Рабочая программа дисциплины математика направление подготовки 222000 Инноватика Профиль подготовки - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Рабочая программа учебной дисциплины «Математика» Направление подготовки... 6 758.64kb.
Рабочая программа дисциплины математика (наименование дисциплины) 4 615.01kb.
Рабочая программа для студентов 010100. 62 направления «Математика»... 1 282.06kb.
Рабочая программа дисциплины «история экономических учений» Направление... 1 276.32kb.
Рабочая программа дисциплины «Гендерная социология» Направление подготовки 1 368.94kb.
Рабочая программа дисциплины Командообразование Направление подготовки... 1 143.33kb.
Рабочая программа дисциплины история криминалистики направление подготовки... 3 407.64kb.
Учебная программа по дисциплине «Мировая экономика» Направление подготовки... 1 184.72kb.
Программа дисциплины нис «Геометрия комплексных поверхностей» 1 72.89kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 1» 1 128.3kb.
2Цели освоения дисциплины 3 306kb.
22 ноября 2013 г. Урок алгебры в 9Б классе Учитель 1 117.49kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Рабочая программа дисциплины математика направление подготовки 222000 Инноватика - страница №1/1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Экономический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебно-

методической работе, проф.


_________________Елина Е.Г. «________»__________20____г.


Рабочая программа дисциплины


МАТЕМАТИКА
Направление подготовки

222000 Инноватика

Профиль подготовки



Инновационная экономика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр

Форма обучения

очная

Саратов .2012



Раздел 1. Цели освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины «Математика» является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки специалиста.

Целью математического образования специалиста является:

1) воспитание достаточно высокой математической культуры,

2) привитие навыков современных видов математического мышления,

3) привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.

Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

Математическое образование для подготовки бакалавров по направлению «222000 Инноватика» должно быть широким, общим, то есть малоспециализированным и достаточно фундаментальным. Фундаментальность математической подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык. Современный уровень развития гуманитарных наук требует достаточно высокой математической подготовки специалистов. Основой такой подготовки является курс высшей математики, который включает в себя элементы аналитической геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, теории вероятностей, линейного программирования.

Задачи курса – познакомить студентов с понятиями и методами высшей математики, необходимыми для изучения курса математических методов в науке, а также подготовить студентов к самостоятельному изучению тех разделов математики, которые могут потребоваться дополнительно в практической и исследовательской работе специалистов. В результате изучения курса студенты должны усвоить теорию, научиться использовать математическую литературу.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Данная дисциплина является базовой и относится к математическому и естественнонаучному циклу ООП.

Она тесно связана с такими разделами ООП как теория вероятностей и математическая статистика, методы оптимального решения, математические методы в экономике , статистика, эконометрика, макро и микро экономика и др.

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины.

В результате освоения дисциплины «Математика » у обучающегося частично формируется следующие



общекультурные компетенции:

- способностью использовать законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности (ОК-7);


- способностью применять математический аппарат, методы оптимизации, теории вероятностей, математической статистики, системного анализа для принятия решений (ОК-8);
- способностью использовать компьютер (пакеты прикладных программ и соответствующие информационно-коммуникационные технологии для решения профессиональных задач (ОК-10);
- способностью использовать основные метод, способы и средства получения, хранения, переработки информации, способностью использовать компьютер как средство управления информацией )ОК-12);
профессиональные компетенции:

производственно-технологическая деятельность

- способностью использовать информационно-коммуникационные технологии, управлять информацией с использованием прикладных программ деловой сферы деятельности; использовать сетевые компьютерные технологии и базы данных в своей предметной области, пакет прикладных программ для анализа, разработки и управления проектом (ПК-2)



организационно-управленческая деятельность

- способностью организовать работу исполнителей, находить и принимать управленческие решения в области организации работ по проекту и нормированию труда (ПК-8)


экспериментально-исследовательская деятельность

- способностью применять современные методы исследования и моделирования проекта с использованием вычислительной техники и соответствующих программных комплексов (ПК-11)

- способность спланировать необходимый эксперимент, получить адекватную модель и исследовать ее (ПК-13);

- способность готовить презентации, научно-технические отчеты по результатам выполненной работы, оформлять результаты исследований в виде статей и докладов (ПК-14);

