На правах рукописи Коробицын Владимир Анатольевич - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
На правах рукописи Коробицын Владимир Анатольевич - страница №1/2

На правах рукописи


Коробицын Владимир Анатольевич

метод базисных операторов построения дискретных моделей сплошной среды

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2013

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет».
Научный консультант:

Бубенчиков Алексей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор.


Официальные оппоненты:
Остапенко Владимир Викторович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, главный научный сотрудник.
Роменский Евгений Игоревич, доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, главный научный сотрудник.

Садовский Владимир Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт вычислительного моделирования СО РАН, заместитель директора по научной работе, заведующий отделом Вычислительной механики деформируемых сред.

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.


Защита состоится “27“ июня 2013 г. в 15 ч. 00 м.

на заседании диссертационного совета Д 003.015.04, в Институте математики

им. С.Л. Соболева СО РАН, 630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им.С.Л.Соболева СО РАН.
Автореферат разослан “____“ ______________ 2013 г.

Ученый секретарь


диссертационного совета
к.ф.-м.н. ­Мирошниченко Валерий Леонидович


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Широкое распространение в современных технических сооружениях и природных явлениях течений сплошной среды с контактными разрывами, свободными поверхностями в водоемах, полостях и сосудах различных форм порождает интерес к математическому моделированию этих течений и численному исследованию особенностей протекающих процессов.

Широкое применение метода конечных разностей на подвижных сетках для численного моделирования процессов сплошной среды определяет интерес к построению разностных схем с заданными качествами, такими как полная консервативность, инвариантность.

Существующие методы построения разностных схем с заданны­ми свойствами на косоугольных сетках встречаются с трудностями как технического, так и теоретического характера. Способствует этому многообразие форм областей, аппроксимаций дифференциальных уравнений, особенности решений, видов сеток и т.д. Поэтому математическое моделирование течений сплошной среды с контактными разрывами, свободными поверхностями в сосудах сложных форм, развитие теории конструирования полностью консервативных разностных схем наследующих свойства дифференциальных аналогов, в рамках создания теории построения дискретных аппроксимаций основных дифференци- альных операций векторного и тензорного анализа, на косоугольных сетках для систем криволинейных координат, является актуальной задачей.

Явление ядерного излучения при акустической кавитации, выхода нейтронов и ядер трития при акустическом возбуждении кластера паровых пузырьков в дейтерированом ацетоне, подняло интерес к моделированию поведения газовых пузырей в жидкости. Эволюция газовых пузырей в жидкости связана с процессами изменения их формы и объема, дробле- нием и слиянием границ раздела, изменением связности, широко распространена в природе и технических устройствах. Нестационарные процессы в подводных газо и нефтепроводах, шахтах и скважинах, реакторах, цистернах и баках с жидкостью сопровождаются взаимодей- ствием жидкости, газа и твердых тел. Численное моделирование процессов динамики газовых пузырей в жидкости представляет собой актуальную задачу. В диссертации задача моделирования процессов динамики газовых пузырей в жидкости решается на основе полностью консервативной разностной схемы в совместных, эйлерово-лагранжевых переменных, аппроксимирующей потенциальную постановку задачи. Разностная схема сконструирована разработанным в диссертации методом базисных операторов, являющимся развитием метода опорных операторов.



Цель диссертационной работы. Разработка дискретного метода моделирования течений сплошной среды с контактными разрывами, свободными поверхностями, в областях с криволинейными границами, наследующего свойства дифференциальных моделей механики сплошной среды в рамках технологической последовательности построения дискретных аппроксимаций основных дифференциальных операций векторного и тензорного анализа на косоугольных сетках для различных систем координат. Декартовых прямоугольных координат, криволинейных координат на плоскости и осесимметричном пространстве, трехмерном пространстве, евклидовых и неевклидовых пространствах. Применение метода моделирования для решения практических задач сложных течений сплошной среды. Групповой анализ разностных схем. Использование дискретных операций векторного и тензорного анализа на косоугольных сетках для конструирования полностью консервативных разностных схем механики сплошной среды, проверке эффективности схем на тестовых задачах и получение численных решений ряда новых задач гидродинамики в интересах отечественной промышленности.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:



    1. Разработка формализованного метода базисных операторов построения разностных аппроксимаций произвольного порядка, наследующих свойства дифференциальных операторов векторного и тензорного анализа. Для различных неортогональных сеток и криволинейных ортогональных и неортогональных систем координат в евклидовых и неевклидовых пространствах. Эти аппроксимации согла- сованы с помощью формул суммирования по частям в форме квадра- турных соотношений и представлены в виде простых явных выражений, зависящих от дискретных первых производных по пространственным переменным, заданного произвольного порядка аппроксимации.

