В поле гравитации тяжелой точечной массы - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
В поле гравитации тяжелой точечной массы - страница №1/1

Задача Кеплера.
Рассмотрим теперь движение легкой частицы массы m в поле гравитации тяжелой точечной массы , (задача Кеплера). Эта задача, фактически, достаточно хорошо моделирует движения планет в поле гравитации Солнца. Понятно, что в зависимости от меры сообщаемой частице энергии Е, ее движение в поле гравитации точечной массы будет либо финитным (эллипс), либо инфинитным (парабола, или гипербола). Поэтому, задача сводится к нахождению условий финитности, или инфинитности движения частицы.

Так как диссипативные силы отсутствуют, то энергия частицы сохраняется


(11.7)
где – радиальная и азимутальная компоненты скорости, – расстояние частицы до точечной массы.

Используя закон сохранения момента импульса частицы:


, (11.8)
и исключая его помощью азимутальную скорость из (11.7), получим
. (11.9)
Формально это выражение можно рассматривать как энергию одномерно-радиального движения частицы во внешнем поле с эффективным потенциалом
, (11.10)
зависимость которого от силового центра r схематически представлена на рис.11.4.

рис. 11.4
Так как первый член правой части (11.9) неотрицательная величина, то область пространства, в которой может находиться частица, определится условием . Проведем горизонтальную прямую. Области пространства, соответствующие участкам кривой , которые лежат выше этой прямой, не достигаемы частицей с энергией (рис.11.5).

Рис.11.5


Если , то прямая пересекает кривую в двух точках поворота, которым соответствуют расстояния от центра и . Движение частицы локализовано в области , т.е. финитно, и соответствует движению по эллипсу. Расстояния и , которые называются перицентром и апоцентром эллиптической орбиты, являются решениями уравнения :
. (11.11)
Введя эксцентриситет траектории как
,

и пользуясь теоремой Виета:


, (11.12)

получим следующую формулу


, (11.13)

которая дает связь формы траектории частицы с параметрами задачи.

Минимуму эффективного потенциала соответствует расстояние от центра и энергия (их легко получить из (11.10)). Подставляя в (11.13), находим соответствующее значение эксцентриситета . Это круговое движение с радиусом орбиты . Из (11.8) для скорости кругового движения получаем
. (11.14)
Если в первое соотношение (13.12) положить (круговое движение), то получится , или . И так как , то для кругового движения получаем . Т.е. при круговом движении сумма полной и кинетической энергий частицы равна нулю.

Уравнение (11.11) дает два вещественных корней лишь в области энергий . Им соответствует эллиптическая орбита со значениями эксцентриситета (рис.11.6).




рис. 11.6
Большая полуось эллипса имеет длину , а малая полуось – .

Если , то прямая пересечет кривую только в одной точке, соответствующей расстоянию от центра . Двигаясь к центру, частица остановится на расстоянии и меняет направление радиальной скорости в обратную сторону, удаляясь в бесконечность. Это – инфинитное движение, а траектория – гипербола. Наконец, при , движение частицы также инфинитно – но с параболической траекторией (рис.11.7). Так как в бесконечном расстоянии от центра , то здесь . Отсюда следует, что при гиперболическом движении частица приходит в бесконечность с конечной скоростью , а при параболическом движении – с нулевой скоростью. Начальная скорость , которую надо сообщить частице на расстоянии , чтобы она стала двигаться по параболе, называется параболической скоростью. Ее можно определить из (11.7), подставив в него :


,
откуда

(11.15)

рис. 11.7


Сравнивая (11.14) и (131.15), получим .

Полученные здесь формулы применимы к движениям тел в околоземном пространстве, где можно пренебречь сопротивлением атмосферы. В частности, применительно к Земле формулы (11.14) и (11.15) выражают первую (круговую) и вторую (параболическую) космические скорости. Именно такие скорости нужно сообщить телу на поверхности Земли (при этом – радиус Земли), чтобы оно двигался вокруг нее по кругу, или по параболической орбите. Убедитесь сами, что приблизительные значения этих скоростей соответственно равны 8 км/с и 11,2 км/с.


Собственная гравитационная энергия однородного шара.

Тела, которые формировались и удерживаются внутренними силами всемирного тяготения, называются гравитирующими. Таковыми являются планеты, звезды и разнообразные совокупности звезд. Работу внутренних консервативных сил мы характеризовали собственной потенциальной энергией, которая в рассматриваемом случае называется гравитационной. Это – работа гравитационных сил при полном разрушении системы, т.е. при превращении системы в конфигурацию с нулевой гравитационной энергией. Это соответствует ситуации, когда расстояния между всеми частицами бесконечны.


Рис. 11.8


Поэтому, разобьем мысленно шар радиуса R и массы M на бесконечно тонкие концентрические слои и последовательно удалим их в бесконечность. Пусть в этом процессе удаляем слой с массой из поверхности шара массы в бесконечность (рис.11.8). Так как в бесконечности потенциальная энергия слоя равна нулю, то изменение гравитационной энергии при этом перемещении будет -, где – гравитационный потенциал на поверхности шара. Гравитационную энергию шара получим, производя интегрирование:
, (11.16)
где мы исключили из первого подынтегрального выражения , пользуясь следующим очевидным соотношением для однородного шара: . Знак минус вызван с выбором конфигурации с нулевой энергией (чтобы достичь ее следует сообщить шару положительную энергию).

Заметим, что гравитационная энергия шара данной массы обратно пропорциональна его радиусу. Уменьшая радиус, т.е. уплотняя шар, можно его гравитационную энергию увеличить до энергии покоя - . Легко оценить, что это случится при радиусе



, (11.17)
который называется гравитационным радиусом тела. Не трудно оценить, что для Солнца () он порядка километра, а для Земли () – порядка метра, так что гравитационная энергия составляет лишь ничтожную долю от энергии их покоя. Совершенно иная ситуация у сверхплотных – нейтронных звезд (пульсары), которые при радиусе в 10 км имеют массы порядка солнечных(!). Легко убедиться, что плотность массы у них порядка плотности масс атомных ядер. Гравитационная энергия нейтронных звезд составляет 10% - 30% от энергии их покоя.

Гравитационное поле вокруг таких сверхплотных образований уже не описываются простыми формулами (11.3),(11.5). Эйнштейн в 1915г. построил релятивистскую теорию гравитации, или общую теорию относительности, в рамках которой и описываются эти объекты и связанные с ними явления. Однако некоторые экзотические явления можно предварительно получить и в рамках Ньютонов теории гравитации с учетом выводов специальной теории относительности. Например, легко убедиться, что круговая скорость у поверхности (в действительности такая поверхность не может находиться в равновесии, а под действием мощных сил гравитации должна безудержно сжиматься к центру) объекта с радиусом (11.17) равна скорости света. Это означает, что световой квант не в состоянии преодолеть притяжение такого объекта и выйти наружу, т.е. их нельзя наблюдать непосредственно. Однако их можно обнаружить по определенным явлениям, если они входят в состав двойной звезды. Такие объекты носят название черных дыр.


izumzum.ru