Непрерывная математика Дискретная математика - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ... 1 224.35kb.
Бакалавр прикладной математики и информатики подготовлен преимущественно... 1 25.06kb.
Перечень вопросов для подготовки к зачету по дисциплине «Дискретная... 1 13.02kb.
Программа дисциплины «Дискретная математика» 1 283.06kb.
Математизация науки. “Чистая” и “прикладная” математика. Основные... 3 911.51kb.
По дисциплине: Дискретная математика 1 105.49kb.
Математика. Комплект 2 5 493.04kb.
Экзаменационные вопросы по дисциплине «Дискретная математика» для... 1 34.55kb.
«Математический анализ I», «Алгебра и геометрия», «Дискретная математика»... 1 18.09kb.
Математика, системного программиста по специальности 010200 Прикладная... 1 528.16kb.
Анализ результатов школьного тура олимпиады предметна область «Математика»... 1 63.95kb.
К. А. Михайлов. От античной философии к современной логике: аргумент... 1 130.93kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Непрерывная математика Дискретная математика - страница №1/3

Дискретная (финитная, конечная) математика – направление математики, изучающее свойства и отношения дискретных структур. В этом плане классическая (непрерывная) математика изучает объекты непрерывного характера:

Непрерывная математика

Математика

Дискретная математика
Специфика задач и методов дискретной математики обусловлена необходимостью отказа от основополагающих понятий классической математики – предела и непрерывности (их антиподом является понятие дискретности), т.к. многие методы непрерывной математики не приемлемы для изучения дискретных систем (структур, объектов).

Примечание: Согласно Ф. Энгельса «математика – наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения действительного мира».

  • Предмет, цель и содержание читаемого курса



Предметом читаемого курса являются языки, модели и методы решения задач теории множеств, алгебраических систем и теории графов, интерпретированные на объекты работы инженера в области ВТ специальности 220100: «Вычислительные машины, комплексы, сети и системы».

Целью читаемого курса является овладение студентами математического аппарата синтеза и анализа дискретных структур (систем с сосредоточенными параметрами; процессов, протекающих в дискретные моменты времени).

Содержанием читаемого курса (1 семестр) являются теория множеств, алгебраические системы и теория графов, т.е.:
Дискретная математика

Теория множеств  Теория графов

(алгебраические системы)
Рекомендуемая литература из библиотечного фонда МИЭМ.

а) Основная.

1. О.П. Кузнецов «Дискретная математика для инженера», СПб, “Лань”, 2004г.

2. Ю.В. Капитонва, С.Л. Кривой, А.А. Летичевский, Г.М. Луцкий «Лекции по дискретной математике», СПб, Б.Х.В. – Петербург, 2004г.

3. В.А. Горбатов, А.В. Торбатов, М.В. Торбатова «Дискретная математика», М, АСТ «Астрель», 2003г.

4. А.И. Белоусов, С.Б. Ткачёв «Дискретная математика», М, Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002г.

б) Дополнительная.

5. Ф.А. Новиков «Дискретная математика для программистов», Из-во «Питер», 2001г.

6. С. В. Яблонский «Введение в дискретную математику», М, Наука, 2003г.
Теория множеств.

Теория множеств – математическая теория наиболее общих свойств и отношений конечных и бесконечных совокупностей объектов, элиминирующая свойства самих объектов. Как система знаний теория множеств включает в себя определённый круг понятий и высказываний, логически связанных между собой так, что одни понятия или термины вообще, определяются через другие.

Структура чтения курса «Теории множеств».

Представим структуру (отношение между разделами) излагаемой теории Т деревом (связным ациклическим графом).



Т
Формальные системы

F,S =

Алгебраические системы

58 =

Соответствия и морфизмы

q = 1, M2, S>

5 = <581, 582, 5В>
Реляционные системы


Группоиды
Абстракция потенциальной бесконечности
Абстракция актуальной бесконечности

нечеткие
четкие


Функциональные системы

Полукольца

Чёткие q, M

Булевы алгебры 12,f22,f1>


Унары 1>
Бесконечные множества
Конечные множества
Подмножества

данного множества


Множества М

Алгебры

Комбинаторика

Упорядоченные множества

Нечёткие

q, M




Теория множеств, как совокупность высказываний своего языка, замкнутая относительно логического следования, имеет своими структурными компонентами:

а) концептуальный базис (первичные понятия и основные отношения между ними, выражаемыми в форме аксиом, гипотез, законов);

б) логические средства вывода и доказательства (т.е. основные правила построения объектов теории);

в) содержательную надстройку (совокупность теорем и утверждений, получаемых логическими средствами из аксиом, гипотез и законов).