    2. Установление эффективности пост­роенных дифференциально- разностных и разностных схем, и численного моделирования на их основе ряда задач гидродинамики с контактными разрывами, со свободными и криволинейными границами.

    3. Выявление связей между групповыми свойствами дифференциально-разностных уравнений механики сплошной среды и законами сохранения основ­ных количеств дискретной среды.

    4. Конструирование дискретных операторов векторного и тензорного анализа посредством преобразования дискретных аппроксимаций в декартовой системе координат при преобразовании координат в произвольную криволинейную систему.

    5. Математическое моделирование практически значимых задач в интересах промышленности на основе разработанного метода базисных операторов построения дискретных моделей гидродинамики вязкой и несжимаемой жидкости со свободными границами.


Научная новизна. В работе предложен новый метод базисных операторов построения разностных схем механики сплошной среды, позволяющий получать формализованные, полностью консервативные разностные схемы в произвольной системе координат в виде явных выражений через аппроксимации дифференциальных производных первого порядка. Метод позволяет записать разностные аппроксимации основных дифференциальных операций векторного и тензорного анализа в произвольной криволинейной системе координат в пространстве дискретных функций на косоугольных сетках в виде конечных формул. Эти аппроксимации, как для непрерывного, так и для дискретного времени, согласо­ваны на основе формул суммирования по частям в форме квадратурных выражений и соотношений типа Гаусса – Остроградского, связывающих дискретные производные в произвольных криволинейных системах координат евклидовых и неевклидовых сеточных пространств.

Для конструирования дифференциально-разностных схем в криволинейных системах координат, в рамках метода базисных операторов, разработаны две различные процедуры построения дискретных первых производных по пространственным переменным заданного порядка аппроксимации.

В рамках первой процедуры, для аппроксимации объема ячейки в криволинейных координатах, предложена формализованная дивергентная трехпара­метрическая формула, обобщающая известные формулы объемов в декартовой прямоугольной, цилиндрической, сферической систе­мах координат. Формула основана на представлении аппроксимации произведения функций Ламе через первообразные этого произведения. На основе этой формулы построены трехпара­метрические дискретные операторы первых производных по пространственным переменным.

Вторая процедура создана как формализованный метод преобразования дискретных операторов векторного и тензорного анализа в декартовой системе координат в произвольную криволинейную систему. Установлено, что алгоритм преобразования дискретных операторов сохраняет симметрии решений относительно координатных кривых, присущие дифференциальной системе уравнений, и сохраняет согласованность дискретных операторов, что позволяет конструировать эффективные дифференциально-разностные схемы с граничными условиями для дискретных областей с криволинейными границами.

Для построения полностью консервативных разностных схем предлагается квадратурно-аппроксимационный метод построения таких схем на основе дискретных законов сохранения на сеточной области. Метод работает для эйлеровых, лагранжевых и смешанных эйлерово-лагранжевых координат. Используя аппроксимации метода базисных операторов (как обобщение метода опорных операторов), дифференци- ально-разностная схема строится как следствие сис­темы законов сохране- ния в квадратурной форме, которые кладутся в основу численной модели. Построены классы разностных схем в криволинейных системах координат, аппроксимирующие уравнения механики сплошной среды для разработан- ного комплекса программ моделирования трехмерных течений несжима- емой жидкости со свободной поверхностью в сосудах сложной формы.

Метод группового анализа С.Ли - Л.В. Овсянникова обобщен на класс дифференциально-разностных уравнений на косоугольных сетках. Исследованы групповые свойс­тва дискретных моделей и их связь с законами сохранения. Установлена классифицирующая роль выражения для объема ячейки для классификации дифференциально-разностных схем.

Пост­роены разностные схемы, имеющие такие же законы сохранения, что и исходные дифференциальные уравнения. Для газовой динамики такие схемы названы термодинамически согласованными. Численными расчетами подтверждена эффективность этих схем.

Построен класс разностных схем для расчета потенциальных течений несжимаемой жидкости со свобод­ной поверхностью в многосвяз- ных областях. Эффективность раз­ностных схем подтверждается числен- ными расчетами ряда задач гидродинамики. Получены численные решения эволюции пузырей в несжимаемой жидкости с процессами дробления и слияния границ, изменения связности, разрывами потенциала скорости.



Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность диссертации заключается в разработке новой формализованной теории построения дифференциально-разностных и разностных схем любого порядка аппроксимации для широкого класса сеток. Построенные в работе разностные операторы векторного и тензорного анализа в евклидовых и неевклидовых пространствах и схемы в криволи­нейных, ортогональных и неортогональных системах координат, имеют вид явных выражений, зависящих от дискретных производных первого порядка. Разработанные алгоритмы реализации схем и граничных условий послужили основой для создания универсальных алгоритмов моделирования течений сплошной среды в областях сложной формы и моделирования многосвязных течений. Тестовые примеры и решения практических задач подтверждают эффективность теоретических построений. Важным результатом является обобщение группового анализа на дифференциально-разностные схемы.