- способность разрабатывать проекты реализации инноваций, формулировать техническое задание, использовать средства автоматизации при проектировании и подготовке производства, составлять комплект документов по проекту (ПК-15);

- способность использовать информационные технологии и инструментальные средства при разработке проектов (ПК-16);


В результате освоения дисциплины «Математика» обучающийся должен:

Знать: понятия матрицы, матричного уравнения, определителя векторной алгебры; основные преобразования системы координат (перенос, поворот, общее); канонические уравнения прямой и кривых 2-го порядка на плоскости; канонические уравнения поверхностей в , основные понятия дифференциального исчисления, интегрального исчисления для функций одной и многих переменных, методы суммирования числовых рядов, функциональных рядов и рядов Фурье. Основные понятия теории вероятностей, основные теоремы теории вероятностей, законы распределения случайных величин, статистические критерии.

уметь: выполнять действия с матрицами, находить отраженную матрицу, вычислять определители 2-го, 3-го, 4-го порядков; решать системы линейных уравнений методами Крамера и Гаусса, находить общие и частные решения системы линейных однородных уравнений; вычислять скалярное, векторное и смешанное произведение векторов; приводить уравнения кривых и поверхностей к каноническому виду. Основные понятия дифференциального исчисления, интегрального исчисления для функций одной и многих переменных, методы суммирования числовых рядов, функциональных рядов и рядов Фурье. Вычислять вероятностные события, условную вероятность события, применять теоремы теории вероятностей (умножения, сложения, полной вероятности и т.д.), использовать законы распределения случайных величин, определять методы нахождения оценок

владеть: методами Крамера и Гаусса для решения систем линейных уравнений; методами координат, методами векторной алгебры, представлениями о методах, используемых для решения геометрических задач на плоскости и в пространстве .

Представлениями о методах, используемых для решения задач математического анализа. Владеть представлениями о методах математической статистики и методах, используемых для решения задач теории вероятностей.



4. Структура и содержание дисциплины (модуля)

Общая трудоемкость дисциплины составляет .,. зачетные единицы,… часа.





п/п

Раздел дисциплины

Се-ме-стр

Неде-ля семестра

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)


Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
Формы промежуточной аттестации (по семестрам)

Лекции

Прак-тичес-кие занятия

Лабо-ратор-ные заня-тия

КСР

Само-стоя-тель-ная ра

бота





  1. 1

Часть 1. Линейная алгебра



























2.1.Матрицы, алгебра матриц. Ранг матрицы. Теоремы о ранге. Решение матричных уравнений.

2

1-3

9

9

-

-

30

Решение задач по вычислению обратной матрицы, сведение систем линейных уравнений к матричному виду. Домашнее задание.



2.2 Определители свойства определителей , метод Крамера, метод Гаусса для систем линейных уравнений. Правило решения систем линейных однородных уравнений

2

4-6

9

9







30

Вычисление определителей 2,3,4 порядков. Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса. Домашнее задание.



2.3.Элементы векторной алгебры: метод координат, вектор, проекция вектора, действия с векторами, скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

2

7-9

9

9







30

Решение задач на действие с векторами. Домашнее задание.



2.4.Аналитическая геометрия на плоскости: преобразования системы координат, уравнение прямой. Кривые второго порядка .

2

10-12


9

9







30

Решение геометрических задач на плоскости. Исследование кривых второго порядка. Домашнее задание.



Всего







36

36

-

-


120

экзамен



Часть 2. Математический анализ



























1.1.Теория предела числовых последовательностей и функций.

1

1-2

4

4

-

-

20

Решение задач по вычислению пределов последова-тельностей и функций. Домашнее задание.



1.2. Дифференциальные исчисления функций одной переменной

1

3-6

8

8







20

Дифференцирование функций, исследование на монотонность и экстремум. Домашнее задание.



1.3. Интегральные исчисления функций одной переменной

1

7-8

4

4







20

Интегрирование рациональных, иррациональных и тригонометрических функций. Домашнее задание.



1.4. Теория числовых и функциональных рядов

1

9-11


6

6







20

Решение задач по исследованию число-вых и функциональных рядов на сходимость, Домашнее задание.



1.5. Функции многих переменных: предел, непрерывность, дифференцируемость. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

1

12-15

8

8







20

Вычисление двойных и повторных пределов, частных производных функций многих переменных.