Примечание:

  1. Следует различать формальное и содержательное построение теории множеств.

- формальное построение теории множеств является формальной системой

F.S. = , т.е. системой, в которой задан формальный язык L = (А – алфавит символов, S –синтаксические правила построения языковых выражений) и дедуктивные средства D = x, P> (Ax – аксиоматика, Р – логические средства вывода производных языковых выражений из выражений аксиоматики).

- содержательно построенная теория множеств не предполагает строгого задания всех её конструктурных компонентов. В этом плане алгебраическая система A =

(М – несущее множество, О - множество алгебраических операций, R – множество отношений) является содержательной системой.



  1. В читаемом курсе рассматриваются только теории множеств, первичными понятиями

которых являются элемент x, множество M и отношение инцидентности (принадлежности) , входящими в выражение x M.

  1. Язык теории множеств есть реляционная система , ели М – множество всех

понятий теории, а R – способы определения понятия через другие понятия.

  1. Язык формальной теории множеств, как множество его формул, есть формальная

система, аксиоматикой которой являются формализованные первичные понятия,, дедуктивными правилами вывода производных формул – формальные определения.

  1. Существующие в настоящее время теории множеств различаются парадигматикой

(системой взглядов) концептуального базиса и логических средств.

Так, в качеств примера, приведём две противоположные точки зрения на первичное (аксиоматическое, исходное) понятие «множество».

- Агрегатная точка зрения рассматривает множество как совокупность предметов (по Г. Кантору). В этом случае символическая запись x M означает, что x есть элемент множества M.

- Атрибутивная точка зрения считает множеством свойство (атрибут) вещей. Символическая запись в таком случае x <= M (говорят, что M() – одноместный предикат, в котором M – логическое сказуемое).

6) В рассматриваемой ниже классической теории множеств (теория Кантора)

используются: абстракция актуальной бесконечности, мыслимой как завершённый

объект (в отличие от абстракции потенциальной бесконечности), в которой применимы

все теоретико-множественные операции конечных множеств: индуктивный принцип

объёмности (аксиома экстенсиональности), A = {xi} = B, индуктивный принцип

абстракции (аксиома свёртки) М = {x: Ф(x)}.



Замечание:

а) Множество с отношением порядка сосуществования объектов принято называть пространством.

б) Множество с отношением порядка смены состояний объектов буем считать временем.

в) Принято всё, что может стать объектом рассмотрения дискретной математики, называть предметами.

г) Множество М всегда дискретно, в отличие от реляционной системы , могущей быть непрерывной.
Основные понятия теории множеств
Основными формами, в которых фиксируются знания о мире в результате интеллектуальной познавательной деятельности, являются понятия суждения и теории.

- Понятие – мысль, которая посредством указания на новый признак выделяет из универсума (множество предметов рассмотрения) и собирает в класс все предметы, обладающие этим признаком.

Классификацию ниже рассматриваемых понятий представим деревом:


Основные понятия теории множеств.

Производные понятия

Исходные понятия

Алгебраические системы


Соответствия и

морфизмы


множество

отношения

инцидентности
элементтыт
Подмножества данного множества

Операции


Отсюда следует, что все понятия содержательных теорий множеств определяются через первичные понятия «множество», «элемент», и «инцендентность» (это первичное отношение используется в теориях, где понятие «множество» рассматривается с агрегатной точки зрения) или «предикативность» (это первичное отношение теорий, в которых «множество поясняется с атрибутивной точки зрения). Далее будем отличать свойство множества от свойств элементов этого множества.
I Пояснение первичного понятия «множество» с агрегатной точки зрения.

В классической теории множеств исходное (первичное, неопределяемое) понятие «множество» является собирательным понятием (в котором отображены признаки совокупности однородных предметов, представляющих единый агрегат, например, «лес», «оркестр», «созвездие»). То, что утверждается в собирательном понятии, относится ко всем собранию предметов, обозначаемых понятием «множество», но не может быть приложимо к отдельным предметам, входящим в это целое (агрегат).

