В стоит первым». Оно наступает, если случился одно из двух элементарных событий ваб и вба (рис. 7). Следовательно, событию - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
В стоит первым». Оно наступает, если случился одно из двух элементарных событий ваб - страница №1/1

Глава VI. Математическое описание случайных явлений


29. Благоприятствующие элементарные события
До сих пор мы обсуждали только элементарные события. Однако в ходе опыта могут возникать более сложные случайные события. Например, при бросании игральной кости возможно событие «выпало четное число очков» или событие «выпало более двух очков», У таких событий тоже есть вероятности. Для обозначения случайных событий будем употреблять прописные латинские буквы А, В, С, D и т. д.

Каждое событие состоит из элементарных событий. Например, событие «выпало четное число очков» при бросании игральной кости состоит из трех элементарных событий: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков».



Определение. Элементарные события, при которых наступает событие А, называются элементарными событиями, благоприятствующими событию А.

Случайное событие может иметь несколько благоприятствующих элементарных событий. Два различных события могут произойти одновременно. Это не относится к элементарным событиям. Элементарное событие всегда наступает только одно.




Пример 1. Андрей, Борис и Владимир (А, Б и В) встают в очередь. Все возможные события в этом опыте складываются из элементарных событий, которых в данном случае всего шесть:

АБВ, АВБ, БВА, БАВ, ВАБ, ВБА.


Рассмотрим событие «В стоит первым». Оно наступает, если случился одно из двух элементарных событий ВАБ и ВБА (рис. 7).
Следовательно, событию «В стоит первым» благоприятствуют элементарные события ВАБ и ВБА.



Рис. 7
Пример 2. В том же опыте событию «Б стоит впереди А» благоприятствуют элементарные события

БАВ, БВА, ВБА.




Пример 3. Игральную кость бросают дважды. Таблица элементарных событий этого опыта нам известна.

1;1

1;2

1;3

1;4

1;5

1;6

2;1

2;2

2;3

2;4

2;5

2;6

3;1

3;2

3;3

3;4

3;5

3;6

4;1

4;2

4;3

4;4

4;5

4;6

5;1

5;2

5;3

5;4

5;5

5;6

6;1

6;2

6;3

6;4

6;5

6;6

Рассмотрим событие «сумма очков на обеих костях равна 11». Этому событию благоприятствуют только два элементарных события (6; 5) и (5; 6). Эти элементарные события выделены в таблице розовым цветом.

Событию «произведение очков на обеих костях равно 12» благоприятствуют элементарные события (4; 3), (3; 4), (2; 6) и (6; 2). Они выделены голубым цветом.





Здесь мы узнали, что случайные события состоят из элементарных событий. Еще мы теперь знаем, что такое благоприятствующее элементарное событие.



Вопросы

1. Что означает, что элементарное событие благоприятствует событию А?
2. Всякое ли элементарное событие опыта является случай- ным событием?
3. Верно ли, что случайному событию может благоприятствовать только одно элементарное событие?
Упражнения
1. Бросают одну игральную кость. Перечислите элементарные события, благоприятствующие событию:
а) «выпало четное число очков»;
б) «выпало число очков, кратное 3»;
в) «выпало число очков, большее 2».
2. О результате шахматной встречи между шахматистами Андреевым и Борисовым известно, что Андреев не проиграл Борисову. Какие элементарные события благоприятствуют этому событию?
3. Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий при бросании двух игральных костей. Выделите в этой таблице цветными карандашами элементарные события, благоприятствующие событиям:
а). «на костях выпало одинаковое число очков»;
б). «на обеих костях выпало число очков, кратное трем»;
в). «сумма очков на двух костях равна 5»;
г). «произведение выпавших очков равно 10»;
д). «на первой кости выпало число очков, кратное 4»;
е). «на второй кости выпало число очков, большее 4».
Сколько элементарных событий благоприятствует каждому из этих событий?

4. Пользуясь таблицей элементарных событий бросания двух игральных костей, укажите элементарные события, которые составляют события:


а). «сумма очков равна 7»;
б). «на второй кости выпало больше очков, чем на первой»;
в). «сумма очков не меньше 6»;
г). «произведение очков равно 18»;
д). «произведение очков не больше чем 6»;
е). «числа выпавших очков различаются меньше, чем на 3».