Практическая ценность диссертации заключается в полученных численных результатах моделирования течений сплошной среды, как в областях сложной формы, так и в многосвязных областях. Комплекс программ математического моделирования нелинейных течений несжимаемой жидкости и расчета форм свободной поверхности в тороидальных и цилиндрических областях использовался в практике работы предприятия п/я Г-4725. (ныне ФГУП ГРЦ «КБ им. акад. В.П. Макеева», г. Миасс). Основные результаты опубликованы в авторитетных научных изданиях и используются как у нас в стране, так и за рубежом.



Методы исследования. В диссертации применяются методы теории разностных схем, векторного и тензорного анализа, теории групповых преобразований, теоретической механики и механики сплошных сред.

Положения, выносимые на защиту:

    1. Комплекс программ математического моделирования трехмерных возмущений гидродинамики вязкой и несжимаемой жидкости со свободными границами в сосудах сложной формы.

    2. Математическое моделирование процесса заполнения осесимметричной полости и динамики газовых пузырей на основе потенциальной модели жидкости и метода базисных операторов.

    3. Новая теория построения разностных схем в криволинейных системах координат на основе формализованного метода базисных операторов для косоугольных сеток. Метод позволяет строить согласованные разностные аппроксимации основных дифференциальных операторов дискретного векторного и тензорного анализа для различных криволинейных, как ортогональных, так и неортогональных систем координат на неортогональных, регулярных и нерегулярных, сетках. Построенные аппроксимации согласуются с помощью формул суммирования по частям, в форме квадратурных (кубатурных) соотношений и представлены в виде простых явных формул.

    4. Дифференциально-разностные и разностные схемы гидродинамики, построенные методом базисных операторов, обеспечивающие выполнение всех законов сохранения, присущих непрерывному случаю.

    5. Теория преобразования разностных схем (при преобразовании координат) хорошо зарекомендовавших себя в декартовой системе координат, как развитие метода базисных операторов для областей, криволинейные границы которых являются координатными линиями. Обоснование постановки граничных условий.

    6. Групповой анализ дифференциально-разностных и разностных схем гидродинамики.



Обоснованность и достоверность результатов. Полученные в диссертации теоретические результаты имеют строгое математическое обоснование. Достоверность результатов работы основана на математическом уровне строгости, использовании корректных постановок за­дач. Построение разностных операторов и схем с заданными свойствами, наследуемыми у дифференциальных операторов и аппроксимируемых дифференциальных уравнений. Подтверждение аппроксимации, устойчивости и сходи­мости разностных схем, и тестирование предложенных в диссер­тации алгоритмов численного решения задач на известных аналитических и численных решениях.

На всех решениях построенных разностных схем точно выполняются дискретные законы сохранения, аппроксимирующие интегральные законы сохранения соответствующих дифференциальных уравнений. Эффективность разработанных алгоритмов и достоверность численных результатов подтверждается сравнением тестовых результатов расчетов с результатами других авторов.



Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

  • Девятая Всероссийская конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казанский федеральный университет, Казань, 16-22 сентября 2012 г.

  • Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М.Лаврентьева. Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия, 5-12 августа 2012.

  • Международная конференция «Fifth Conference on Numerical Analysis and Applications. June 15-20, 2012. Lozenetz. Bulgaria. University of Ruse».

  • Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-лению со дня рождения акад. Н.Н. Яненко. – Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 2011.

  • Международная конференция «Математические и информационные технологии МИТ 2011», Mathematical and Informational Technologies, MIT-2011, IX Conference «Computational and Informational Technologies for Science, Engineering and Education» held in Vrnjacka Banja and Budva, August 27 – September 5, 2011.

  • Международная конференция «Актуальные проблемы современной математики, информатики и механики – II», Алматы, 28-30 сентября 2011г.

  • Международная конференция "Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики", посвященная 100-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР А. А. Ляпунова 11 - 14 октября 2011 г., Академгородок, Новосибирск, Россия.

  • II Всесоюзной конференции по нели­нейным колебаниям механических систем, Нижний Новгород, 1990 г.

  • Всесоюзная конференция по нелинейным колебаниям механических систем, Киев, 1976 г.

  • Научно-практическая конференция "Молодые ученые и специалисты Томской области в девятой пятилетке". Томск, 1975 г.

  • Всесоюзная конферен­ция по механике сплошных сред, Ташкент, 1979 г.

  • YI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986 г.

