Программа по курсу "Теория колебаний и асимптотические методы" - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины Теория колебаний 1 201.41kb.
Цикличность развития экономики. Теория кризисов 1 289.05kb.
Исследование динамики гс в работе проиллюстрировано на ряде моделей... 1 151.7kb.
Рабочая программа по курсу: " Методы математической физики" 1 69.45kb.
Асимптотические методы 1 28.66kb.
Вопросы к зачету по курсу «Теоретическая метрология» 1 18.85kb.
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных... 1 133.14kb.
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: теоретическая... 1 191.81kb.
Экзаменационные вопросы по 2 части курса «физика (общая)» 1 32.26kb.
Вопросы по курсу физики. III семестр (осень 2002 г.) 2 560.02kb.
Программа по курсу: Методы параллельной обработки данных (базовый) 1 355.91kb.
Лекция № Матрицы и действия над ними 1 104.12kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Программа по курсу "Теория колебаний и асимптотические методы" - страница №1/1




Программа по курсу

"Теория колебаний и асимптотические методы"


  1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

Цель курса овладение подходами к асимптотическому интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанными на различных методах усреднения (в частности, методе Крылова-Боголюбова, методе Кузмака, теории КАМ, теории нормальных форм и т.д.), а также навыком применения этих методов к задачам нелинейной физики и механики.
Задачами данного курса являются:

  • (изучение методов усреднения в одночастотных системах

  • изучение методов усреднения в системах с одной быстрой фазой

  • изучение методов усреднения в многочастотных системах и элементов КАМ-теории

  • изучения методов усреднения, основанных на теории нормальных форм

  • применение методов, изложенных в предыдущих пунктах к некоторым задачам нелинейной физики и механики .


Содержание курса

№ п.п.

Раздел

Темы

1

Теория возмущений, асимптотики и осреднение

1.1 Принцип осреднения и асимптотики
1.1.1 Регулярная и нерегулярная теория возмущений. Задачи с малым параметром для

обыкновенных дифференциальных уравнений. Асимптотические решения.

«Прямые подходы» и подходы, основанные на замене координат.

1.1.2 Приведение системы, отличающейся от интегрируемой малыми возмущениями, к стандартному виду системы с быстро вращающимися фазами.


Тема1.2 Принцип усреднения


2

Осреднение в многочастотных системах.

Тема 3.1 Системы с постоянными частотами

3.1.1 Точность метода усреднения в многочастотных системах с постоянными частотами в общем нерезонансном случае.

3.1.2 Точность метода усреднения в многочастотных системах с постоянными частотами в случае диофантова вектора частот.

3.1.3Процедура исключения быстрых угловых переменных в многочастотных системах с постоянными частотами.


3.2 Движение заряженной частицы на плоскости в большом магнитном поле и электрическом потенциале.

3.2.1 Усреднение в переменных действие- угол. Примеры возрастающих и периодических потенциалов

3.2.2 Геометрическая интерпретация траекторий на основе теории Морса и графы Риба
3.3 Усреднение и резонансы

3.3.1 Усреднение в многочастотных нелинейных системах. Захват в резонанс.

3.3.2 Усреднение в быстро-медленных системах при эргодическом быстром движении.

3.3.3 Усреднение возмущений интегрируемых гамильтоновых систем: невырожденный случай, частичное усреднение вблизи резонанса, случай собственного вырождения



3

Усреднение в гамильтоновых системах и адиабатические инварианты

4.1 Метод Линдштедта исключения быстрых угловых переменных в гамильтоновых системах.
4.2 Элементы теории Колмогорова – Арнольда – Мозера: процедура ускоренной сходимости для построения инвариантных торов, инвариантные торы возмущенных гамильтоновых систем в случаях невырожденности, изоэнергетической невырожденности и собственного вырождения; случай двух степеней свободы
4.3 Адиабатические инварианты

4.3.1 Адиабатические инварианты одночастотных гамильтоновых систем (случаи систем с медленно изменяющимися параметрами и быстро-медленных систем).