Сколько элементарных событий благоприятствует каждому из этих событий?

5. Биатлонист на огневом рубеже делает по одному выстрелу в каждую из пяти мишеней. Сколько элементарных событий благоприятствует событию:
а) «биатлонист попал ровно в четыре мишени»;
б) «биатлонист попал ровно в одну мишень»?

6.В ящике всего четыре детали: две исправные детали а и b и две бракованные детали с и d. Из этого ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Выпишите все элементарные события такого опыта, благоприятствующие событию:


а) «извлечена ровно одна исправная деталь»;
б) «извлечено ровно две детали»;
в) «извлечено ровно три детали»;
г) «извлечено больше двух деталей»;
д) «первая извлеченная деталь — исправная»;
е) «предпоследняя извлеченная деталь — бракованная».

7. Симметричную монету бросают дважды. Выпадение орла при каждом бросании обозначим через О, а выпадение решки—через Р. Выпишите элементарные события, благоприятствующие событию:


а) «выпал один орел и одна решка»;
б) «во второй раз выпала решка»;
в) «решка выпала хотя бы раз»;
г) «в первый раз выпал орел».
Сколько элементарных событий благоприятствует каждому из этих событий?

8. Симметричную монету бросают трижды. Выпадение орла при каждом бросании обозначим через О, а выпадение решки—через Р. Выпишите элементарные события, благоприятствующие событию:


а) «выпал ровно один орел»;
б) «выпала ровно одна решка»;
в) «при втором бросании выпала решка»;
г) «при третьем бросании выпал орел»;
д) «орел выпал более одного раза»;
е) «решка выпала хотя бы раз».
Сколько элементарных событий благоприятствует каждому из этих событий?

9. Константин, Леонид и Михаил купили по одной порции мороженого. Всего было куплено мороженое трех сортов: абрикосовое, брусничное и вишневое. Введите подходящую систему обозначений для элементарных событий такого эксперимента. Запишите все элементарные события, благоприятствующие событию:


а) «Константин купил абрикосовое мороженое»;
б) «Леонид не купил брусничное мороженое»;
в) «Михаил купил либо абрикосовое, либо вишневое мороженое.

10. Володя дважды бросает игральную кость. Сколько элементарных событий благоприятствует тому, что произведение выпавших очков равно:


а) 2; б) 6; в) 12; г) З6; д) 10; е) 11; ж) 18; з) 4; и) 9?
11*. В классе 5 учеников, среди которых учится Петя. Учитель в течение урока по очереди вызывает к доске двух человек. Сколько элементарных событий благоприятствует событию «Петю вызвали к доске»?

12*.Три богатыря Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алеша Попович подъехали к развилке. Здесь они разделились, один поехал направо, другой — налево, третий — прямо. Введите подходящую систему обозначений для элементарных событий этого опыта и выпишите элементарные события, благоприятствующие событию:


а) «Илья Муромец не поехал направо»;
б) «Добрыня Никитич поехал прямо»;

в) «Налево поехал либо Алеша Попович, либо Илья Муромец».



3О. Вероятности событий
Вероятности элементарных событий мы договорились обозначать буквой Р латинского алфавита по начальной букве латинского слова «probabilitas», что и означает вероятность.

Вероятность случайного события будем обозначать так же. Например, вероятность события А обозначаем Р(А), вероятность события В — это Р(В), и т. д.



Правило вычисления вероятностей. Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

Запишем это правило вычисления вероятностей в виде формулы. Пусть событию А благоприятствуют элементарные события а, b, с, d. Тогда его вероятность равна сумме вероятностей этих элементарных событий:



Р(А)= Р(а) +Р(b) +Р(с)+ Р(d)

Нужно понимать, что число элементарных событий, благоприятствующих данному событию, и, значит, число слагаемых в правой части равенства может быть различным.

Вероятности всех элементарных событий неотрицательны и в сумме равны единице. Поэтому вероятность любого события А также неотрицательна и не превосходит 1:

0 ≤ Р(А) ≤ 1

Напомним также, что если Р(А)= 0, то событие называют невозможным, а если Р(А) = 1, то событие называется достоверным. Событие, которому благоприятствуют все элементарные события, является достоверным.