  • Всесоюзные школы молодых ученых под руководством А.А.Самарского, Кишинев, 1981 г.; Львов, 1983 г.; Рига, 1985 г.; Минск, 1987 г.

  • Всесоюзная школа - семи­нар "Динамика механических систем", Томск, 1986 г.

Также основные результаты диссертации докладывались на научно- исследовательских семинарах:

  • Всесоюзные семинары "Динамика упругих и твердых тел взаимо­действующих с жидкостью", Томск, 1975 г.,1984 г.

  • YII Всесоюзный семинар "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", Кемерово, 1988 г.

  • Семинары " Численные методы решения задач математи­ческой физики" в ВЦ РАН, Москва, 1987 г., 1988 г.

  • Семинар под руководством академика Л.В.Овсянникова в ИГ и Л СО РАН, Новосибирск, 1987 г.

  • Семинар под руководством академика Н.Н.Яненко в ИТПМ СО РАН, Новосибирск, 1983 г.

  • Семинар под руководством профессора В.Ф.Тишкина в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 2012 г.

  • Семинар под руководством профессора Л.Б. Чубарова в ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2012 г.

  • Семинары под руководством академика С.К.Годунова, профессора В.С.Белоносова и д.ф.м.н. М. В.Фокина в ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2012 г.

  • Семинар под руководством член-корреспондента В.В.Пухначева в ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, 2012 г

  • Се­минары в НИИПММ ТГУ, кафедр вычислительной математики, теоретической механики Томского госунивер­ситета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 статей, из них

15 входят в перечень ВАК.



Личный вклад автора.

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.



Благодарности. Автор выражает благодарность Э.Е. Либину, привлекшему автора к работе по теме диссертации, профессорам А.М.Бубенчикову и Ю.Д. Шмыглевскому за полезные обсуждения и поддержку работы, академику Ю.И. Шокину за внимание к работе и поддержку, академику Н.Н.Яненко за внимание и поддержку результатов, соавторам за понимание и плодотворное сотрудничество.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, приложения, списка литературы. Изложе­на работа на 299 страницах, из них 275 страниц текста, содержит 1 таблицу и иллюстрирована 34 рисунками. Библиография включает 131 наименование.



краткое СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор и обоснование актуальности проблемы, формулировка цели и задачи исследования, перечисление полученных в диссертационной работе результатов, обоснование их практической ценности. Формулируются положения, выносимые на защиту, описывается структура диссертации.


В первой главе приводится справочный материал по тензорному анализу, теории дифференциальных уравнений и разностных схем.

Во второй главе для случая прямоугольных декартовых коор­динат описывается метод базисных операторов, как формализованные формулы построения дискретных операторов векторного и тензорного анализа косоугольных сеточных 2D и 3D – пространств.

Метод конечных разностей является одним из универсальных методов численного интегрирования уравнений математической фи­зики. При численном моделировании процессов сплошной среды на основе конечно-разностных методов одной из основных проблем является построение устойчивых разностных аппроксимаций мате­матических моделей исследуемых процессов.

В этой проблеме мож­но выделить задачу построения разностных аппроксимаций диффе­ренциальных операторов векторного и тензорного анализа, которые наследуют основные свойства дифференциальных операто­ров, такие как самосопряженность, знакоопределенность, инвари­антность и др. К настоящему времени разработано множество ме­тодов построения разностных схем.

Одним из перспективных направлений в теории разностных схем является разработка и обоснование численных алгоритмов на основе принципа полной консервативности А.А.Самарского и Ю.П.Попова. На первом этапе развития теории построения полностью консервативных разностных схем использовался метод непосредственной аппроксимации дифференциальных уравнений.

Второй этап развития теории построения разностных схем знаменуется привлечением принципов математической физики и методов теоретической механики. Для задач механики сплошной среды в лагранжевых переменных в диссертации предложено использовать принципы механики систем материальных точек, в частности уравнения Лагранжа первого рода для дискретной системы материальных точек со связями, с целью построения разностных схем идеальной несжимаемой жидкости на косоугольной сеточной области (автор идеи Э.Е. Либин). Общеизвестно, что для системы дискретных уравнений движения (уравнения Лагранжа) и неразрывности (связь – сохранение площади ячейки) выполнен закон сохранения полной энергии, так как у лагранжиана системы нет явной зависимости от времени. Следовательно, эта схема должна быть устойчива в пространстве , и дискретные операторы схемы – аналоги дифференциальных операторов , согласованы формулами суммирования по частям.

Для борьбы с аппроксимационным вихрем скорости, порождаемым разностной схемой, было предложено дополнить дискретное уравнение импульса антивихревым членом, подавляющим развитие ротора скорости.

