Учебно-методическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики Нижний Новгород 2007 Печатается по решению ред - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Л. В. Храмков введение в самарское краеведение 25 5492.13kb.
Методическое пособие для школьных психологов, учителей, классных... 4 874.84kb.
Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного... 1 532.01kb.
Учебно-методическое пособие Печатается по решению Учебно-методической... 1 351.15kb.
Е. А. Коростелева Учебно-методическое пособие логомиры г. Хабаровск... 4 682.43kb.
Ответственный редактор 1 60.73kb.
Д. Р. Хайрутдинова История Татарстана и татарского народа с древнейших... 6 598.96kb.
Учебно-методическое пособие. Н. Новгород.: Вгипу, 2009. с 1 187.21kb.
Учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения... 1 164.53kb.
Учебно-методическое пособие для студентов филологических специальностей... 3 746.63kb.
Учебно-методическое пособие для студентов очного и заочного отделения... 7 855.94kb.
Решение практических задач 1 23.77kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Учебно-методическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики - страница №1/3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Нижегородский государственный

педагогический университет»


Арксинус, арккосинус, арктангенс

и арккотангенс числа

Учебно-методическое пособие

для студентов факультета математики, информатики и физики

Нижний Новгород

2007
Печатается по решению редакционно-издательского совета Нижегородского государственного педагогического университета

Кузнецова Л.И.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: Учебно-методическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики. Н.Новгород: НГПУ, 2007, 60 с.

В пособии представлена вторая из четырех частей раздела «Тригонометрия» курса «Элементарная математика». В нем содержится тематический план, основные теоретические положения, выделены основные типы, методы и приемы решения задач, приведены список задач для индивидуальной работы и вариант контрольной работы по теме «Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа».

Предназначено для студентов факультета математики, информатики и физики, обучающихся по специальности «032100.00 – Математика с дополнительной специальностью».

Рецензент: С.В. Кириллова, доцент кафедры теории и методики обучения математике


Отв. за выпуск: Т.А. Иванова, доктор пед. наук, профессор кафедры теории

и методики обучения математике


Введение

Цель учебно-методического пособия по тригонометрии – оказание помощи студентам факультета математики, информатики и физики в усвоении раздела «Тригонометрия» из курса «Элементарная математика», так как отсутствие единого учебника, доступного студентам, в котором содержались бы все необходимые сведения по тригонометрии, значительно затрудняет изучение этого раздела. Пособие содержит систематизированный материал по теории и по типам задач, методам, способам и приемам их решения.

В данном пособии представлена вторая тема раздела по тригонометрии – «Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа». Учебно-методическое пособие по первой части раздела – «Преобразования тригонометрических выражений. Доказательство тождеств и неравенств» - издано в 2005 году (Н.Новгород: НГПУ).

Пособие включает в себя примерный тематический план изучения темы, требования к знаниям и умениям студентов, содержательную часть, вариант контрольной работы, приложение и список литературы.

В содержательной части темы рассмотрены определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, их основные свойства и тождества, следующие из определений; выделены типы задач на вычисление, доказательство тождеств и решение уравнений и неравенств, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Для большинства типов задач приведены последовательности действий, составляющих метод или прием решения. Типы задач, методы и приемы решения иллюстрированы большим числом примеров.

Определения и свойства понятий, методы и приемы решения задач, которыми должны овладеть студенты, отмечены в тексте курсивом.

Контрольная работа отражает уровень требований к знаниям и умениям студентов и предназначена для подготовки к аудиторной контрольной работе.

К каждому пункту пособия прилагается список задач для индивидуальной работы. Все задачи имеют общую нумерацию и идут под рубрикой «Упражнения». Задачи частично заимствованы из литературы, частично составлены автором. В конце пособия даны ответы к задачам.

Для удобства в использовании определения, свойства и тождества для рассматриваемых чисел вынесены в приложение.

Теоретический и задачный материал представлен в пособии в достаточном количестве для организации индивидуальной работы студентов на различных уровнях.

Поскольку данное учебно-методическое пособие является второй частью, продолжением пособия по тригонометрии, то в нем пункты имеют двойную нумерацию (см. 2.1 – 2.4), а нумерации рисунков, упражнений и приложения продолжают соответствующие нумерации первой части.




Примерный тематический план изучения темы


п/пТема занятияЧисло часовлекционныхпрактич.