Решение задач на кратные криволиненйные и поверхностные интегралы. Домашнее задание.





1.6 Ряды Фурье







6

6







20






Всего







36

36







120

экзамен
































Часть 3. Теория вероятностей и математическая статистика
























































3.1.Основные понятия теории вероятностей: событие, вероятность события случайная величина.

3

1

6

6







10

Решение задач на вычисление вероятностей и событий.

Домашнее

задание




3.2.Основные теоремы теории вероятностей: теоремы сложения, теоремы умножения, формула полной вероятности, формула Бейеса

3

2-3

4

4







10

Решение задач на применение данных теорем. Домашнее задание.



3.3.Случайные величины и их законы распределения. Функция распределения, плотность распределения, математическое ожидание, дисперсия. Закон Пуассона.

3

4-6

6

6







10

Решение задач на вычисление математических ожиданий, дисперсий и др.характеристик случайных величин Домашнее задание.




3.4.Нормальный закон распределения.


3

7


2

2







10

Решение задач. Домашнее задание.



3.5. Характеристические функции, их свойства.

3

8

2

2







10

Решение задач. Домашнее задание.



3.6.Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова. Применение центральной предельной теоремы.

3

9-10

4

4







10

Решение задач на применение центральной предельной теоремы.

Домашнее задание.





3.7.Многомерные характеристические функции, их свойства. Формула обращения предельной теоремы для характеристической функции.



















10

Решение задач на применение центральной предельной теоремы.

Домашнее задание.





3.8. Закон больших чисел. Лемма Бореля-Кантелли. Усиленный закон больших чисел.

3

9-10

4

4







10

Решение задач. Домашнее задание



3.9.Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных. Основные задачи математической статистики. Функция статистического распределения

3

11

2

2







10

Решение задач на применение закона больших чисел.



3.10.Статистические критерии.

3

12

2

2







10

Решение задач на критерий Неймана-Пирсона.

Домашнее задание





3.11. Оценка параметров

3

17

2

2







10

Решение задач.

Домашнее задание





3.12.Доверительные интервалы

3

18

2

2







10

Решение задач

Домашнее задание





Всего







36

36







120

экзамен



ИТОГО

























Темы и краткое содержание лекций

Тема 1. Действие с матрицами.


1.1. Матрицы, алгебра матриц.

1.2. Ранг матрицы.

1.3.Теоремы о ранге.

1.4. Решение матричных уравнений.

1.5.Обратная матрица.

Тема 2. Решение систем линейных уравнений.

2.1. Определители свойства определителей, метод Крамера, метод Гаусса для систем линейных уравнений.

2.2. Правило решения систем линейных однородных уравнений

Тема 3. Элементы векторной алгебры.


3.1. Метод координат, вектор, проекция вектора, действия с векторами, скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

3.2. Координатная форма записи, приложения.



Тема 4 Аналитическая геометрия на плоскости:

4.1.Преобразования системы координат: параллельный перенос, поворот.

4.2.Уравнение прямой: общее, с угловым коэффициентом, векторное, через две заданные точки, «в отрезках», нормальное.

4.3.Общее уравнение кривой второго порядка. Окружность.

4.4. Эллипс, каноническое уравнение, фокальное свойство, эксцентриситет, директриса.

4.5. Гипербола, каноническое уравнение, фокальное свойство, эксцентриситет, директриса.

4.6. Парабола, каноническое уравнение, фокальное свойство, эксцентриситет, директриса.

Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве .

5.1.Уравнения прямой, плоскости, поверхности.

5.2.Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между двумя плоскостями.

5.3.Угол между двумя прямыми, между двумя плоскостями, между прямой и плоскостью. 5.4.Цилиндры второго порядка. Конусы второго порядка.

5.5. Параболоиды, гиперболоиды, эллипсоид, сфера.

5.6. Канонические уравнения, исследование формы поверхности.

5.7.Поверхности вращения.

Часть 2

Тема 1. Теория предела числовых последовательностей и функций.


    1. Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах. Примеры последовательностей.

    2. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей (терема об ограниченности сходящейся последовательности, теорема о связи бесконечно-большой и бесконечно-малой последовательностей).

    3. Признаки существования предела последовательности (теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности и теорема о двух милиционерах). Теорема о единственности предела. Определение числа е.