Согласно Г. Кантору (одному из основоположников “наивной” теории множеств), множеством является неупорядоченная совокупность строго различимых (дискретных) объектов, для каждого из которых можно установить его принадлежность данному агрегату.

Факт принадлежности объекта х (далее называемым “элементом”) множеству М символически записывается хМ (читают: х есть элемент множества М; элемент х принадлежит множеству М).

Символическая запись хМ означает, что элемент х не принадлежит множеству М.

Примеры:

а) Учебная группа С-25 есть множество (агрегат). Элементами этого множества являются студенты, принадлежность каждого из которых к группе С-25 можно установить по журналу.

б) Решение квадратного уравнения x2+2х-8=0 есть конечное множество, элементами которого являются корни заданного уравнения (алгоритмом установления принадлежности элемента множеству решений является его подстановка в квадратное уравнение).

М=2,-4-конечное множество

Очевидно 2,-4 М, но 3М.

Действительно:

22+2(-2)-8=0

(-4)2+2(-4)-8=0

32+23-8=70

в) Все натуральные числа образуют бесконечное множество

N=1,2,3,4,5…….

г) Все точки вещественной оси образуют множество, равномощное множеству всех действительных чисел Д.

д) Пустое множество  не содержит элементов, т.е. .

Замечание:

1)Сами элементы множества-агрегата могут быть агрегатами.

2)Термин «множество» в классической теории множеств есть экспликация (уточнение) интуитивно ясных понятий: «класс», «семейство», «ансамбль» и т.п.

3)Термин «элемент» в «наивной» теории множеств есть экспликация интуитивно ясных понятий «участник», «член», «представитель» и т.п.

4)Не следует связывать понятие множество с обыденным представлением о множестве, как о большом количестве. Так множество {х} есть синглетон, а пустое множество не содержит элементов.

5)Элементы множества не обязательно должны существовать одновременно. Так, следующие три объекта пространства-времени:

- Студент Петров, сдавший вчера сдавший курсовой проект;

- Он же, сегодня выполнивший лабораторные работы,

- Он же, намеревающийся завтра сдать реферат.

Образуют множество из трех элементов x1,x2,x3, т.е. М = {x1,x2,x3}.



Предостережение:

  1. Можно говорить о множестве дождинок (снежинок) капающего дождя (снегопада), но нельзя говорить о множестве дождинок (снежинок) в луже (сугробе). Лужа (сугроб) не являются агрегатами дождинок (снежинок) из-за отсутствия дискретности их распознавания (т.к. лужа и сугроб не дискретны).

  2. Понятие «дискретное множество» и «непрерывное множество» являются понятиями реляционной системы , где R является отношением «близости» элементогв множества M.


II Пояснение исходного понятия «множество» с атрибутивной точки зрения.

Агрегатная точка зрения, в отличие от атрибутивной, является логически несостоятельной в том плане, что она приводит к парадоксам типа Рассела и Кантора.

В рамках атрибутивной точки зрения исходное понятие «множества» отождествляются со свойством, определяющим соответствующую совокупность элементов (бесконечную).

В этом случае записывают хМ (сокращенно М (х)), имея в виду, что элемент х обладает свойством М (здесь х - элемент множества М, понимаемого как свойство;

 - оператор отношения предикации; эквивалентная запись М (х) является одноместным предикатом - логическим сказуемым,

т. е. то, что говориться об элементе х).

Любому множеству-свойству множества М соответствует потенциально бесконечная совокупность элементов, которым присуще это свойство. В этом плане понятие “конечное множество” есть структурно сложные эмпирические или абстрактные объекты (абстрактные агрегаты) множества М, т.е. Mi M (M – бесконечное множество).

Пример:

1)Учебная группа С-25 в рамках атрибутивной точки зрения на неопределяемое понятие «множество» является структурно сложным эмпирическим элементом бесконечного множества учебных групп (иначе x <= P, x - группа С-25, Р – учебная группа).

2) Абстрактный агрегат 2,4,6 является абстрактным структурно сложным элементом составных частей 2,4,6, находящихся в отношении четности к числу 2.

3) x <= N, N – множество натуральных чисел; N(x) – предикат; х – натуральное число N.