Фундаментальная идея применения уравнения Лагранжа 1 рода и принципов механики для построения разностных схем, задала новую направленность развитию теории разностных схем и была подхвачена научными школами академиков А.А.Самарского и Н.Н.Яненко. Обобщение этой идеи построения разностных схем с использованием принципа наименьшего действия Гамильтона изложено в работах: А.А. Самарский, В.М. Головизнин, А.П. Фаворский (1977), Ю.А. Бондаренко (1985), Н.Н. Яненко, А.М.Франк (1985), В.А.Коробицын (1986).

С середины 90-х годов эта концепция активно развивается M.Shashkov в Лос-Аламоской национальной Лаборатории США. Идея антивихревого подавления, или вихревого согласования схемы, в дальнейшем была использована J. K. Dukowicz и B. Meltz (1992), для объяснения механизма нефизичного выворачивания лагранжевых ячеек.

Разработан квадратурно-ап­проксимационный метод построения дискретных и разностных мо­делей механики сплошной среды, для которых, помимо принципа полной консервативности, выполняются законы сохранения, ана­логичные законам сохранения дифференциальной модели. Эти результаты позволяют получать схемы механики сплошной среды при эйлеровом, лагранжевом, а также смешанном эйлерово-лаг­ранжевом описании среды. Квадратурно-аппроксимационный метод по результатам схож с методом каскадного представления конвективных членов уравнений, но методически более последователен. Аппроксимация конвективных членов уравнений совпадает с результатами О.А.Ладыженской и А. Кживицкого и метода "каскад­ной" аппроксимации.

Разработанный во второй главе метод базисных операторов применен к решению ряда задач динамики несжимаемой жидкости в полостях сложной формы. Приводятся результаты численных расчетов и обсуждаются вопросы верификации численных результатов.

Третья глава. Известно, что помимо выполнения законов сохранения раз­ностные схемы должны воспроизводить симметрийные свойства те­чений среды. Воспроизведение математическими моделями симмет­рийных особенностей течений связано с инвариантными свойствами уравнений, граничных и начальных условий. Инвариантность диф­ференциальных уравнений относительно некоторых групп преобра­зований является отражением таких фундаментальных свойств при­роды, как законы сохранения соответствующих количеств. Математически эта связь была установлена Э.Нетер для уравнений допускающих вариационную формулировку. Инвариантность вариаци­онного функционала относительно группы преобразований является достаточным условием выполнения на решениях этих уравнений закона сохра­нения.

Требования к формулам, определяющим объем ячейки, и связь требований с группами сдвигов, вращений рассматривались ранее В.М. Го­ловизниным, В.Ф. Тишкиным, А.П. Фаворским. Ю.И. Шокин с учениками изучал групповой подход к анализу разностных схем газовой ди­намики с позиций первого дифференциального приближения.

Как отмечается в монографии Ю.И. Шокин, Н.Н.Яненко (1985), «переход к разностной схеме затрудняет групповой анализ». Многих затруднений группового анализа разностных схем удается преодолеть, конструируя дифференциально-разностную схему на основе уравнения Лагранжа первого рода, и рассматривая координаты каждой точки диск­ретного пространства (сетки) как независимые функции времени из мно­гообразия решений дифференциально-разностной схемы. Однород­ная схема, как объект группового анализа, в силу конечности шаблона связывает ограниченное количество преобразуемых функ­ций. При этом упрощается продолжение преобразований на раз­ностные производные. Такой подход позволяет проводить группо­вой анализ дифференциально-разностных схем, причем, в большинстве случаев, группы преобразований, относительно кото­рых схема должна быть инвариантна, известны. Так, для уравне­ний механики сплошной среды это – преобразования группы Гали­лея. Инфинитезимальный критерий инвариантности имеет простой вид и легко применяется на практике. А обобщение теоремы Нетер на случай дискретных моделей позволяет легко устанавливать вы­полнение схемой законов сохранения и их форму.

На этой основе в диссертации обобщена техника группового анализа приме­нительно к дифференциально-разностным схемам на косоугольных сетках механики сплош­ной среды. Основываясь на вариационной трактовке дифференци­ально-разностных схем, исследованы групповые свойства диск­ретных моделей и их связь с законами сохранения.

Рассмотрим группу гладких однопараметрических преобразо­ваний независимой переменной t и зависимых переменных qi:

Инфинитезимальный оператор этой группы X имеет вид



Вопрос о существовании законов сохранения дифференциально-разностных уравнений допускающих вариационную формулировку на, в общем случае косоугольных, сетках , сводится к задаче об инвариантности функционала с функцией Лагранжа относительно группы преобразований. Оператор группы , продолженный на переменные и разностные переменные , имеет вид



,

где разностный оператор по лагранжевым переменным, и



.