    4. Предел последовательности и арифметические операции. Переход к пределу в неравенствах.

1.5. Определение предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел функций в бесконечности. Признаки существования предела функции (теорема о пределе монотонной функции, теорема о двух милиционерах).

1.6 Предел функции и арифметические операции. Переход к пределу в неравенствах. Первый и второй замечательные пределы. Приращение аргумента и приращение функции.

1.7. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Символы o и O.

1.8. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. Метод бисекции. Точки разрыва и их классификация.



Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.1. Понятие функции, дифференцируемой в точке, дифференциал функции и его геомет- рический смысл. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

2.2. Точки экстремума функции. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

2.3. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа.

2.4. Условия монотонности функции.

2.5. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на от резке.

2.6. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

2.7. Уравнение касательной к кривой



Тема 3. Интегральные исчисления функций одной переменной

3.1. Понятие первообразной и ее свойства. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.

3.2. Интегрирование рациональных тригонометрических, иррациональных функций.

3.3.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.

3.4. Методы приближенного вычисления определенного интеграла.

3.5.Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства.



Тема 4 .Теория числовых и функциональных рядов

4.1. Числовые ряды. Определение сходимости и суммы ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.

4.2. Признаки сходимости числовых рядов (сравнения, Даламбера, Коши) Лейбница, Абеля, Дирихле)..Абсолютная и условная сходимость. Теоремы о перестановке слагаемых в рядах.

4.3.Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости (Абеля, Дирихле).



Тема 5. Функции многих переменных: предел, непрерывность, дифференцируемость. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы .

5.1. Область определения. Предел функции нескольких переменных.

5.2. Повторные пределы. Теорема об условиях равенства повторных пределов.

5.3. Непрерывность функции нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала.

5.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Градиент и производная по направлению, определения и физический смысл.

5.5. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 5.6. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.

5.7. Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием.

5.8. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов, их свойства, примеры вычисления.

5.9. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их свойства, примеры вычисления.

Тема 6. Ряды Фурье

6.1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Равенство Парсеваля, неравенство Бесселя.

6.2.Тригонометрический ряд Фурье, коэффициенты Фурье. Минимальное свойство коэффициентов Фурье.

6.3. Интегральное представление n-ой частной суммы Фурье. Ядро Дирихле, его свойства. Принцип локализации Римана.

6.4. Условие сходимости рядов Фурье.

Часть 3

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей.

Событие практически невозможные и практически достоверные события, случайная величина.



Тема 2.Основные теоремы теории вероятностей

Теоремы сложения, теоремы умножения, формула полной вероятности, формула Бейеса.



Тема 3. Случайные величины и их законы распределения.

Функция распределения, плотность распределения, математическое ожидание, дисперсия. Закон равномерной плотности. Закон Пуассона.



Тема 4. Нормальный закон распределения.

Нормальный закон и его параметры. Моменты нормального распределения. Функции Лапласса. Вероятное отклонение. Приведенная функция Лапласа.



Тема 5. Характеристические функции, их свойства.

Определение и свойства характеристических функций. Сходимость случайных величин и распределений. Формулы обращения для характеристических функций. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения.



Тема 6. Центральная предельная теорема.

Центральная предельна теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых. Теорема Ляпунова. Применение центральной предельной теоремы.



Тема 7. Многомерные характеристические функции.

Определение и простейшие свойства. Формула обращения предельной теоремы для характеристической функции.



Тема 8. Закон больших чисел.

Лемма Бореля-Кантелли. Закон «0» или «1» Колмогорова. Различные виды сходимости случайных величин. Усиленный закон больших чисел.



Тема 9. Статистические данные.

Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных. Основные задачи математической статистики. Функция статистического распределения. выборочный метод.



Тема 10. Статистические критерии.

Статистические гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Оптимальный критерий Неймана-Пирсона. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений. Критерий для проверки сложных гипотез. Непараметрические критерии.



Тема 11. .Оценка параметров.

Статистические оценки и их свойства. Условные законы распределения. Достаточные статистики, эффективность и методы нахождения оценок.



Тема 12. Доверительные интервалы.

Определение доверительных интервалов. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернули.