4) Для N=1,2,3,4… конечное множество натуральных чисел с атрибутивной точки зрения, не являются подмножеством, т.е. {xi, xj, xe, …, xk} N.
III Примеры производных понятий содержательных теорий множеств.

производными понятиями теории будем называть понятия, определяемые с помощью исходных (первичных) понятий этой теории.



а) Множество А, каждый элемент которого является элементом другого множества М, называется подмножеством данного множества М.

Символическая запись А  М (здесь  - символ отношения включения всех элементов А в М, А является несобственным подмножеством М) и АМ (А – собственное подмножество М).

Графической интерпретацией отношения включения между множеством может быть

Диаграмма Вена:

собственное подмножество несобственное подмножество

U

U



Пример1:

M={a,b,c}. Подмножеств 8: собственных 6 ({a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}), несобственных 2 ({a,b,c},)


Так же для заданного множества все его подмножества могут быть представлены с помощью характеристической функции (индикатора):

F(x)= 0, если хМ; (или условно: fA(х):М0,1)



1,если х М.

Пример2:

Дано: М={a,b,c}. Представить все его подмножества с помощью индикатора.

Решение: F(x)= 1, если хМ → хА;

0,если х М → х А.

1)М={,,} – индикатор для множества М;

2)А1={,,} – индикатор для множества А1 , {a,b}

3)A2={,,} – {a,c}

4)A3={,,} - {b,c}

5)A4={,,} – {a}

6)A5={,,} – {b}

7)A6={,,} - {c}

8)A7={,,} – {a,b,c}

9)A8={,,} – 

Пояснения:


  1. Кортеж – это конечная последовательность, допускающая повторяющиеся элементы данного множества (или данных множеств), обозначается: .(см. опр.2 ниже)

2) В этих выражениях (1-9) множество есть множество кортежей (спаренных векторов), первой компонентой которых являются элементы множества M, а второй компонентой – единица/ноль (т.е. принадлежность/непринадлежность элемента множества M множеству A).

3) Говорят что индикатор fA(х) множества А, определенный на множестве М, задает четкое подмножество А множества М.

4) Если степень принадлежности элемента множества M множеству A~ есть субъективно множественная оценка

FA~(x)= 0, если хА,

[1,0],если хА;

то говорят о нечетком подмножестве A~ множества М (множество М всегда четко!), и записывают A~  М.

Логическая экспликация (разъяснение) понятия подмножества А множества М с агрегатной и атрибутивной точек зрения следующие:

х(() (1)

( (2)

где метасимволы  и следует считать соответственно как “эквивалентность” и “если…то”.



Примеры:

а) Множество красавиц МГИЭМа, есть нечеткое подмножество A~ всех студенток МГИЭМ M, т.е. A~ М (это очевидно потому, что понятие “красавица” для каждого человека субъективно и, следовательно, степени оценки красоты той или иной студентки различны для различных людей).

б) Пусть M={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Привести подмножество ”большие цифры”. Возможный вариант (субъективный):

A={<0,0>,<1,0>,<2,1/1000>,<3,1/100>,<4,1/10>,<5,0.5>,<6,0.6>,<7,0.7>,<8,0.9>,<9,1>}. Здесь первая компонента каждого кортежа есть цифра множества M, а вторая компонента этих же кортежей есть степень оценки принадлежности цифры к искомому подмножеству.

б) Конечная последовательность, допускающая повторения элементов данного множества (или данных множеств), называется кортежом (n-кой, вектором, набором, упорядоченным множеством).

Условно кортеж записывают последовательностью элементов заданного множества в угловых скобках (пусть А={a,b,c}, тогда: < a,a,b> - кортеж длины 3 или тройка, - пара).

Примеры:

1.Слово в алфавите A есть кортеж.

2.Команда в программе для ЭВМ есть последовательность символов из алфавита языка программирования.

3.Алфавит русского языка есть кортеж длины 32.

4.Программа для ЭВМ есть кортеж кортежей.

5.Координаты точки в n-мерном пространстве образуют кортеж.

Пояснения:

1.В условной записи кортежа элементы, его образующие, называются компонентами (координатами).

