«Построение двухфакторного эксперимента с использованием квадратичной модели» по курсам «Планирование эксперимента» для студентов сп - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
«Построение двухфакторного эксперимента с использованием квадратичной модели» по - страница №1/2

Методические указания к выполнению лабораторной работе

«Построение двухфакторного эксперимента
с использованием квадратичной модели»


по курсам «Планирование эксперимента»

для студентов специальности АСОИ иУ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение методики построения квадратичных моделей объектов на основе планов второго порядка, теории композиционного планирования.


Основные понятия

Планы второго порядка
Планы второго порядка предназначены для получения регрессионной модели в виде полного квадратичного полинома (полинома второй степени)

.

Для факторов xi в стандартизированном масштабе эта модель будет иметь вид



.

Подобные планы применяют, как правило, либо в том случае, когда использование планирования первого порядка не позволило получить адекватную регрессионную модель, и выяснилась необходимость ее усложнения, либо если заранее известно, что объект исследования обладает существенными нелинейными свойствами.

По сравнению с планами первого порядка планы второго порядка являются более сложными по структуре, имеют большее число точек в спектре плана и уровней варьирования для каждого фактора, требуют при своей реализации увеличенного количества опытов. Действительно, квадратичная модель содержит членов, что в (n+2)/2 раз больше, чем в линейной модели. Значит, соответственно возрастает и минимально необходимое количество точек в спектре плана. Для получения квадратичной зависимости каждый из факторов должен изменяться, по крайней мере, на трех уровнях.
Центрально-композиционный план
Центрально-композиционные планы (ЦКП) любой модификации состоят из трех частей. Первая часть – основа или ядро плана – это ПФЭ 2n или ДФЭ 2n–p, где n – количество неизвестных коэффициентов регрессии, p = 0,1,2. При этом требуется, чтобы ядро плана обеспечивало раздельную оценку коэффициентов регрессии и всех парных взаимодействий. Данное условие накладывает весьма жесткое ограничение на возможную степень дробности используемого ДФЭ. В частности, при n  4, как показывают расчеты, может применяться лишь ПФЭ 2n; если 5  n  7, то кроме ПФЭ 2n можно использовать и ДФЭ 2n–1, а для n > 7 допустим также и ДФЭ 2n–2. Вторая часть ЦКП – так называемые «звездные» точки, расположенные на координатных осях на расстоянии ±α от центра эксперимента. Общее число таких точек равно 2n. Третья часть ЦКП – опыты в центре плана; число таких опытов N0  1. Произвольный симметричный ЦКП приведен в таблице:


Составные части ЦКП

G

Факторы

Число точек

x1

x2



xn

Ядро плана (ПФЭ 2n или ДФЭ 2n-p)

1

–1

–1



–1

2n–p

p=0;1;2;


2

+1

–1



–1

3

–1

+1



–1

4

+1

+1



–1











2n-p

+1

+1



–1

«Звездные» точки

2n-p+1

–

0



0

2n

2n-p+2

+

0



0

2n-p+3

0

–



0

2n-p+4

0

+



0











2n-p+2n-1

0

0



–

2n-p+2n

0

0



+

Центральные точки

2n-p+2n+1

0

0



0

N0











2n-p+2n+N0

0

0



0

Таким образом, ЦКП для двух факторов и значения  = 1 (±α – расстояние от «звездных» точек до центра эксперимента), имеет вид




g

X0

x1

x2

x1x2

x12

x22

Y'

1

+1

–1

–1

+1

+1

+1

Y'1

2

+1

+1

–1

–1

+1

+1

Y'2

3

+1

–1

+1

–1

+1

+1

Y'3

4

+1

+1

+1

+1

+1

+1

Y'4

5

+1

–1

0

0

+1

0

Y'5

6

+1

+1

0

0

+1

0

Y'6

7

+1

0

–1

0

0

+1

Y'7

8

+1

0

+1

0

0

+1

Y'8

9

+1

0

0

0

0

0

Y'9

При этом оценки коэффициентов регрессии мы будем находить, решая матричное уравнение Ф*В = (F T Y)

где

.

Это уравнение можно переписать в виде



,

где Ф–1 – нормированная обратная информационная матрица Фишера центрального композиционного плана второго порядка.


Ортогональный центрально-композиционный план
Конкретные значения  и N0 выбираются исходя из тех или иных критериев оптимальности регрессионных экспериментов ( – звездное плечо, N0 – количество экспериментов в центре плана). В связи с этим принято выделять ортогональные (ОЦКП) и рототабельные (РЦКП) центрально-композиционные планы.

В ОЦКП, как правило, N0 = 1, а план целиком строится с учетом критерия ортогональности (сумма попарных произведений значений уровней двух любых факторов (столбцов) равна нулю). Тогда информационная матрица Фишера должна быть диагональной, для чего необходимо, как это следует из вида информационной матрицы Фишера для произвольного центрально-композиционного плана, принять специальные меры для обеспечения по парной ортогональности столбцов, отвечающих свободному члену 0 и квадратичным коэффициентам i2 , i = 1, 2, …, n, а также столбцов, отвечающих квадратичным членам между собой.