5. Образовательные технологии

Лекции, разбор конкретных задач, обсуждение возможностей практического применения получаемых знаний и навыков, мозговой штурм, мастер-класс.



6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

При изучении дисциплины «Математика» предусмотрены следующие виды самостоятельной работы:



  • разбор теоретического материала по конспектам лекций и пособиям;

  • самостоятельное изучение указанных теоретических вопросов;

  • решение задач по темам практических занятий;

  • выполнение домашней контрольной работы.

План самостоятельной работы по курсу «Линейная алгебра».


План самостоятельной работы по дисциплине написан в форме вопросов промежуточной аттестации.

Матрицы, Алгебра матриц. Ранг матрицы. Теоремы о ранге. Решение матричных уравнений. Обратная матрица. Определители свойства определителей , метод Крамера, метод Гаусса для систем линейных уравнений. Правило решения систем линейных однородных уравнений.

Метод координат, вектор, проекция вектора, действия с векторами, скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Координатная форма записи, приложения.

Преобразования системы координат: параллельный перенос, поворот, общее. Уравнение прямой: общее, с угловым коэффициентом, векторное, через две заданные точки, «в отрезках», нормальное. Общее уравнение кривой второго порядка. Окружность. Эллипс, каноническое уравнение, фокальное свойство, эксцентриситет, директриса. Гипербола, каноническое уравнение, фокальное свойство, эксцентриситет, директриса. Парабола, каноническое уравнение, фокальное свойство, эксцентриситет, директриса. Уравнения прямой, плоскости, поверхности. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между двумя плоскостями. Угол между двумя прямыми, между двумя плоскостями, между прямой и плоскостью. Цилиндры второго порядка. Конусы второго порядка. Параболоиды, гиперболоиды, эллипсоид, сфера. Канонические уравнения, исследование формы поверхности. Поверхности



План самостоятельной работы по курсу «Математический анализ».

План самостоятельной работы по дисциплине написан в форме вопросов промежуточной аттестации.

Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей (терема об ограниченности сходящейся последовательности, теорема о связи бесконечно-большой и бесконечно-малой последовательностей).

Признаки существования предела последовательности (теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности и теорема о двух милиционерах). Теорема о единственности предела. Определение числа е.

Предел последовательности и арифметические операции. Переход к пределу в неравенствах.

Определение предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел функций в бесконечности. Признаки существования предела функции (теорема о пределе монотонной функции, теорема о /двух милиционерах).

Предел функции и арифметические операции. Переход к пределу в неравенствах. Первый и второй замечательные пределы. Приращение аргумента и приращение функции.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Символы o и O. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. Метод биекции. Точки разрыва и их классификация.

Понятие функции, дифференцируемой в точке, дифференциал функции и его геометрический смысл. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Точки экстремума функции. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на от резке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Уравнение касательной к кривой.

Понятие первообразной и ее свойства. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям. Интегрирование рациональных тригонометрических, иррациональных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Методы приближенного вычисления определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства.

Числовые ряды. Определение сходимости и суммы ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Признаки сходимости числовых рядов (сравнения, Даламбера, Коши) Лейбница, Абеля, Дирихле).

.Абсолютная и условная сходимость. Теоремы о перестановке слагаемых в рядах. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости Абеля, Дирихле).. Область определения. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы. Теорема об условиях равенства повторных пределов. Непрерывность функции нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Градиент и производная по направлению, определения и физический смысл. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов, их свойства, примеры вычисления. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их свойства, примеры вычисления.

Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Равенство Парсеваля, неравенство Бесселя. Тригонометрический ряд Фурье, коэффициенты Фурье. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Интегральное представление n-ой частной суммы Фурье. Ядро Дирихле, его свойства. Принцип локализации Римана. Условие сходимости рядов Фурье.

План самостоятельной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».

План самостоятельной работы по дисциплине написан в форме вопросов промежуточной аттестации.



