Методические указания по курсу «Идентификация и диагностика систем» для специальностей 220201 «Управление и информатика в технически - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Методы оптимизации: методические указания по выполнению самостоятельной... 1 245.92kb.
Пособие предназначено для студентов специальности 230105 Программное... 3 352.82kb.
Дневник стажировки терехина Артёма Алексеевича 1 125.86kb.
Справочный материал для оформления титульного листа курсовой работы... 1 181.94kb.
Учебно-методический комплекс по дисциплине « В. 6» «Технология разработки... 6 858.93kb.
Лекции 4, Установочные лекции 4, Лабораторные работы 8, Практические... 1 31.33kb.
Рабочая программа по курсу «Математический анализ» для специальности 7 583.24kb.
Рабочая программа для студентов специальности 090105. 65 «Комплексное... 1 216.78kb.
Информационное и программное обеспечение автоматизирован­ных систем 10 1266.97kb.
Современное программное обеспечение. Дополнительные возможности операционных... 1 301.21kb.
Методическая разработка к практическому занятию по курсу «Основы... 1 50.74kb.
Информационная карта проекта и специализации, планируемой к реализации... 1 20.59kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Методические указания по курсу «Идентификация и диагностика систем» для специальностей - страница №2/7

Основной принцип проверки статистических гипотез


Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – ее принимают. Критическими точками Ккр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Критическая область может быть правосторонней и левосторонней. Для правосторонней справедливо неравенство К>Ккр, где Ккр>0. Для левосторонней – К<Ккр, где Ккр<0. Левосторонняя и правосторонняя критические области являются односторонними. Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами К<К1, К>К2, где К21. В частном случае, когда критические точки симметричны относительно нуля, для двусторонней критической области имеют место неравенства К< -Ккр; К>Ккр.

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости и ищут критические точки исходя из следующих соотношений:



  • для правосторонней критической области



  • для левосторонней критической области



  • для двусторонней симметричной критической области



Практически значения Ккр находятся из таблиц распределения практической статистики по заданному уровню значимости  и известному числу степеней свободы статистики k.

Неотрицательный результат статистической проверки гипотез еще не означает, что гипотеза действительно верна и что высказанное нами предположение является единственным и наилучшим – ведь при проверке статистической гипотезы мы можем ошибиться. При этом ошибки могут быть двух видов.

1. Мы можем отвергнуть гипотезу, которая на самом деле верна, т.е. допустить ошибку первого рода. Эта ошибка определяется уровнем значимости .

2. Мы можем принять гипотезу, которая на самом деле не верна. Такая ошибка называется ошибкой второго рода. Чем выше уровень значимости, тем больше сомнений мы проявляем при принятии гипотезы, и тем меньше вероятность ошибки второго рода и наоборот. Действительно, если  = 0, то мы принимаем любую выдвинутую гипотезу, а в этом случае вероятность ошибки второго рода максимальна.

Таким образом, требования уменьшить ошибку первого и второго рода являются противоречивыми, и компромисс достигается соответствующим выбором критерия для проверки гипотез и уровня значимости.

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют законами распределения.

Рассмотрим коротко некоторые распределения, используемые в задачах проверки статистических гипотез.

1. Равномерное распределение вероятностей. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

График плотности равномерного распределения изображен на рисунке 1а.



а б

Рис. 1. График плотности:

а – равномерного распределения; б – нормального распределения

2. Нормальное распределение. Нормальное распределение описывается плотностью:



,

где – математическое ожидание;



– среднеквадратическое отклонение нормального распределения.

Достаточно знать эти два параметра, чтобы задать нормальное распределение. График плотности нормального распределения (рисунок 1б) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

3. Распределение Пирсона Х2. Пусть Хi, i = 1,2, ... ,n – нормальные независимые случайные величины, причем их математическое ожидание равно нулю, а  = 1. Тогда есть распределение по закону Х2 с числом степеней свободы n.

Плотность этого распределения:



где – гамма функция;

K – число степеней свободы.

Распределение Х2 определяется числом степеней свободы K, с увеличением которого распределение медленно приближается к нормальному (рисунок 2).



Рис. 2. График плотности распределения Пирсона Х2

4. Распределение Стьюдента. Пусть Z – нормальная случайная величина, причем М(Z) = 0, (z) = 1, а V – независимая от Z случайная величин, распределенная по закону Х2 с К степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение, которое называют t распределением Стьюдента с К степенями свободы. С возрастанием К распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

5. Распределение Фишера-Снедекора. Если U и V – независимые случайные величины, распределенные по закону Х2 со степенями свободы К1 и К2, то величина

имеет распределение, которое называют распределением Фишера-Снедекора со степенями свободы К1 и К2. Таким образом, F - распределение определяется двумя параметрами – числами степеней свободы.



2. ПРИМЕРЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

2.1 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих координат Xi и соответствующих им частот ni. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону.



Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости , проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, необходимо сделать следующее.

1. Вычислить выборочную среднюю



2. Вычислить выборочное среднее квадратическое отклонение



3. Вычислить теоретические частоты



,

где n – объем выборки, т.е. сумма всех частот;

h – шаг (разность между двумя соседними координатами);

Значения функции Y(U) приведены в приложении.

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) рассчитывают наблюдаемое значение критерия



б) по таблице критических точек распределения Х2 по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы К = S – 3 (S – число групп выборки) находят критическую точку Х2кр(,к) правосторонней критической области.

Если Х2набл < Х2кр – нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо. Если Х2набл > Х2кр – гипотезу отвергают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Замечание. Малочисленные частоты (ni<5) следует объединить, в этом случае соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Тогда при определении числа степеней свободы по формуле К = S – 3, следует в качестве S принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Пример. Пусть имеем вектор эмпирических частот n и вычисленный вектор теоретических частот np.