С этой целью, прежде всего, несколько видоизменяют систему базисных функций, а именно – ищут регрессионную модель в виде:

,

где N – общее число точек плана: ( где p-число, определяющее дробность эксперимента, а – коэффициенты уравнения регрессии). Как видно, в этой модели при квадратичных коэффициентах используются центрированные переменные. Переход к таким переменным обеспечивает ортогональность столбца матрицы F численных значений базисных функций, соответствующего свободному члену уравнения регрессии, и любого из столбцов центрированных квадратов (базисная функция вида ). Действительно, для указанных столбцов имеет место следующее равенство:



Это равенство справедливо независимо от конкретного значения . Однако, при произвольном , остаются неортогональными столбцы матрицы F, отвечающие различным центрированным квадратичным переменным. Поэтому, в ОЦКП числовое значение  и выбирается как раз из условия ортогональности именно этих столбцов, т.е. исходя из условия:



или, в развернутом виде:



После несложных преобразований получаем уравнение для требуемого значения :



С помощью этой формулы найдены конкретные числовые значения  при n = 2  8:




N

2

3

4

5

6

7

8

Ядро ЦПК

ПФЭ 22

ПФЭ 23

ПФЭ 24

ПФЭ 25

ДФЭ 25–1

ПФЭ 26

ДФЭ 26–1

ПФЭ 27

ДФЭ 27–1

ПФЭ 28

ДФЭ 28–1

ДФЭ 28–2

N

9

15

25

43

27

77

45

143

79

273

145

81



1,000

1,215

1,414

1,596

1,547

1,761

1,724

1,909

1,885

2,045

2,029

2,000
Общее количество опытов N в ОЦКП равно N=2n–p+2n+N0. Таким образом, переходя к квадратичной модели с центрированными квадратичными переменными и используя указанные значения , можно добиться полной ортогонализации столбцов матрицы F.

Оценки коэффициентов регрессии, полученные с помощью ОЦКП, некоррелированы между собой, что, впрочем, характерно для любого ортогонального плана.

Оценки коэффициентов регрессии для соответствующих групп равны:

Для свободного члена ;

Для линейных слагаемых , k = 1,2,…,n;

Для попарных взаимодействий , j, k = 1,2…n; jk;

Для центрированных квадратичных переменных .

Приведем теперь уравнение регрессии к более привычному для нас виду:



где .


Условие нормировки в случае ортогонального ЦКП не соблюдается, т.к. (k – номер любого столбца, кроме нулевого). Это значит, что точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова.

Оценки дисперсий для каждой из четырех однородных групп для m параллельных опытов подсчитываются по следующим формулам



;

где - дисперсия воспроизводимости.



Таким образом, дисперсия оценки Y' функции отклика в некоторой точке факторного пространства зависит не только от расстояния этой точки до центра плана , но и от ее положения на гиперсфере. Значит, ОЦКП не удовлетворяет условию рототабельности. Поэтому, если не предъявляются особые требования к точности предсказания выходной величины по уравнению регрессии в любом направлении факторного пространства от базовой точки, предпочтительно применение ортогонального ЦКП ввиду его простоты.

ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

  1. Составить матрицу планирования ортогонального центрально-композиционного плана для двух факторов с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0=1).

  2. Провести эксперимент, во всех точках факторного пространства, повторив 5 раз опыты во всех точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы 1 согласно варианту, выданному преподавателем).

  3. Проверить однородность дисперсии по критерию Кохрена и, если необходимо, подобрать такое m (m – кратность проведения опытов, не больше 5), чтобы дисперсия была однородной.

  4. Найти коэффициенты уравнения регрессии для нормализованной системы координат.

  5. С помощью критерия Стьюдента оценить значимость коэффициентов регрессии.

  6. Проверить адекватность модели оригиналу с помощью критерия Фишера.

  7. Привести уравнение регрессии к натуральному виду.

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

  1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта).

  2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных).

  3. Основные теоретические положения (используемые формулы).

  4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы).

  5. Проверка ортогональности столбцов матрицы.

  6. Результат проверки однородности дисперсии по критерию Кохрена.

  7. Коэффициенты регрессии i .

  8. Результат проверки значимости коэффициентов регрессии.

  9. Результат проверки адекватность модели оригиналу с помощью критерия Фишера.

  10. Уравнение регрессии в натуральном виде.

  11. Ответы на контрольные вопросы.

  12. Выводы по лабораторной работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1. Почему в планах второго порядка возрастает минимально необходимое количество точек в спектре плана? Как определяется число членов квадратичной модели?

  2. В каких случаях используют квадратичную модель объекта?

  3. Дайте определение ЦКП.

  4. Цель натурализации уравнения регрессии.

  5. Чем обеспечивается ортогональность столбцов матрицы F?

  6. Определение ОЦКП. Каким образом для ОЦКП выбирается числовое значение  (звездного плеча).

  7. Объясните, почему точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.