4.3.2 Адиабатическая теория возмущений для одночастотных гамильтоновых систем (случаи систем с медленно изменяющимися параметрами и быстро-медленных систем).
4.4 Усреднение нелинейного ангармонического осциллятора и метод Кузмака

4.4.1Асимптотическое интегрирование уравнения нелинейного ангармонического осциллятора с медленно меняющимся потенциалом в переменных действие-угол.

4.4.2 Метод Кузмака (нелинейный метод ВКБ) для «слабонелинейных» и «сильнонелинейных» систем. Асимптотическое интегрирование нелинейного ангармонического осциллятора с медленно меняющимся потенциалом и трением. Пример уравнения маятника с переменной частотой.

4.4.3«Устойчивость» и «неустойчивость» асимптотического интегрирования.


4.5 Адиабатические инварианты гамильтоновых систем с медленно изменяющимися параметрами при эргодическом быстром движении.

5

Нормальные формы

5.1 Нормальная форма системы дифференциальных уравнений в окрестности равновесия (резонансный и нерезонансный случаи).

5.1.1 Процедура приведения к нормальной форме.

5.1.2 Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа и ее исследование с помощью нормальной формы. Мягкая и жесткая потеря устойчивости.

5.1.3Нормальная форма системы дифференциальных уравнений в окрестности

периодического решения, нормальная форма отображения в окрестности неподвижной точки (резонансный и нерезонансный случаи).
5.2 Нормальные формы гамильтоновых систем в окрестности положения равновесия (резонансный и нерезонансный случаи.)






Контрольные вопросы к зачетам и экзаменам


приближенное построение решений системы уравнений типа физического маятника с помощью методов Крылова-Боголюбова и Кузмака;

приближенное построение периодического решения одночастотной системы; приближенное исключение с помощью канонической замены переменных зависимости гамильтониана, пропорционального малому параметру, от времени; приведение к нормальной форме системы дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия; построение траекторий заряженной частицы в большом магнитном поле и периодическом потенциале;



Основная литература.

[1] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал

УРСС, 1999.

[2] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика.

Изд. 4-е М.: Наука, 1988.

[3] Себехей В. Теория орбит: Ограниченная задача трех тел. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1982.

[4] Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний— М.: Наука, 2005.

[5] Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

[6] Арнольд, В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002.

[7] Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС, 2001.



    1. [8] Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: РХД, 2000)

    2. [9] S.Yu. Dobrokhotov, D. S. Minenkov , On Various Averaging Methods for a Nonlinear Oscillator with Slow Time-dependent Potential and a Nonconservative Perturbation , Regular and Chaotic Dynamics, 2010, Vol. 15, No. 2–3, pp. 285–299.

[10] J.Bruening, S.Yu.Dobrokhotov, K.V.Pankrashkin, The spectral asymptotics of the two-dimensional Schroedinger operator with a strong magnetic field. Russian J. of Math. Physics, 2002, v.9, N 1, pp.14-49, N 3, pp.400-416



    1. Дополнительная литература.

[11] Cole, J.D. and Kevorkian, J., Multiple Scale and Singular Perturbation Methods, Appl. Math. Sci.,

vol. 114, New York: Springer, 1996

[12] Брюнинг, Й., Доброхотов С.Ю., Потеряхин М.А., Усреднение гамильтоновых систем с одной быстрой фазой и малой амплитудой, Мат.заметки, 2001, т. 70, N 5, C. 660-669

[13] А.В.,Болсинов  Фоменко А.Т.   Введение в топологию ин­тег­ри­ру­е­мых гамиль­то­но­вых систем.   М.: Наука, 1997.





    1. Электронные ресурсы, включая доступ к базам данных и . т.д.

eqworld.ipmnet.ru





izumzum.ru