Основные понятия теории вероятностей. Событие практически невозможные и практически достоверные события, случайная величина. Основные теоремы теории вероятностей. Теоремы сложения, теоремы умножения, формула полной вероятности, формула Бейеса. Случайные величины и их законы распределения. Функция распределения, плотность распределения, математическое ожидание, дисперсия. Закон равномерной плотности. Закон Пуассона. Нормальный закон распределения. Нормальный закон и его параметры. Моменты нормального распределения. Функции Лапласса. Вероятное отклонение. Приведенная функция Лапласа. Характеристические функции, их свойства. Определение и свойства характеристических функций. Сходимость случайных величин и распределений. Формулы обращения для характеристических функций. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения. Центральная предельная теорема. Центральная предельна теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых.Теорема Ляпунова. Применение центральной предельной теоремы. Многомерные характеристические функции. Определение и простейшие свойства. Формула обращения предельной теоремы для характеристической функции. Закон больших чисел. Лемма Бореля-Кантелли. Закон «0» или «1» Колмогорова. Различные виды сходимости случайных величин. Усиленный закон больших чисел. Статистические данные.Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных. Основные задачи математической статистики. Функция статистического распределения. выборочный метод. Статистические критерии. Статистические гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Оптимальный критерий Неймана-Пирсона. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений. Критерий для проверки сложных гипотез. Непараметрические критерии. Оценка параметров. Статистические оценки и их свойства. Условные законы распределения. Достаточные статистики. Эффективность и методы нахождения оценок. Доверительные интервалы. Определение доверительных интервалов. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернули

Типы заданий домашней контрольной работы:

  1. Вычисление обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы.

  2. Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса.

  3. Нахождение общего решения системы линейных однородных уравнений.

  4. Действия с векторами. Вычисление скалярного, векторного, смешанного произведений векторов. Решение геометрических задач с использованием элементов векторной алгебры.

  5. Решение задач аналитической геометрии на плоскости.

  6. Определение вида кривой второго порядка по заданному уравнению с приведением к канонической форме.

  7. Определение вида поверхности по заданному уравнению с приведением к каноническому виду.

  8. Вычисление предела последовательностей и функции.

  9. Исследование функций на непрерывность. Определение точек разрыва и их классификация.

  10. Вычисление производных функций одной переменной.

  11. Исследование функций на монотонность , экстремум, выпуклость и вогнутость. Построение графиков.

  12. Формула Тейлора со остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа.

  13. Вычисление интегралов от рациональных иррациональных и тригонометрических функций. Применение методов замены переменной в интеграле и интегрирования по частям.

  14. Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница.

  15. Применение определенных интегралов к вычислению площадей, объемов и площадей поверхностей

  16. Исследование сходимости числовых рядов по признакам Коши, Даламбера, Абеля, Дирихле и Лейбница.

  17. Исследование функциональных рядов на функциональную сходимость.

  18. Вычисление частных производных и дифференциалов первого и высших порядков для функций многих переменных.

  19. Вычисление производной по направлению и градиента функций многих переменных.

  20. Исследование функций многих переменных на экстремум, условный экстремум.

  21. Вычисление двойных и тройных интегралов. Вычисление площадей, объемов, площадей поверхностей.

  22. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

  23. Поверхностные интеграла первого и второго рода.

  24. Представление функций рядами Фурье.

1. Классическое и геометрическое определение вероятностей.

2. Формулы исчисления вероятностей.

3. Случайные величины, распределения случайных величин.

4. Эмпирические характеристики и выборки.

5. Статистические оценки параметров распределения.

6. Доверительные интервалы для неизвестных параметров.

7. Проверка гипотез.

8. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.

9. Моделирование случайных величин.

Текущий контроль осуществляется в ходе учебного процесса и консультирования студентов по результатам выполнения самостоятельных работ. Основными формами текущего контроля являются:



  • обсуждение вынесенных в план самостоятельной работы вопросов и задач;

  • решение на практических занятиях задач и их обсуждение;

  • выполнение контрольных заданий и обсуждение результатов;

  • участие в дискуссии по проблемным темам дисциплины и оценка качества анализа проведённой аналитической и исследовательской работы.



Контрольная работа №1 (вариант 1)





  1. Используя метод мат. индукции, доказать:



  1. Вычислить предел последовательности





  1. Используя критерий Коши, доказать сходимость или расходимость последовательности



  1. Вычислить верхний и нижний пределы последовательностей

Доказать, что если последовательность сходится, то она ограничена.


Контрольная по интегралам:










1









2









3









4









5









6









7









8









9

Контрольная по неопределенным интегралам




Вариант 1

Вычислить неопределённые интегралы

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7)Определение первообразной общий вид первообразной.