Объединяем малочисленные частоты, как показано на рисунке ниже:



В результате получим следующие вектора частот:




2.2 Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

По независимым выборкам, объемы которых n1 и n2, извлеченным из нормальных совокупностей, найдены исправленные выборочное дисперсии Sx2 и Sy2. Требуется сравнить эти дисперсии.



Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости Х проверить нулевую гипотезу Н0: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе Н1: D(X) > D(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия F (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей) по таблице критических точек распределения Фишера- Снедекора по заданному уровню значимости  и числам степеней свободы К1 = n1 - 1, К2 = n2 - 1 (К1 – число степеней свободы большей исправленной дисперсии), найти критическую точку Fкр(,К12).

Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Fнабл > Fкр – нулевую гипотезу отвергают.



Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н1: D(X) D(Y) критическую точку Fкр(/2,К12) ищут по уровню значимости, вдвое меньше заданного, и числам степеней свободы К1 и К21 – число степеней свободы большей дисперсии).

Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Fнабл > Fкр – нулевую гипотезу отвергают.


2.3 Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы

Обозначим через n и m объемы малых независимых выборок (n, m < 30), по которым найдены соответствуюшие выборочные средние x и y и исправленные выборочные дисперсии SX2 и SY2. Генеральные дисперсии, хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми.



Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н0: М(Х) = М(У) о равенстве математических ожиданий двух нормальных с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе Н1: М(Х)  М(У), необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия:

Затем по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы К=n+m-2 найти критическую точку tдвуст.кр.(,К).

Если Тнабл < tдвуст.кр.(,К) – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Тнабл > tдвуст.кр.(,К) – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе М(Х) > М(У) находят критическую точку tправост.кр.(,К) и числу степеней свободы К=n+m-2. Если Тнабл < tправост.кр.(,К) – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. В противном случае гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе М(Х) < М(У) находят вначале критическую точку tправост.кр. по правилу 2 и полагают tлевост.кр. = - tправост.кр.. Если Тнабл > - tправост.кр. – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
2.4 Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности

Задано эмпирическое распределение случайной величины Х в виде последовательности S интервалов xi+1 - xi и соответствующих им частот ni, причем ni = n, где n – объем выборки. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена равномерно.



Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении Х, необходимо выполнить следующее.

1. Оценить параметры a и b – концы интервала, в котором наблюдались возможные изменения Х. Обозначим оценки a и b через a* и b*.



,

2. Найти дифференциальную функцию предполагаемого распределения.



3. Найти теоретические частоты.



4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы К = S - 3, где S – число интервалов, на которые разбита выборка.


2.5 Проверка гипотезы об однородности двух выборок. Критерий Вилкоксона

Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности двух независимых выборок: Х12, ... ,Хn1 и У12, ... ,Уn2. Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к случайным величинам, распределения которых неизвестны, требуется лишь, чтобы величины были непрерывными. Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестные непрерывные функции распределения F1(X) и F2(X).

Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента функции распределения равны между собой. Н0: F1(X) = F2(X). Конкурирующими могут быть гипотезы Н1: F1(X)  F2(X), F1(X) > F2(X), F1(X) < F2(X).

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н0: F1(X) = F2(X) об однородности двух независимых выборок объемов n1 и n2 (n1<= n2) при конкурирующей гипотезе Н1: F1(X)  F2(X), необходимо выполнить следующие действия:

1. Расположить значения обеих выборок в возрастающем порядке в виде одного числового ряда. Пронумеровать все значения этой возрастающей числовой последовательности.

2. Найти наблюдаемое значение критерия Wнабл – сумму порядковых номеров значений первой выборки.

3. По таблице критических точек критерия Вилкоксона найти нижнюю критическую точку.



, где .

4. Найти верхнюю критическую точку по формуле:



Если Wнабл. < Wнижн.кр. или Wнабл. > Wверх.кр., нулевую гипотезу отвергают. Если Wнижн.кр.набл.< Wверх.кр. – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.



Замечание. Если несколько значений только одной выборки одинаковы, то в общем числовом ряду им приписывают обычные порядковые номера. Если же совпадают значения разных выборок, то всем им приписывают один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти значения до совпадения.

Пример. Пусть даны две независимые выборки: Х12, ... ,Хn1 и У12, ... ,Уn2.

Элементы первой выборки:



i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Xi

12

14

15

16

17

18

22

24

28

30

Элементы второй выборки:

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Yi

16

20

21

21

22

29

31

32

35

37

Расположим значения обеих выборок в возрастающем порядке в виде одного числового ряда.

На основе замечания одинаковым значениям одной выборки приписываем обычные порядковые номера (9, 10). Одинаковым значениям разных выборок – порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров (для 16 – 4 и 5; для 22 – 11 и 12).



1

2

3

4,5

6

7

8

9

10

11,5

13

14

15

16

17

18

19

20

12

14

15

16

17

18

20

21

21

22

24

28

29

30

31

32

35

37

ПРОГРАММА РАБОТЫ

  1. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона, используя статистические данные, приведенные в таблице 7. Номер варианта и уровень значимости  задается преподавателем.

  2. Проверить гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности по данным, приведенным в таблице 13.

  1. Проверить гипотезу о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей по критерию Фишера. При проверке гипотез использовать данные, приведенные в таблицах 7,8.

  1. Проверить гипотезу о равенстве двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых одинаковы и неизвестны. В качестве критерия использовать Т-критерий Стьюдента. Статистические данные приведены в таблицах 9,10.

  2. Проверить гипотезу об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона. Использовать данные, приведенные в таблицах 11,12.
<< предыдущая страница   следующая страница >>


izumzum.ru