занятий1 Определения, свойства, основные тождества для аркусов. Задачи на вычисление22, 3 Доказательство тригонометрических тождеств, содержащих аркусы

1 23, 4 Решение тригонометрических уравнений и неравенств, содержащих аркусы24 Контрольная работа № 21


Требования к знаниям и умениям студентов
Цель изучения темы – формирование умений в вычислениях значений выражений, доказательстве тождеств и решении уравнений и неравенств, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

В результате изучения темы студент



знает

- что такое «аркус» числа;

- определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа;

- основные тождества, следующие из определений аркусов;

- соотношения между одноименными аркусами чисел и ;

- тождества, связывающие арксинус и арккосинус, арктангенс и арккотангенс одного и того же числа;

- как найти синус, косинус, тангенс или котангенс от какого-нибудь аркуса;

- как найти арксинус (арккосинус) от синуса и косинуса, арктангенс (арккотангенс) от тангенса или котангенса;

- как найти значение многочлена от аркусов чисел;

- как выразить один аркус через другой;

- план доказательства тождества, содержащего аркусы;

- способы решения простейших уравнений и неравенств, содержащих аркусы;

- способ решения уравнений и неравенств вида , , , где - элементарная функция, - какой-либо аркус;

- способ решения уравнений и неравенств вида , где и - линейные функции одноименных или разноименных аркусов и одной и той же или разных функций аргумента ;



умеет

- находить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса от какого-либо аркуса;

- находить арксинус (арккосинус) от синуса и косинуса, арктангенс (арккотангенс) от тангенса и котангенса;

- находить значение многочлена от аркусов чисел;

- выражать один аркус через другой;

- доказывать тождества, содержащие аркусы;

- решать простейшие уравнения и неравенства, содержащие аркусы;

- решать уравнения и неравенства типов , , , где - элементарная функция, - какой-либо аркус, , где и - линейные функции одноименных или разноименных аркусов и одной и той же или разных функций аргумента .



Содержание темы

2.1. Определения и свойства

1. Для каждого действительного числа можно найти его синус (см. первую часть), причем известно, что один и тот же синус имеет бесконечное множество чисел. Например, , . Это означает, что действие нахождения числа по его синусу выполняется неоднозначно. Чтобы сделать действие однозначно выполнимым, выбирают промежуток, ближайший к началу отсчета, чтобы на нем синус принимал каждое свое значение и только один раз. Таким промежутком является отрезок . Известно, что синус может принимать значения только из отрезка . Следовательно, если задать число из отрезка , то на отрезке найдется единственное число , синус которого равен . Это число называется арксинусом числа и обозначается .



Определение. Арксинусом числа , принадлежащего отрезку , называется такое число из отрезка , синус которого равен .

Это определение можно сформулировать в геометрической терминологии: Арксинусом числа , принадлежащего отрезку , называется дуга, заключенная в отрезке , синус которой равен .

Термин «арксинус» произошел от слияния двух слов: «arcus», что в переводе с латыни означает «дуга», и «синус».

Символически определение можно записать следующим образом:

;

;

Докажем, например, что .

1) Здесь .

2) .

3)

Все требования определения выполняются. Значит, .

Аналогично можно доказать, что

.

Если в третье условие определения вместо подставить , то получим тождество



,

которое выполняется только для чисел из отрезка .



Если же в равенство вместо подставить из третьего условия, то получим тождество

которое выполняется только для чисел из отрезка .



Геометрическая интерпретация определения, получение по значению и тождества, следующие из определения, показаны в приложении 4.

Пользуясь геометрической интерпретацией, легко установить и еще одно тождество:



.

Его можно доказать и аналитически, что будет сделано позднее.

Нетрудно заметить также, что с возрастанием от до значения возрастают от до .

Рассуждая аналогичным образом, получим определения , тождества, следующие из определений, и тождества, связывающие арккосинусы (арктангенсы, арккотангенсы) противоположных чисел. Все это представлено в соответствующих столбцах приложения 4.

На основе определений заключаем, например, что





В дополнение к приложению 4 отметим, что с возрастанием от до значения убывают от до , с возрастанием от до значения возрастают от до , не достигая их, а значения убывают от до , не принимая этих значений. Это также можно установить с помощью геометрической интерпретации определений.

2. Через можно выразить множество всех чисел, синус которых равен , .

