей, указывающих размер, стоят простые числа). Размеры 4/4; 6/8 называются сложными размерами.

         Надо отметить, что в математике 6/8=3/4, в музыке же – нет! За основу размера ¾ берётся длительность ¼, а за основу размера 6/8 – длительность 1/8.

         Помимо простых и сложных размеров бывают составные (смешанные) размеры. Составные размеры получают при сложении простых.

         ПРИМЕР 2. Просмотрим партитуру Второго концерта для скрипки с оркестром С.С.Прокопьева. В третьей части встречаются размеры: 5/4=2/4+3/4 и 7/4=3/4+2/4+2/4. Так же составной размер встречается у Н.А.Римского-Корсакова в опере «Снегурочка».

         В музыке встречается такое явление, как полиритмия и полиметрия.

Полиритмия - в музыке — одновременное сочетание двух или нескольких ритмических рисунков

Полиметрия - одновременное сочетание 2 или 3 метров, при котором не совпадают метрические акценты в разных голосах. Одна из форм организации полиритмии

ПРИМЕР 3: М.Глинка, опера «Иван Сусанин». (Сцена «Иван Сусанин и поляки», 3 действие): Иван Сусанин поет в размере 2/4, а поляки – ¾.

 1.2. Ритм в математике.

         В математику ритм проникает как синоним слову закономерность. Разложим число 1/81 в десятичную дробь, получим:

0,0123456791234567912345679…

В данном случае закономерностью будет периодичность повторения группы чисел (12345679). Это записывается: 0,0(12345679)

1/3=0,33333333…=0,(3)

1/6=0,166666666…=0,1(6)

1/9=0,111111111…=0,(1)

3/7=0,(428571)

         И наоборот, запишем в виде обыкновенной дроби: 0,23232323…=0,(23)=23/99.

Мы рассмотрели несколько примеров выявления числовых ритмов. А теперь вспомним о других математических терминах и понятиях.

2. Пифагоров квадрат.

2.1. Кратные числа представляют собой очень красивые примеры правильных ритмов в математике. Выпишем натуральные числа в виде т.н. квадрата Пифагора. Его особенность состоит в том, что у чисел, стоящих в одной строке, совпадают первые числа, а у чисел, стоящих в одном столбце – совпадают вторые числа:



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

А закончить можно словами великого математика Лейбница: «Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая».

9. Рефлексия.

1.Какие слова Пифагора нам известны?

2. Какие математические открытия сделал Пифагор?

3. Какая музыка звучала в школе Пифагора?

4.Кто первым употребил слово «космос»?

5.Как назывался первый музыкальный инструмент Пифагора?

6.Какая связь между нотами и дробями?

7.Какие термины и понятия объединяют математику и музыку?


Используемые источники:


  1. Истратова Ю. «Я иду на урок». Интегрированный урок «Дроби и ноты»

Журнал «1 сентября», «Математика» № 36, 1999.

  1. «Связь между математикой и музыкой, между Пифагором и Бахом».

Пресс-конференция «Пифагор и музыка».

do.gendocs.ru>docs/index-97941.html



  1. Социальная сеть работников образования. «Математика и музыка –

сестры».

nsportal.ru>…prikladnoe…library/matematika…muzyka…



  1. Эссе «Математика и музыка»

letopis.ru>index.php/Эссе «Математика и музыка».





izumzum.ru