2.Число компонент кортежа называется его длиной. Так, принято кортеж длиной два 1,a2> называть парой (или упорядоченной парой), кортеж длины три 1,x2,x3> - тройкой

3.Кортеж длины n можно интерпретировать как n-мерный вектор, или как точку в n-мерном пространстве, а каждую компоненты кортежа можно рассматривать в этом случае как проекции вектора на соответствующие оси.

в) Декартовым (прямым) произведением множеств Mi(i=1…n) называется множество, элементами которого являются кортежи длиной n такие, что каждая

j-ая компонента есть элемент множества Mj.

Пi=1..nМi1 * М2 * …*Мn = {1,x2,...,xn>: xjMj, j=1..n}

Замечание:

В том случае, если M1=M2=…=Mn =М, то говорим об универсальном полном отношении и записываем: Мn (M2, M3 и т.д.)

Пример 1. Сколько вариантов окраски квадрантов круга возможно, если допускается пять цветов краски.

Решение: Поставленная задача всех вариантов окраски круга решается с привлечением математического понятия универсального отношения Mn.
, , ,…………,

Очевидно, что кортеж длины 4, каждая компонента которого есть цвет краски, есть элемент декартового произведения. Пусть цвета краски образуют множество M = {к, б, з, с, ф}. Тогда М4 = М  М  М  М и М4 = 54 = 625 (здесь условная запись |Mn| означает число картежей длины 4).



Пример 2. Всё множество координат всех клеток шахматной доски можно записать декартовым произведением вида {a,b,c,d,e,f,g,h}  {1,2,3,4,5,6,7,8} = {, …, , , …, , …, }. M1={a,b,c,d,e,f,g,h}, M2={1,2,3,4,5,6,7,8}, имеем число всех пар, т.е. |M1M2|, равным 64.

г) Подмножество S декартового произведения Пi=1..nМi называется n-арным соответствиeм элементов множеств Mi.

Формально S  Пi=1..nМi.

Частные случаи.

Если n=2, то говорят о бинарном соответствии S  M1  M2 и пишут: q=1,M2,S>

Если говорят о подмножестве кортежей универсального отношения Mn, то имеют в виду n-арное отношение R, т.е. R  Mn.

R  M2 называют бинарным отношением на множестве M ( пишут: q=2>).

Однозначное n-арное отношение есть n-местная функция


Пример функции:

В этом случае Rf P2 является функциональным (однозначным) бинарным отношением на множестве Р


р

p
Пример не являющийся функцией:


Это функциональное соответствие элементов двух множеств, т.е. Sf PЧT
p

t
Пример. Пусть M = {х123} и R ={1, x1>,< x2, x1>,< x3, x1>}.

Рассматривая множество первых координат кортежей отношения, как его область определения, а множество вторых координат, как область значений бинарного отношения, представим функцию как частный случай соответствия элементов множества М.

М Rf M



Замечание. Поскольку S является подмножеством, то можно говорить о нечётких соответствиях, отношениях, функциях.



д) Множество всех подмножеств заданного множества М называется булеаном.

В(М) символическая запись для множества всех чётких подмножеств множества М.

В(М) – символическая запись для множества всех нечётких подмножеств (с конечным числом степеней субъективной оценки mi принадлежности элемента множества М подмножеству Mi) заданного множества М.

Принимая во внимание, что число всевозможных индикаторов

fA(x) =  равно К|M| (К – число степеней субъективной оценки принадлежности элемента множества М нечёткому подмножеству Mi), имеем |B(M)| = K|M|

В случае К = 2 (т.е. для степеней оценки принадлежности элемента множества М чёткому подмножеству Мj), получаем, что мощность (число множества всех чётких подмножеств заданного множества М равно 2|M|, т.е. |B(M)| = 2|M|

Отметим, что для заданного множества М |B(M)| > |M| (это означает, что нет множества наибольшей мощности).

e) Алгебраической n-арной (n-местной) операцией на множестве M называется n-местная функция у = f(x1,x2,,xn), у которой область определения аргументов xi и область значений функции совпадают (n N).

Формальная запись f: MnM означает, что алгебраическая операция функциональна (однозначна) и замкнута.



Пояснение.

  1. Тот факт, что алгебраическая операция является частным случаем бинарного однозначного соответствия (отражается в её формальной записи f: Mn  M.), можно пояснить графически:

Мn Mn


Rf

Очевидно, что алгебраическая операция может быть не всюду определенной, т.е. быть частичной, на множестве элементов М, а также может быть и нечеткой.