Вариант 2

Вычислить неопределённые интегралы

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) Теорема о интегрировании по частям в неопределённом интеграле.

Контрольная работа №1 ((вариант 1))


Задание 1. Заменяя приращение функции дифференциалом вычислить: .
Задание 2. Предполагая, что функция дифференцируема, проверить равенство:

, если .
Задание 3. Для функции найти производные первого и второго порядков .
Задание 4. Приняв и за новые переменные преобразовать уравнения:

, где .
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на множестве:

.

Вариант № 1

  1. Решить матричное уравнение ,

где

, .

  1. Проверить совместность и определенность системы линейных уравнений

.

  1. Образует ли система векторов базис в пространстве и, если да, то найти разложение вектора по этому базису.

Вариант № 2

1. Решить систему линейных уравнений



матричным способом.



  1. Найти ранг системы векторов .

3. Решить матричное уравнение ,

где

, .
Контрольная работа №1 (Тема: Определители)

Вариант1.


  1. Вычислить определитель.

Вариант 2.

  1. Вычислить определитель.

Контрольная работа №2 (Тема: Алгебра матриц и системы линейных уравнений)



Вариант1.

  1. Решить матричное уравнение .

  2. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений

.

Вариант 2.

  1. Решить матричное уравнение .

  2. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений

.

Контрольная работа №3 (Тема: Комплексные числа)



Вариант1.

  1. Решить уравнение: х2-8х+21-12i=0.

  2. Выписать все корни 9-ой степени из единицы, отметить их на комплексной плоскости, указать первообразные и найти расстояние между первым и седьмым корнями.

  3. Вычислить: А= где .

  4. Найти корни уравнения: (х+2)9-(х-3)9=0.

  5. Решить уравнение по формулам Кардано: х3+12х2+30х+27=0.

Вариант 2.

  1. Решить уравнение: х2-10х+22-4i=0.

  2. Выписать все корни 8-ой степени из единицы, отметить их на комплексной плоскости, указать первообразные и найти расстояние между первым и шестым корнями.

  3. Вычислить: А= где .

  4. Найти корни уравнения: (х+2)8-(х-1)8=0.

  5. Решить уравнение по формулам Кардано: х3+15х2+69х+104=0.

Контрольная работа №4 (Тема: Многочлены)



Вариант1.

  1. Используя схему Горнера, найти кратность корня х0=-2 и вычислить значение производных в точке х1=3 многочлена f=x4+10x3+36x2+56x+32.

  2. Найти НОД следующих многочленов: f=x5+4x4+10x3+16x2+17x+12 и g=x5+2x3+4x2+x+12.

  3. Отделить кратные множители многочлена f=x6+16x5+105x4+362x3+692x2+696x+288.

  4. Разложить рациональную функцию в сумму простейших .

  5. Найти рациональные корни многочлена f=15x5-43x4-52x3-63x2-5x+4.

Вариант 2.

  1. Используя схему Горнера, найти кратность корня х0=-2 и вычислить значение производных в точке х1=1 многочлена f=x4+17x3+105x2+275x+250.

  2. Найти НОД следующих многочленов: f=x5+4x4+6x3+9x2+11x+5 и g=x5-2x3+5x2-9x+5.

  3. Отделить кратные множители многочлена f=x6+13x5+65x4+163x3+218x2+148x+40.

  4. Разложить рациональную функцию в сумму простейших .

  5. Найти рациональные корни многочлена f=3x5-10x4-21x3-19x2-6x+5.

Часть самостоятельных занятий посвящена выполнению домашних заданий и подготовке к семинарам, докладам, обсуждениям, дискуссиям. Проверка домашних заданий проводится на практических занятиях.
1. Комбинаторика
Задача 1. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Задача 2. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

Задача 3. В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?

Задача 5. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Задача 6. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены различные премии?

Задача 7. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Задача 8. В условиях задачи 6 определить, сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены одинаковые призы?

Задача 9. Садовник должен в течении трех дней посадить 6 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?

Задача 10. Сколько существует четырехзначных чисел (возможно, начинающихся с нуля), сумма цифр которых равна 5?

Задача 11. Сколькими способами можно разбить группу из 25 студентов на три подгруппы А, В и С по 6, 9 и 10 человек соответственно?