Согласно определению синус есть ордината точки единичной окружности. Если , то на окружности существуют две точки, имеющие ординату . Одна из них расположена в интервале , другая – в интервале (рис. 5). Первая из них соответствует числу , вторая числу . Тогда на множестве интервалов , , все числа, синус которых равен , имеют вид , , а на множестве интервалов , , числа, синус которых равен , имеют вид , .


При числа, синус которых равен , можно записать по любой из полученных формул.

Если множество всех чисел (дуг), синус которых равен , обозначить , то будем иметь:



или


тогда ответ можно записать одной строкой:



, .

Через арккосинус можно записать множество всех чисел, косинус которых равен , .

По определению косинус есть абсцисса точки единичной окружности. Если , то на окружности существуют две точки, имеющие абсциссу . Одна из них расположена в интервале , другая – в интервале (рис. 6). Первая из них соответствует числу , вторая числу . Тогда на множестве интервалов , , все числа, косинус которых равен , имеют вид , , а на множестве интервалов , , они имеют вид , .

При числа ответ можно записать по любой из полученных формул.

Если множество всех чисел (дуг), косинус которых равен , обозначить , то будем иметь:

или одной строкой:



, .

Запишем в общем виде числа, тангенс которых равен . По определению тангенс есть координата точки единичной окружности на оси тангенсов. Координату, равную , имеют две точки окружности. Одна из них расположена в интервале , другая – в интервале (рис. 7). Первая из них соответствует числу (дуге) , вторая числу . Тогда на множестве интервалов , , все числа, тангенс которых равен , имеют вид , , а на множестве интервалов , , числа, имеют вид , .

Если множество всех дуг, тангенс которых равен , обозначить , то получим формулу:

которую можно записать короче:



, .

Рассуждениями, аналогичными проведенным при выводе формул для и , получим формулу множества всех чисел, котангенс которых равен (рис. 8):



, .

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа будем для краткости называть аркусами.

Можно выделить три вида задач, наиболее характерных для темы: задачи на вычисление, на доказательство тождеств, на решение уравнений и неравенств. Рассмотрим каждый из этих видов отдельно.

2.2. Задачи на вычисление

1. Нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса от арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Задача 1. Найти синус, тангенс и котангенс от , если .

Решение. Пользуясь определением и полученными тождествами, можно найти . Поэтому выразим синус, тангенс и котангенс через косинус и используем последовательно найденные значения.

Из основного тригонометрического тождества следует, что . Так как в нашем случае находится на отрезке , то положителен, т.е. . Получим:







Аналогично можно решить задачи с арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом.



Задача 2. Найти а) ; б) ; в) ;

г) .



Решение.

а) .

Так как принадлежит отрезку , то . Поэтому корень взят со знаком плюс.

б) .

Используем тождество , из которого следует, что . Корень взят со знаком плюс, т.к. число находится в первой четверти, и, следовательно,

в) .

Воспользуемся тождеством , или , откуда следует, что . Знак модуля и знаки перед корнем можно опустить, т.к. в нашем случае , т.е. , а в этом промежутке знаки и совпадают.

Имеем:


.

.

Заметим, что преобразований, выполненных во второй строке под буквой в, можно было и не делать, а сразу воспользоваться формулой в силу совпадения знаков у и для .

г) .

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) .

Таким образом, чтобы найти синус (косинус, тангенс, котангенс) от , , ( ), нужно выразить его соответственно через косинус, тангенс, котангенс (синус) и воспользоваться тождеством. Если - число отрицательное, то часто бывает удобнее сначала воспользоваться тождествами, связывающими арксинусы (арккосинусы, арктангенсы, арккотангенсы) противоположных чисел.

Задача 3. Расположить в порядке возрастания числа , , , , , .

Решение. Числа и принадлежат интервалу , на котором арккосинус убывает. Так как , то .

Число находится в интервале , т.е. .

Остальные три числа принадлежат интервалу . Чтобы их сравнить, найдем например синусы этих чисел:

; ; .

На интервале арксинус монотонно возрастает. Поскольку , то .



Ответ. , , , , , .

Используя формулы тригонометрии, можно найти синус, косинус, тангенс или котангенс выражения, зависящего от , , и . Рассмотрим примеры.

Задача 4. Найти а) ; б) .

Решение.

а) Выразим через и произведем вычисления:



.

б) По формуле получим:



.

Ответ. а) ; б) .