Определение. События, которые имеют одинаковые вероятности, называются равновероятными. В частности, равновозможные элементарные события являются равновероятными событиями.



Пример 1. В шахматной партии, которую Остап Бендер играет с любителем шахмат города Васюки, вероятность выигрыша Остапа равна 0,001, вероятность ничьей равна 0,01. Найдем вероятность события А «Остап не проиграл». Этому событию благоприятствуют элементарные события «Остап выиграл» и «партия окончилась вничью». Таким образом,

Р(А) = 0,001 +0,01 = 0,011.

Пример 2. Автомобиль подъезжает к перекрестку (рис. 8) Вероятность элементарного события «автомобиль свернет вправо» равна 0,5, вероятность элементарного события «автомобиль свернет влево» равна 0,3, вероятность элементарного события «автомобиль поедет прямо» равна 0,18. Нужно найти вероятность события А «автомобиль не поедет обратно». Очевидно, этому событию благоприятствуют три перечисленных элементарных события. Следовательно, Рис. 8






Теперь мы знаем, что вероятность случайного события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих ему. Еще мы познакомились с равновероятностными событиями.
Р(А)=0,5+0,3+0,18=0,98.
Вопросы

1. Бросают одну игральную кость. Событие А заключается
в том, что выпало целое число очков. Является ли событие А
достоверным? Чему равна вероятность события А?
2. Приведите пример достоверного события в случайном эксперименте с бросанием двух игральных костей.
3. Приведите пример события, вероятность которого равна нулю, в случайном эксперименте с бросанием двух игральных костей. Вспомните, как называется такое событие.
4. Сформулируйте правило вычисления вероятности события через вероятности благоприятствующих элементарных событий.
Упражнения
1. В случайном опыте четыре элементарных события а, b, с и d, вероятности которых соответственно равны 0,1, 0,3, 0,4 и 0,2. Найдите вероятность события, которому благоприятствуют
элементарные события:
а) а и с; б) а, b и d; в) b, с и d; г) a и d.
2. В шахматной партии Андрей играет с Борисом. Вероятность выигрыша Андрея равна 0,3, вероятность ничьей равна 0,2, вероятность того, что партия не будет закончена, равна 0,1. Найдите вероятность того, что:
а) Андрей не проиграет; б) Борис не проиграет; в) никто не выиграет.
3. Стрелок один раз стреляет в круглую мишень (рис. 9). При этом вероятности попадания в зоны мишени представлены в таблице:



Зона мишени

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Вероятность

0

0,001

0,004

0,006

0,021

0,065

0,14

0,243

0,334

0,186


Найдите вероятность события:

а) «стрелок выбил меньше 5 очков»;
б) «стрелок выбил больше 7 очков»;
в) «стрелок попал в желтую зону мишени»;
г) «стрелок попал в зеленую зону мишени»;

д) «стрелок не попал в голубую зону мишени»;


е) «стрелок попал в красную зону и при этом выбил больше 3 очков».
4. В некотором опыте возможно три элементарных события а, b и с. Вероятность того, что наступит либо b, либо с, равна 0,83. Найдите вероятность элементарного события а. Рис. 9

5*. В некотором опыте возможно три элементарных события а, b и с. Вероятность того, что наступит либо а, либо b, равна 0,4, вероятность того, что наступит либо а, либо с, равна 03. Найдите вероятность каждого из элементарных событий.

6*. Иван Иванович отправился охотиться на медведей и зайцев и оценивает свои перспективы следующим образом:
— Один шанс из четырех за то, что попадется только заяц; один к десяти за то, что подстрелю только медведя; один к сорока— что будет и медведь, и заяц.
Найдите вероятность того, что не видать Ивану Ивановичу в качестве охотничьего трофея:
а) ни одного зайца; б) ни одного медведя; в) ни медведя, ни зайца.

31. Опыты с равновозможными элементарными событиями

Напомним, что элементарные события случайного опыта называются равновозможными, если все они имеют одинаковые шансы на осуществление. Тогда эти элементарные события имеют равные вероятности. Пусть в некотором опыте все элементарные события равновозможны и их число равно N. Поскольку вероятности этих элементарных событий одинаковы и в сумме равны 1, вероятность каждого элементарного события равна .