  1. Поскольку алгебраическая операция по n элементам множества M определяет (n+1) элемент этого же множества M, то n-местную алгебраическую операцию можно рассматривать и как (n+1)-арное однозначное отношение на множестве M.

  2. Если f: M  M, то говорят об унарной (одноместной) алгебраической операции; f: M2  M, то имеют в виду бинарную (двухместную) алгебраическую операцию.

ж) Алгебраической системой A называется кортеж <M,O,R>, первая компонента которой M есть непустое множество, вторая компонента O множество алгебраической операций, третья компонента R множество отношений на множестве M.

Пояснение.

  1. Множество M алгебраической системы A называют несущим, или основным множеством.

  2. Совокупность алгебраических операций и отношений алгебраической системы называют сигнатурой . В этом случае алгебраическая система записывается парой .

  3. Алгебраическая система, в которой пусто множество операций, т.е. O = , называется реляционной системой (или моделью)

  4. Алгебраическая система называется универсальной алгеброй (или просто алгеброй), если на основном множестве M множество отношений R пусто (т.е. R = ).

Примеры:

  1. - алгебраическая система, несущими множеством которой является булеан B(U), алгебраическими операциями – теоретико-множественные операции объединения ∪, пересечения ∩ и дополнения { (т.е. О = {∪, ∩, {}, а множеством отношений является отношение включения ⊆ (т.е. R = {⊆}).

  2. - булева алгебра множеств (алгебра Кантора).

  3. - реляционная система множества всех подмножеств заданного множества М.

Алгебраическая система A = называется реляционной системой (или моделью), если на основном множестве M заданы только отношения R (т.е. в этом случае пусто множество операций O, что означает O = ).

Символический язык содержательных теорий множеств.

В процессе изучения курса будем чётко различать объектный язык теории множеств и метаязык, средствами которого изучается объектный язык.

Язык теории множеств L является формализованным 1, S2>, т.е. реляционной системой , несущим множеством которой является алфавит А, а сигнатурой

5А = R = S1 ∪ S2 – множество синтаксических правил образования языковых выражений (формул) S1 и множество семантических правил S2. В этом плане синтаксическим языком теории множеств можно считать формулы, т.е. F ⊆ A* = A ∪ AxA ∪ … ∪ An ∪ …
I Алфавит языка теории множеств.

В алфавите теории множеств различают четыре непересекающиеся между собой подмножества: подмножеств символов объектов A1, операций A2, правил сопоставления A3, и разделительных знаков A4. Формально A = A1  A2  A3  A4

A1  A2 = , A1  A3 = , A1  A4 = , A2  A3 = , A2  A4 = , A3  A4 =  (в этом случае говорят, что множество A разбито на подмножества).

Будем называть объединение A1  A2  A3 основными символами языка теории множеств (я. т. м.)

Дальнейшие пояснения будем строить согласно с деревом:

А


Символы объектов А1

Индивидуальные

(собственные) символы соответствий

Общие символы соответствий

Индивидуальные (именные) символы объектов

Общие символы

объектов

Символы соответствий А3

Индивидуальные символы функций

индивидуальные символы отображений

индивидуальные символы отношений

функций


отображений

отношений

множеств

множеств


элементов множеств

Знаки препинания

Основные символы

А1А2А3


Вспомогательные (разделительные) символы

Символы


операций А2

индивидуальные

общие

скобки


точка

двоеточие

круглые ( )

фигурные {}

прямые | |

угловые < >

элементов множеств

Синтаксис языка L часто описывают формальной грамматикой. В этом случае формальная порождающая грамматика- кортеж, состоящий из множества терминальных Т (основных) символов, нетерминальных N символов, начального символа J и множества продукций P, т.е.

J =, где J - грамматика

TH=A, TH=, Jначальный символ (это нетерминальный символ)

Символический язык теории множеств может быть записан с помощью порождающей грамматики:

x, , , , , , , , , , ,  },

H={J,K}, J, P={J(JJ), J(JJ), J(J), J(JJ), J(JJ), J(JJ), J(JJ), J(JJ), J(JJ)

Этот язык теории множеств как множество формул F основные символы этой формальной порождающей процедуры (основные символы- обозначения множеств),

  1. следующая страница >>


izumzum.ru