2. Нахождение арксинуса (арккосинуса) от синуса и косинуса, нахождение арктангенса (арккотангенса) от тангенса и котангенса.

Если - табличное значение, то легко найти арксинус (арккосинус) от и или арктангенс (арккотангенс) от и . Например,



; ;

; ;

; ;

; .

Если - не табличное значение, то можно воспользоваться следующими тождествами:



, если ;

, если ;

, если ;

, если .

Формулы приведения позволяют выразить синус и косинус (тангенс и котангенс) произвольного числа через синус или косинус (тангенс или котангенс) числа, расположенного в заданном промежутке.

Рассмотрим примеры.

Задача 5. Найти арксинус от а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

а) Чтобы найти , выразим через синус числа из отрезка :



.

Используя полученное равенство и тождество , находим:



.

б) Простым подсчетом устанавливаем, что



.

Чтобы получить число из промежутка или , вычтем из всех трех частей неравенства число с нужным коэффициентом:



.

Теперь выразим через . Для этого упростим выражение :



,

откуда находим, что .

Получим:

.

в) Действуем по тому же плану, что и в пункте б:



,

,

,

.

г) Чтобы найти , нужно выразить через синус числа из отрезка . Для этого сначала из всех трех частей неравенства вычтем , где - нечетное число, так, чтобы получилось число из промежутков или :

.

Теперь выразим через :



.

Тогда и



.

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) .

Обобщая решение задачи 5, можно вывести следующие схемы.



Чтобы найти арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно от и , нужно

1) найти границы для числа в пределах одной четверти, записать двойное неравенство;

2) из всех трех частей неравенства вычесть , так, чтобы получилось число, принадлежащее нужному промежутку;

3) выразить синус (косинус, тангенс, котангенс) числа соответственно через синус (косинус, тангенс, котангенс) найденного числа;

4) воспользоваться нужным тождеством из .

Чтобы найти арксинус (арккосинус) от ( ) или арктангенс (арккотангенс) от ( ), нужно в предыдущем плане пункты 2 и 3 заменить на следующие:

2) из всех трех частей неравенства вычесть , так, чтобы получилось число, принадлежащее нужному промежутку;

3) выразить косинус (синус) или котангенс (тангенс) числа через синус (косинус) или тангенс (котангенс) найденного числа.

Решим по выделенной схеме следующую задачу.

Задача 6. Найти арккотангенс от: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Здесь выражено через , поэтому легко обойтись без первых двух шагов плана решения:

;

.

б) ; ;



; .

в) ; ;



; .

г) ; ;



,

т.е. ,



.

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) .

Очевидно, что задачи данного типа решаются с применением тождеств , но преобразовать выражение до применения тождества можно разными путями.



3. Нахождение значений многочленов от арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Задача 7. Найти , если .

Решение. От суммы арктангенсов удобнее всего находить тангенс по формуле тангенса суммы:

.

Так как , то , . Выясним, в каком промежутке находится сумма: , ,



.

В интервале только тангенс числа равен . Поэтому делаем вывод:



, если .

Ответ. .

Таким образом, чтобы найти значение многочлена от арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса чисел, можно



1) найти синус, косинус, тангенс или котангенс от этого многочлена;

2) установить, в каком числовом промежутке находится значение многочлена;

3) сделать вывод, учитывая результаты пунктов 1) и 2).

Рассмотрим еще пример.



Задача 8. Вычислить .

Решение. Чтобы найти синус или косинус от данного многочлена, найдем составляющие формул:

; ; .

От заданной алгебраической суммы найдем, например, косинус:



.

Теперь оценим заданное алгебраическое выражение:



, , ,

. . ,

. .

.

На интервале только косинус числа равен нулю. Поэтому



.

Ответ. .

4. Выражение одного из чисел арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс через другое.

Задача 9. Выразить через арктангенс.

Решение. Очевидно, что сначала нужно найти тангенс от .

.

Сделать сразу вывод о том, что , нельзя, так как в зависимости от знака числа числа и принадлежат одному или разным числовым промежуткам и, следовательно, могут оказаться равными или неравными.

Согласно определению арккосинуса число принадлежит отрезку . Если , то и тогда и принадлежат полуинтервалу и выполняется равенство

.

Если , то и , .

В этом случае равенство выполняться не может.

Если , то и можно воспользоваться равенством , учитывая, что :



.

Ответ.