В этом случае подсчет вероятностей событий упрощается. Пусть случайному событию А благоприятствуют N(А) элементарных событий.

Тогда

Это правило можно выразить словами.

Пусть все элементарные события опыта равновозможны. Тогда в этом опыте вероятность произвольного события равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных событий.


Пример 1. Игральную кость бросают два раза. Найдем вероятность события А «сумма очков меньше 6». Для этого воспользуемся таблицей элементарных событий этого эксперимента.

1;1

1;2

1;3

1;4

1;5

1;6

2;1

2;2

2;3

2;4

2;5

2;6

3;1

3;2

3;3

3;4

3;5

3;6

4;1

4;2

4;3

4;4

4;5

4;6

5;1

5;2

5;3

5;4

5;5

5;6

6;1

6;2

6;3

6;4

6;5

6;6

Благоприятствующие элементарные события выделим розовым цветом. Число благоприятствующих элементарных событий: N(А) = 10. Общее число элементарных событий: N = 36. Элементарные события равновозможны. Поэтому вероятность события А найдем по формуле



Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найдем вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Обозначим выпадение орла буквой О, а решки — буквой Р и выпишем все элементарные события: ОО, ОР, РО и РР

. Всего элементарных событий четыре. Так как монета симметричная, эти события равновозможны. Из них ровно два события ОО и РР благоприятствуют указанному событию. Вероятность получить оба раза одну сторону равна








Мы узнали, как найти вероятности событий в опыте, в котором элементарные события равновозможны.


Вопросы

1. Сформулируйте правило вычисления вероятности случайного события в опыте с равновозможными элементарными событиями.



Упражнения
1. Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события:
а). «выпало четное число очков»;
б). «выпало число очков, кратное трем»;
в). «выпало число очков, большее 3»;
г). «выпало число очков, кратное 7».
2. Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события:
а). «выпавшее число очков является делителем числа 12»;
б). «выпавшее число очков кратно 5»;
в). «выпавшее число очков является простым числом».
3. Бросают симметричную монету 2 раза. Равные ли вероятности имеют события «два раза выпал орел» и «один раз выпал орел, а другой — решка»? Найдите вероятности этих событий.
4. Бросают две игральных кости: желтую и зеленую. Вычислите вероятность события:
а). «сумма очков на обеих костях равна 7»;
б). «сумма очков на обеих костях равна 11»;
в). «на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой»;
г). «числа очков на костях различаются не больше чем на 2»;
д). «произведение очков на обеих костях равно 10»;
е). «сумма очков на обеих костях делится на 3».
5. Пятачок идет из своего дома к дому Винни-Пуха, а Винни-Пух идет из своего дома к дому Пятачка. Каждый из них может выбрать наугад любую из дорожек. Найдите вероятность встречи для каждого случая (рис. 10).

6. В коробке лежат 24 одинаковыё авторучки. Из них 13 красных, 5 зеленых, остальные — синие. Продавец наудачу достает одну авторучку. Найдите вероятности событий:


а) «извлеченная ручка красная»;
б) «извлеченная ручка не зеленая»;
в) «извлеченная ручка либо синяя, либо зеленая»;
г) «извлеченная ручка либо красная, либо синяя». Рис.10

7. В ящике лежат 20 синих и 16 красных карандашей. Продавец, не глядя, вынимает один карандаш. Найдите вероятность того, что этот карандаш окажется:


а) синим; б) красным.
8. Миша покупает альбом (А), блокнот (Б) и тетрадь (Т). Продавец достает товары в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что:
а) сначала продавец достанет блокнот;
б) продавец достанет альбом в последнюю очередь;

в) продавец сначала достанет тетрадь, а в последнюю очередь—блокнот;