Чтобы придать условию инвариантности функционала инфини­тезимальный вид, продолжим оператор на независимую пере­менную . Инфинитезимальный критерий инвариантности вариационного функционала дифференциально-разностной схемы на косоугольных сетках относи­тельно группы имеет вид .

Введем следующие функции:

Теорема 1. Справедливо равенство

.

Назовем это равенство квадратурным тождеством Нетер.

Следующее обобщение теоремы Нетер дает достаточное усло­вие, при котором однопараметрической группе соответствует за­кон сохранения для дифференциально-разностных уравнений Эйле­ра-Лагранжа на конечной косоугольной сеточной области с границей .

Теорема 2. Пусть вариационный функционал инвариантен от­носительно однопараметрической группы Ли. Тогда соответствую­щие дифференциально-разностные уравнения допускают закон сох­ранения в форме

Отметим, что этот закон является аналогом соответствую­щего интегрального закона сохранения для дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа.

Теорема Нетер дает достаточное условие, при котором груп­пе преобразований соответствует закон сохранения. Ибраги­мов Н.Х. установил, что необходимым и достаточным условием являет­ся инвариантность экстремальных значений функционала действия. Аналогичный результат имеет место и для дифференциально-раз­ностных уравнений.

Теорема 3. Пусть дифференциально-разностные уравнения Эй­лера- Лагранжа на косоугольных сетках инвариантны относительно группы. Тогда для то­го, чтобы эти уравнения имели закон сохранения, необходимо и достаточно, чтобы на решениях уравнений вариационный функцио­нал был инвариантен относительно группы.

Приводятся результаты группового анализа законов сохранения двумерных дифференциально-разностных схем в пере­менных Лагранжа газовой динамики и несжимаемой жидкости. Метод группового анализа обобщен на трехмерные вариационные диффе­ренциально-разностные схемы в прямоугольной системе координат.


Четвертая глава. Внедрение принципов механики в теорию разностных схем дало толчок развитию методов конструирования разностных схем. Появившиеся в рамках этого направления методы построения разностных схем: метод связей – уравнений Лагранжа 1 рода, вариационно-разностный на основе уравнений Лагранжа 2 рода, опор­ных операторов, базисных операторов – позволяют, во многих случаях, строить пол­ностью консервативные разностные схемы.

Метод опорных операторов позволяет строить разностные операторы векторного и тензорного анализа, удовлетворяющие на сетке квадратурным тождествам, являющимися аналогами соответст­вующих интегральных соотношений – следствий формулы Гаусса-Острог­радского. Метод строит систему опор­ных операторов, исходя из определяющего оператора, который аппроксимируется непосредственно. Опорные операторы строятся путем последовательного разрешения рекуррентных соотношений, являющихся квадратурными уравнениями относительно опорных опе­раторов. Недостатком этой процедуры является ее привязанность к определяющему оператору. Изменение определяющего оператора (шаблон и коэффициенты) приводит к необходимости повторить процедуру построения разностных операций. Авторы метода построили раз­ностные схемы, в основном одно и двумерные, для многих процес­сов сплошной среды в прямоугольной, цилиндрической, сферичес­кой системах координат на различных косоугольных сетках. Но трудности построения таких схем в случае общих криволинейных систем координат, многомерность пространства, произвольные порядки аппроксимации, необходимость учета различных механизмов превращения энергий, ограничивают приме­нение этих методов. Эти трудности связаны с тем, что операторы векторного и тензорного анализа (опорные операторы) определя­ются через неявные квадратурные соотношения, которые разреша­ются методом неопределенных коэффициентов.

С целью преодоления трудностей метода опорных операторов, в диссертации ставится и решена задача яв­ного описания разностных операторов, для которых квадратурные соотношения метода опорных операторов являются следствием. Явное решение опорных операторов в произвольной криволинейной системе координат полу­чено автором в общем виде благодаря выявлению базисных квадратурных дискретных соотношений на неортогональных косоугольных плоских сетках

,

,

,

где – сетки типа узлов и ячеек, – сеточные функ­ции на этих сетках: . Произвольная криволинейная ортогональная система координат , связана с декартовой прямоугольной системой уравнениями . Предпо­лагаем наличие плоской симметрии, т. е. все функции не зависят от .

Метод базисных операций имеет иерархическую структуру: первоначально строится система дискретных операций для плоского случая. Далее, для осесимметричного дискретного пространства, достраиваются полная система дискретных операций векторного и тензорного анализа, включающая плоский случай как частный для осесимметричного параметра .

Общее решение этой задачи, в виде явных формализованных выражений для произвольных, ортогональных и неортогональных систем координат, для евклидовых и неевклидовых пространств и косоугольных сеток, произвольных порядков аппроксимации тензорных операций, в завершенном виде было получено диссертантом.