Схему решения задачи 9 можно записать следующим образом.



Чтобы выразить через арктангенс, надо:

1) найти тангенс от ;

2) перейти к арктангенсу при положительных значениях ;

3) используя полученное в п. 2) равенство, вывести формулу для отрицательных значений , учитывая, что и ;

4) записать ответ.

Полученную схему легко распространить на все другие случаи. Поэтому ее можно считать общей.

Рассмотрим примеры применения схемы.

Задача 10. Выразить через арксинус.

Решение. 1) Найдем синус от :

.

2) Если , то согласно определению арксинуса числа.

3) Если , то и

.

Ответ.

Задача 11. Выразить через арккосинус.

Решение. Найдем косинус от :

.

Если , то и находятся в полуинтервале . Если , то оба числа расположены в интервале . Следовательно, при любом имеет место равенство



.

Ответ. При любом значении .

Задача 12. Выразить через арктангенс.

Решение. Сначала выразим через арктангенс число , действуя по известной схеме:

,

(по определению арктангенса).

Теперь выразим :



.

Ответ. .

Задача 13. Выразить через арккотангенс сумму .

Решение. Сначала найдем котангенс от суммы, используя формулу :

; . .

В данном случае сразу сделать заключение о том, что сумма равна , нельзя. Она может быть равна любому из чисел . Поэтому выясним, в каком интервале находится сумма:



,

,

.

Итак, числа и принадлежат одному интервалу монотонности котангенса и котангенсы их равны. Следовательно, .



Ответ. .

5. Вывод теорем сложения для арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов.

Через арксинус, арккосинус, арктангенс или арккотангенс можно выразить алгебраическую сумму арксинусов, арккосинусов, арктангенсов, арккотангенсов. Соответствующие равенства называются теоремами сложения. Получим для примера некоторые из них.



Задача 14. Выразить через арксинус сумму , где , .

Решение. Найдем синус заданной суммы:

.

Введем обозначения: , , , . Тогда имеем равенство: .

При любых значениях и число принадлежит отрезку . Выясним, где может находиться сумма : так как и , то . Тогда могут представиться следующие три случая:

1) ;

2) ;

3) .

В первом случае, пользуясь определением арксинуса, получим , т.е.

.

Во втором случае отрезок принадлежит отрезку , на котором (см. вывод формулы в п. 2.1), т.е.



.

В третьем случае отрезок принадлежит отрезку . Последний получается из отрезка вычитанием числа . Тогда на отрезке имеем: , т.е.



.

А теперь установим, как по значениям и определить, в каком промежутке расположена сумма .

а) Пусть числа и имеют разные знаки или хотя бы одно из них равно нулю. Это соотношение можно записать как . Тогда либо , , либо , . В каждом из этих случаев сумма принадлежит отрезку и тогда выполняется равенство .

б) Числа и имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю, т.е. числа связаны соотношением .

Рассмотрим сначала случай, когда . В этом случае выполняются неравенства

; ;

и никаких выводов пока сделать нельзя.

Пусть . Тогда

,

или


,

откуда


,

следовательно,



,

или


.

Проведенные здесь рассуждения легко обратить, учитывая, что . Получим, что если и , то , т.е. имеет место равенство .

Если выполняется неравенство , то из него следует, что , откуда находим:

,

,

,

,



.

Верно и обратное, т.е. если и , то . В этом случае выполняется равенство .

Теперь рассмотрим случай, когда и . Учитывая, что , и , сведем этот случай к предыдущему.

Если


,

то

.

При и это возможно тогда и только тогда, когда (см. рассуждения, проведенные выше). Применяя формулу для этого случая, получим:

,

или


.

Если


,

то

.

При , это возможно тогда и только тогда, когда (см. рассуждения выше). Следовательно, выполняется равенство . Запишем его для и :



,

или


,

т.е. получили равенство .

Подведем окончательный итог проведенным рассуждениям:

Если в формуле заменить на , то получим:



Сумму (разность) арксинусов можно выразить через арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Аналогично можно получить формулы для суммы (разности) арккосинусов, арктангенсов, арккотангенсов. Например,



где ;



где ;



где .

Пользуясь теоремами сложения, можно подсчитать суммы для конкретных значений и (см., например, задачи 7 и 8). Однако эти формулы не упрощают вычислений и на практике применяются крайне редко.

следующая страница >>


izumzum.ru