  2. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для втузов. М.: Радио и связь, 1983.

  3. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971.

  4. Планирование и организация измерительного эксперимента / Е.Т. Володаpский, Б.Н. Малиновский, Ю.М. Туз.-К.: В.ш. Головное изд-во, 1987.

Вариант 1



3,004

3,031

3,035

3,039

3,001

5,193

5,152

5,177

5,209

5,151

3,927

3,950

3,936

3,898

3,897

7,141

7,099

7,111

7,138

7,097

4,684

4,697

4,688

4,730

4,729

9,135

9,123

9,166

9,134

9,117

6,371

6,403

6,343

6,339

6,337

14,672

14,680

14,695

14,668

14,672

5,828

5,847

5,842

5,905

5,886

Вариант 2

3,651

3,605

3,653

3,592

3,627

6,547

6,514

6,535

6,562

6,581

4,761

4,793

4,816

4,792

4,801

9,515

9,566

9,534

9,552

9,528

5,828

5,847

5,842

5,905

5,886

13,041

13,081

13,051

13,089

13,063

8,364

8,371

8,338

8,365

8,366

25,575

25,563

25,611

25,578

25,534

5,081

5,148

5,123

5,092

5,073

Вариант 3

2,124

2,150

2,139

2,140

2,157

3,382

3,394

3,368

3,374

3,372

2,705

2,652

2,655

2,674

2,713

4,307

4,242

4,276

4,317

4,255

3,107

3,089

3,096

3,119

3,137

5,081

5,148

5,123

5,092

5,073

3,948

3,901

3,914

3,951

3,919

6,873

6,920

6,932

6,858

6,869

6,718

6,752

6,760

6,709

6,743

Вариант 4

2,588

2,597

2,542

2,537

2,539

4,191

4,165

4,152

4,129

4,138

3,201

3,231

3,202

3,199

3,248

5,509

5,453

5,448

5,511

5,445

3,793

3,830

3,850

3,789

3,852

6,718

6,752

6,760

6,709

6,743

4,963

4,966

5,001

4,952

5,007

9,738

9,753

9,702

9,746

9,737

7,094

7,126

7,149

7,102

7,158

Вариант 5

3,072

3,028

3,080

3,049

3,069

5,193

5,159

5,163

5,220

5,168

3,932

3,955

3,893

3,915

3,939

7,094

7,126

7,149

7,102

7,158

4,740

4,704

4,668

4,698

4,724

9,163

9,167

9,160

9,133

9,191

6,336

6,396

6,369

6,405

6,357

14,676

14,668

14,725

14,722

14,741

8,385

8,390

8,404

8,421

8,390

Вариант 6



4,292

4,285

4,333

4,304

4,277

8,385

8,390

8,404

8,421

8,390

5,881

5,886

5,847

5,900

5,909

13,349

13,332

13,357

13,342

13,356

7,389

7,368

7,439

7,419

7,442

20,252

20,271

20,271

20,258

20,310

11,282

11,269

11,293

11,249

11,254

66,571

66,613

66,562

66,585

66,620

7,379

7,415

7,415

7,368

7,368

Вариант 7

4,307

4,284

4,284

4,316

4,286

8,387

8,396

8,430

8,389

8,404

5,832

5,873

5,856

5,843

5,862

13,329

13,304

13,328

13,340

13,312

7,379

7,415

7,415

7,368

7,368

20,255

20,278

20,304

20,279

20,261

11,226

11,238

11,271

11,234

11,273

66,599

66,605

66,588

66,595

66,562

13,040

13,011

13,045

13,061

13,036

Вариант 8

3,583

3,605

3,623

3,623

3,587

6,555

6,564

6,523

6,559

6,511

4,795

4,790

4,776

4,798

4,744

9,504

9,530

9,524

9,557

9,530

5,855

5,839

5,827

5,881

5,863

13,040

13,011

13,045

13,061

13,036

8,328

8,301

8,303

8,319

8,310

25,586

25,544

25,578

25,562

25,556

4,701

4,682

4,690

4,718

4,719

Вариант 9

3,054

3,032

3,024

3,046

3,019

5,147

5,170

5,178

5,190

5,177

3,926

3,895

3,937

3,931

3,915

7,117

7,121

7,101

7,130

7,091

4,701

4,682

4,690

4,718

4,719

9,150

9,159

9,115

9,162

9,156

6,390

6,383

6,384

6,378

6,378

14,677

14,670

14,718

14,690

14,693

6,721

6,714

6,741

6,704

6,722

Вариант 10

2,549

2,537

2,563

2,564

2,569

4,118

4,164

4,155

4,126

4,151

3,236

3,220

3,202

3,212

3,207

5,445

5,485

5,449

5,472

5,455

3,825

3,812

3,790

3,782

3,781

6,721

6,714

6,741

6,704

6,722

4,951

4,989

4,955

4,941

4,981

9,735

9,693

9,705

9,711

9,726

3,950

3,932

3,908

3,935

3,901
следующая страница >>


izumzum.ru