Векторы и тензоры в системе координат будем записывать через их физические состав­ляющие, которые обозначим . Здесь – физические ком­поненты вектора – орты координатных направлений, – физические составляющие тензора. Функции Ламе будем задавать на сетке узлов , , поэтому аппроксимируем элемент объема на сетке выражением . Объ­ем элемента сетки аппроксимируем выражением – аппроксимация функций на сетке . – аппроксимация величины на сетках .

Базисные соотношения связывают три типа согласованных аппрок­симаций: операторов первых производных , операторов типа дивергенции и градиента (аналогов оператора набла)



и операторов усреднения функций , где . Сужение класса аппроксимаций достигается за счет отказа от независимости базисных квадратурных соотношений. Из первого и второго базисных соотношений следует третье, при условии что



где . Возможны другие операторы усреднения функций.

Эти три типа сопряженных операторов позволяют записать в явном виде систему разностных операторов векторного и тензорного анализа (суммирование по повторяющемуся греческому индексу)




,

,

.





.























.

Эти дискретные операторы удовлетворяют квадратурным соотношениям метода опорных опе­раторов



Каждая из этих формул является следствием базисных соотношений (формул суммирования по частям). Разностные операторы из этого класса воспроизводят соот­ношения между операторами дивергенция тензора и градиент век­тора аналогичные дифференциальным. Для шарового тензора спра­ведливы равенства



.

Следствием этих равенств, для разностных уравнений механики сплошной среды, будет возможность предельного перехода от диссипативных сред к идеальным. Линейные дискретные операторы векторного и тензорного анализа воспроизводят многие свойства аппроксимируемых дифференциальных операторов, такие как сопряженность, самосопряженность, знакоопределенность, перестановочность, инвариантность и симметричность операторов, соленоидальность и безвихревость векторных полей.

Дальнейшее сужение класса базисных операторов происходит за счет связи между операторами разностных производных и опе­раторами типа дивергенции и градиента. Для этого выразим объем расчетной ячейки с участием операторов разностных производных. Oбозначим через Fi первообразную функции H1H2 относительно переменной qi, функции Ламе. Счи­тая, что задана на сетке ωh, определим аппроксимацию произведения на сетке Ωh формулой

.

Тем самым определен объем ячейки . Сумма объ­емов ячеек образующих односвязную область определяется коорди­натами узлов из окрестности границы этой области. Разностные операторы получим, исходя из закона изменения объема



.

Операторы имеют представление



,

.

Согласованные с ними операторы имеют вид





.

Порядок аппроксимация разностных операторов совпадает с порядком аппроксимации операторов .

При численном моделировании нестационарных процессов приходится учитывать зависимость разностных операторов векторного и тензорного анализа от дискретного времени. Аппроксими­руем производную по времени разностным соотношением номер временного слоя tn+1= tn+,, - шаг по времени. Аппроксимируем кинематическое соотноше­ние между физической компонентой вектора скорости wi частицы среды и ее соответствующей координатой qi формулой

.

Возьмем разностную производную по t от выражения объема ячей­ки. Основываясь на формуле



получаем явный вид операторов:




Здесь .

Функции аппроксимирующие функции , имеют вид





Согласованные операторы определяются формулами


Полученный в итоге класс дискретных операторов векторного и тензорного анализа записывается через формализованные представления разностных аппроксима­ций первых производных. Такая процедура вывода явных формул для опорных операторов названа в диссертации методом базисных операторов. Метод базисных операторов обобщен на случай осевой симметрии течений, на случай трех пространственных переменных, евклидовых и неевклидовых пространств, для систем криволинейных координат, как ортогональных, так и неортогональных.

Квадратурно-аппроксимацион­ным методом построены классы раз- ностных схем в криво­линейных системах координат, аппроксимирующие уравнения меха­ники сплошной среды в переменных Лагранжа. В криво- линейных сис­темах координат закон сохранения импульса может не вы- полнять­ся, что связано с разностным дифференцированием координатных ортов систе­мы. Проявляется это, как правило, для эйлеровых переменных.

Приведем разностную схему в переменных Лагранжа, которая имеет законы сохранения массы и энергии. Закон сохранения мас­сы расчетной ячейки, движущейся вместе со средой, может быть записан в виде



где – плотность, – объем ячейки. Запишем разностное урав­нение импульса в форме скалярных следствий



Скалярное уравнение энергии запишем в операторной форме . Свертывание двух тензоров определено в ортонормированном базисе, – тензор напряжений, –внутренняя энергия газа, параметры принимают значения от 0 до 1.