г) альбом будет извлечен раньше, чем тетрадь.
9. На клавиатуре компьютера 105 клавиш. Найдите вероятность того, что обезьяна, нажав клавишу случайным образом, напечатает букву «А».
10. На день рожденья к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тезками.
11. Шахматный слон может за один ход перейти на любое число полей, двигаясь только по диагонали (рис. 11). Шахматный слон случайным образом поставлен на доску. Найдите вероятность того, что он может за один ход перейти на поле:
а) h1; б) а5; в) с4; г) d7; д) d5; е) g3. Рис.11
12. У Лены есть 4 книги писательницы Гонцовой: «Очки для крота», «Шило в мешке», «Квадратное колесо» и «Полосатый огурец». Оля не знает, какие книги есть у Лены, но решила подарить Лене еще одну или две книги Гонцовой. В магазине оказались книги «Шило в мешке», «Вагончик тронется», «Акула в аквариуме» и «Квадратное колесо». Найдите вероятность того, что у Лены окажется хотя бы две одинаковые книжки, если Оля выбрала случайным образом;
а) одну книжку; б) две разные книжки.

13. По правилам игры «Морской бой» на поле 10 х 10 клеток размещаются четыре однопалубных корабля (по одной клетке), три двухпалубных, два трехпалубных и один четырехпалубный (рис. 12).

а). Найдите вероятность первым же выстрелом попасть в какой-нибудь из кораблей противника.
б). Найдите вероятность первым же выстрелом попасть в четырехпалубный корабль.
в). Найдите вероятность первым же выстрелом попасть в однопалубный

корабль.





Рис.12 Рис.13
14*. При игре в «Морской бой» после первого вашего выстрела противник сообщил, что вы подбили какой-то корабль (но не потопили его). Какова вероятность того, что вы попали
а). в четырехпалубный корабль;

б) в трехпалубный;

в) в двухпалубный?

15*. На рис. 13 показано положение в игре «Морской бой». Красным цветом показаны потопленные корабли противника. У противника остался только один двухпалубный корабль, положение которого неизвестно. Клетки, в которых нарисованы точки, — это клетки, по которым мы уже стреляли. В них не может быть корабля. Считая равновозможными любые допустимые положения последнего корабля, найдите вероятность того, что вы попадете в него, выстрелив в поле:


а) к4; б) з1; в) к1; г) е7; д) е8.
В какое поле нужно выстрелить, чтобы вероятность подбить последний корабль была наибольшей?

16*. Надя складывала в коробочку только двухрублевые монеты. Однажды Ира взяла из коробочки несколько монет, заменив их монетами по одному рублю так, что общая денежная сумма осталась прежней. После замены вероятность наудачу вытащить двухрублевую монету оказалась в З раза больше вероятности вытащить рублевую. Какую часть двухрублевых монет взяла Ира?

17*. В городе N пять улиц. При этом две из них идут параллельно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. Любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром два постовых случайным образом встали на два разных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице.

18*. Одно время на улицах и вокзалах профессиональные игроки предлагали прохожим испытать удачу в простой игре. Зажав в кулаке обычный носовой платок так, что наружу высовывались только четыре уголка, игрок просил прохожего взять два любые конца и потянуть за них. Если прохожий вытаскивал два соседних угла, то он проигрывал. Если прохожий вытаскивал два противоположных угла, то он выигрывал. Найдите вероятность выигрыша прохожего и вероятность выигрыша игрока.

19*. Красная Шапочка идет от домика мамы к домику бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рисунке 14. Дорожки Красная Шапочка выбирает наудачу. На двух дорожках девочку поджидают Волки. Найдите вероятность того, что Красная Шапочка на своем пути:
а) встретит ровно одного Волка;
б) встретит двух Волков;
в) не встретит ни одного Волка;
г) встретит хотя бы одного Волка.


Рис.14






В этом пункте сказано о том, что такое элементарное событие, и о
том, что случайный опыт может закончиться только одним элементарным событием.




Вопросы

1. В классе 25 учеников. Учитель во время урока вызывает к доске одного ученика. Сколько различных элементарных событий имеет этот случайный опыт?


2. Могут ли в результате опыта одновременно наступить два различных элементарных события?
Упражнения
1. Андрей и Борис решили купить мороженое и встали в очередь. Сколькими способами они могут расположиться друг за другом? Выпишите эти способы.
2. В киоске продается три сорта мороженого: сливочное, шоколадное и клубничное. Андрей и Борис покупают по одной порции






izumzum.ru