В 11 классе при подготовке к Единому Государственному Экзамену по математике приходится систематизировать школьные знания, полученны - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
I. Методические и дидактические материалы по подготовке учащихся... 4 1483.14kb.
Тактическая подготовка является важнейшим разделом начального военного... 1 289kb.
Сборник дидактических материалов для подготовки к единому государственному... 2 495.75kb.
«гимназия» Блоковая система подготовки к единому государственному... 1 201.99kb.
В помощь студентам при подготовке к экзамену по физиологии растений 1 45.45kb.
Открытый урок английского языка во 2-м классе по теме "Animals" 1 32.15kb.
Обобщающий урок по разделу «Там на неведомых дорожках…» 1 32.01kb.
Конспект урока по математике в 4а классе Рижской основной школы «пардаугава»... 1 251.99kb.
Бюджет семьи. Доходная и расходная части бюджета 1 31.96kb.
Вопросы к устному экзамену по математике за I семестр в 10Е классе... 1 40.11kb.
Урок музыки в 5-м классе по теме: "Музыка и кино" Тема урока: музыка... 1 45.63kb.
Алгебра нацелена на формирование математического аппарата для решения... 1 252.52kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

В 11 классе при подготовке к Единому Государственному Экзамену по математике приходится - страница №1/1

ВВЕДЕНИЕ
В 11 классе при подготовке к Единому Государственному Экзамену по математике приходится систематизировать школьные знания, полученные в течение 10 лет обучения. В общеобразовательных школах многие вопросы рассматриваются в неполной форме, либо не рассматриваются вообще, однако, в Едином Государственном Экзамене задания по этим темам встречаются.

Цель нашей работы – систематизация методов решения уравнений высших степеней (УВС). Мы классифицировали уравнения по группам и смогли выделить основные методы решения, которые предлагаем в данной работе.
Будем считать уравнением высшей степени любое уравнение вида М(х) = 0, где М(х) – многочлен с целыми коэффициентами степени не менее третьей (УВС).
I метод

Разложение на множители
Этот метод является одним из основных методов решений УВС. Покажем его на примере возвратного уравнения третьей степени:
.


Разложим на множители:

,

,

.

Затем, из данного уравнения находим корни.


II метод

Замена переменной
Суть метода - замена повторяющейся группы так, чтобы исключить исходную переменную из уравнения и получить уравнение более простого вида.
,

.

Пусть = t, тогда



,

,

,

, .

Решаем уравнения:

1) , 2) ,

, ,

, , .

,

, .

Ответ: .


.

Пусть = t , , тогда



,

,

, .

Решаем уравнения:

1) =1 , 2) = -3 ,

, ,

, ,

, . , .

Ответ: .





,
.

Пусть = а, тогда





, .

Решаем уравнения:

1) , 2) ,

, ,

, нет корней.

.

Ответ: .





- уравнение такого вида называется

возвратным.

Пусть , тогда:





, тогда

,

,

, .

Решаем уравнения:

1) 2)

. ,

, .

Ответ: , .
Иногда встречаются случаи, когда метод замены переменной применим в уравнениях, которые по своему виду не являются уравнениями высших степеней:

Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим



,

,

= 4.

Пусть , тогда





,

, - не удовлетворяет условию, .

Решаем уравнение:



,

,

, .

Ответ: , .


III метод

Деление на подходящее выражение с переменной
Этот метод является частным случаем метода замены переменной.

Проверим, является ли корнем уравнения:



можно разделить обе части уравнения на . Получаем



,

.

Пусть , тогда



,

,

,

, .

Решаем уравнения:

1) , 2) ,

, ,

, . .

Ответ: , .





- уравнение такого вида называется

однородным уравнением второй степени.

Проверим, является ли корнем уравнения:



можно разделить обе части уравнения на . Получаем:



.

Пусть , тогда



,

, .

Решаем уравнения:

1) , 2) ,

, ,

. ,

.

Ответ: .



Уравнение вида

, - называется




возвратным уравнением четвертой степени.

Проверим, является ли корнем уравнения:



не является корнем уравнения

можно разделить обе части уравнения на . Получаем:



.

После группировки получим:



.

Пусть , тогда



.

Затем, раскрывая скобки, получаем квадратное уравнение, решая которое, определяем корни. Подставляем эти корни вместо переменной t и находим корни исходного уравнения.




Разделим обе части уравнения на , тогда
.

Пусть = A, тогда



,
По свойству пропорции :

,

Решаем уравнения:

1) = 5, 2) = 8,

, ,

D = 61,



Ответ:


IV метод

Выделение полного квадрата.



  • ,

Дополним левую часть уравнения до квадрата суммы:



,

,

.

Пусть выражение = Т, тогда

Т 2 – Т – 2 = 0,

Т = -1, Т = 2.

Решаем уравнения:

1) = 2, 2) = -1,



,

x = 1.

x =

Ответ:


V метод
Схема Горнера.
Одним из способов решения УВС является способ разложения на множители многочлена в левой части. Так как, если известен хотя бы один корень уравнения, то с помощью схемы Горнера можно разложить многочлен на множители и понизить степень уравнения.





Все коэффициенты данного многочлена.






Старший

+ + +






Корень

Х = А


Старший

* * * R- остаток

А А А



Значит, основная задача - задача нахождения корня (подбором)!

Для этого применяем теоремы алгебры многочленов:



Теорема 1: Пусть несократимая дробь является корнем уравнения:

АпХп + Ап-1Хп-1 + … + А1Х + А0 = 0 с целыми коэффициентами, тогда число «р» является делителем свободного члена «А0», а число «с» - делителем старшего коэффициента «Ап».

Формулы Виета:

, где - корни этого уравнения.

Следствие 1: Любой целый корень уравнения с целым коэффициентом является делителем свободного члена (А0).

Следствие 2: Если старший коэффициент УВС равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они есть, – целые.

Следствие 3: Если сумма коэффициентов равна 0, то один из корней уравнения равен 1.

Следствие 4: Если сумма коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней этого уравнения равен -1.
Пример:


  • ,

равно ±1, , тогда при х = 1:

2 – 5 – 1 + 3 + 1 = 0 => х = 1- корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:



2 -5 -1 3 1






2 2 -3 -4 -1



х =1

2 -3 -4 -1 0

Имеем:

(х -1)=0 или,

х = 1 равно ±1, , тогда при х = -0,5:

-0,25 - 0,75 + 2 – 1 = 0 => х = -0,5 - корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:






2 -3 - 4 -1




-1 2 1


х = - 0,5


2 - 4 - 2 0

Имеем: ,

х = 1 или х = -0,5 или

Ответ: х = 1, х = - 0,5, .


Если старший член многочлена равен 1:






Видим, что здесь работает СЛ 3: х = 1- корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:






1 -2 -5 6






1 1 -1 -6



х=1

1 -1 -6 0

Тогда:


,

х=1 или х2 - х – 6 = 0,

х = 3, х = - 2.

Ответ :х =1, х =3, х = - 2.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Перечисленные нами методы позволяют решать до 90 процентов уравнений высших степеней в школьном курсе, а остальные, как правило, приводимы к данным методам.


izumzum.ru