Задача 12. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 – по 2 раза?
2. Классическая вероятностная модель. Геометрическая вероятность
Задача 1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?

Задача 2. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманные числа совпадут.

Задача 3. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны.

Задача 4. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.

Задача 5. Пусть в урне имеется N шаров, из них М белых и N–M черных. Из урны извлекается n шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно m белых шаров.

Задача 6. Точку наудачу бросили на отрезок [0; 2]. Какова вероятность ее попадания в отрезок [0,5; 1,4]?

Задача 7 (задача о встрече). Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них может произойти наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
3. Основные формулы теории вероятностей
Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Задача 2. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.

Задача 7. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?
4. Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли
Задача 1. Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».

Задача 3. Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.

5. Дискретные случайные величины
Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины  – числа опробованных ключей.

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Задача 7. Случайный вектор (x,h) принимает значения (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) и (0,–1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин x и h. Показать, что они зависимы.

6. Непрерывные случайные величины
Задача 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .



Задача 2. Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

7. Функции от случайных величин. Формула свертки

Задача 1. Случайная величина x равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти плотность случайной величины .

Задача 3. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h.
8. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема
Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 20.

Задача 2. В продукции цеха детали отличного качества составляют 50. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более, чем на 5?

Контрольная работа по кратным интегралам (вариант 1)



  1. Расставить пределы интегрирования, перейдя от двойного интеграла к повторному: , где область

ограничена кривыми


  1. Изменить порядок интегрирования .




  1. Вычислить площадь области, перейдя к полярным координатам .




  1. Производя подходящую замену переменных, вычислить площадь, ограниченную кривыми:



Контрольная работа по кратным интегралам (вариант 2)



  1. Расставить пределы интегрирования, перейдя от двойного интеграла к повторному: , где область

ограничена кривыми

  1. Изменить порядок интегрирования .



  1. Вычислить площадь области, перейдя к полярным координатам .




  1. Производя подходящую замену переменных, вычислить площадь, ограниченную кривыми:

Экзамен проводится в устной форме в виде ответов на вопросы билета.


7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература:

1. Шипачев, Виктор Семенович. Высшая математика [Текст] : учеб. для студентов вузов / Виктор Семенович Шипачев. - 8-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2007.

2.Демидович, Борис Павлович (1906-1977). Краткий курс высшей математики [Текст] : учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. - М. : Астрель : АСТ, 2007.

`б) дополнительная литература:


  1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1977.

2.Борисова Л.В., Новиков В.В., Тышкевич С.В., Шаталина А.В. Теория функций комплексного переменного: учебное пособие для студентов. –Саратов: Изд-во СГУ, 2004.

3. Кутепов, Вадим Александрович. Высшая математика [Текст] : учеб. пособие для студентов фак. гуманитар. и соц. наук / В. А. Кутепов, А. В. Голубь ; под ред. В. А. Кутепова. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та.

4. Высшая математика [Текст] / В. А. Кутепов, В. С. Рыхлов, В. А. Халова под ред. Д. Г. Шалтыко ; Сарат. гос. ун-т им. Н. Г. Чернышевского. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та.
Ч. 5 : Элементы теории вероятностей : . - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005.

5. Высшая математика в упражнениях и задачах. [С решениями] [Текст] : учеб. пособие для вузов : в 2 ч. / П. Е. Данко [и др.]. - 6-е изд. - М. : Оникс : Мир и образование, 2006. - .

6. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1999.

7. Волковыский М.А., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 2004.

8. Дорофеева, Алла Владимировна Высшая математика. Гуманитарные специальности [Текст] : учеб. пособие / А. В. Дорофеева ; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 3-е изд., испр. и доп. - М. : Изд-во Моск. ун-та : Дрофа, 2004.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Доска, мел. Самостоятельная работа студентов также включает применение ИКТ.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по профилю «Инновационная экономика».


Автор: доцент кафедры ТФиП Л. В. Борисова_______________

Программа одобрена на заседании кафедры теории функций и приближений от 27.01. 2011 года, протокол № 5.

Подписи:


И.О. зав. кафедрой ТФиП _____________ С. В. Тышкевич
Декан механико-математического ф-та _____________ А. М. Захаров
Декан экономического ф-та ______________ О.С.Балаш


izumzum.ru