Таким образом, система скалярных уравнений массы, импуль­са и энергии, дополненная соответствующими начальными и гра­ничными условиями и уравнениями состояния, является разностной схемой численного моделирования процессов сплошной среды. Если интеграл по времени от функции не вычисляется, то для опреде­ления объема ячейки на каждом временном слое необходимо доба­вить уравнение изменения объема.

Из уравнений следуют законы сохранения массы, кинетичес­кой и полной энергии, для адиабатических течений газа имеет место энтропийная форма уравнения энергии. Следствием этих уравнений является баланс кинетической энергии, который при однородных граничных условиях имеет вид (см. стр.17)



.

Из этого энергетического тождества вытекает устойчивость линеаризованной разностной схемы и при наличии аппроксимации – сходимость схемы. Выполняется также закон сохранения полной энергии



.

Следующая из этой схемы в декартовой прямоугольной сис­теме, схема уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа, имеет те же законы сохранения, что и дифференциальная система, за исключением закона сохранения энтропии. Довольно неожидан­ным оказался факт, что дополнительные законы сохранения выпол­няются для идеального газа с уравнением состоя­ния, согласованным с разностной схемой. Преимущества таких схем, названными термодинамически согласован- ными, рассмотрены на примере одномерной разностной схемы газовой динамики в лаг­ранжевых массовых переменных. Преимущества заключа- ются в существенном снижении у численного решения энтропийного следа, а также более точном воспроизведении области ударного разрыва.

Граничные условия позволяют учитывать характерные осо­бенности поведения сплошной среды. Принцип однородности алго­ритма требует, чтобы поведение граничных узлов рассчитывалось по формулам, применяемым для внутренних узлов, т. е. единооб­разно. Пользуемся известным приемом введения вспомогательных узлов и ячеек, примыкающих к границе сетки. Для твердых и свободных границ вспомогательные узлы вводятся по ­разному. При граничных условиях, определяющих нормальную ком­поненту скорости, вспомогательные ячейки вводятся как зеркаль­ное отражение граничных ячеек в плоскости прямоугольных коор­динат q1, q2, давление во вспомогательных ячейках опреде­ляется из уравнения изменения нормальной компоненты вектора скорости (нормальной компоненты импульса). В случае задания на границе раздела давления вводим на ней вспомогательные уз­лы, координаты и скорости которых совпадают с координатами и скоростями соответствующих граничных узлов. В образовавшихся вспомогательных ячейках нулевого объема давление полагаем рав­ным приложенному. Такая реализация граничных условий позволяет проводить вычисления во внутренних и граничных узлах по одина­ковым формулам, что упрощает программную реализацию алгоритма.

Из анализа численных решений в диссертации установлена необходимость при аппроксимации сил внешнего воздействия учи­тывать потенциальный характер последних. В связи с этим возни­кает вопрос об аппроксимации потенциала во вспомогательных ячейках границы раздела. Из принципа минимума потенциальной энергии следует, что потенциал во вспомогательных ячейках гра­ницы раздела задается в середине отрезка прямой соединяющей соседние узлы границы раздела. В этом случае минимум потенци­альной энергии будет достигаться при плоской границе раздела независимо от расположения узлов сетки, и такое положение рав­новесия будет устойчивым.




Рис. 1. Развитие возмущений жидкости, частично запол­няющей сектор тора. Жирная линия разделяет твердые и свободную поверхности.
Приведем решение задачи о разви­тии течения идеальной несжимае-мой жидкости, частично запол­няющей сектор тора (ось симметрии - oz). Угол раствора сектора , радиус меридионального сечения 1, ра­диус окружности центров меридиональных сечений 2. В начальный момент жидкость покоится, занимает общую область, внешнюю для кругового цилиндра радиуса 2.5 с осью oz, и внутрен­нюю сектора тора. На жидкость действует постоянная сила, рав­ная орту внешней нормали к правой боковой грани сектора тора (на рис.1 - нижней). На свободной поверхности вводились вспомогательные ячейки нулевой толщины, давление в которых по­лагалось равным давлению на свободной границе. Число узлов расчетной сетки 288. На рис.1 приведена центральная проек­ция поверхностной сетки узлов на момент времени t=0.8. Шаг по времени 0.01. Выделенная кривая на переднем плане – линия трехфазного контакта (жидкость, газ, стенка). Это новый численный результат.
В пятой главе строится формализованная двумерная система разностных операций векторного и тензорного анализа произвольного порядка аппроксимации на нерегулярных сетках на поверхности, в произвольной криволинейной системе координат. Эта система разностных операций базируется на согласованных разностных производных по криволинейным координатам и формулах усреднения (операторы проектирования) сеточных функций.

Построен новый класс полностью консервативных дифференциально-разностных схем, аппроксимирующих нестационарные уравнения механики сплошной среды в произвольной системе координат на поверхности.

следующая страница >>


izumzum.ru