Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Утверждаю

Декан АВТФ

__________________Гайворонский С.А.

«_______»___________________ 2008 г.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

( ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ )

Методические указания по курсу

для специальностей 220201 «Управление и информатика в технических системах» и 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

Томск 2008

УДК 519.24

Методические указания по курсу «Идентификация и диагностика систем» для студентов специальностей 220201 «Управление и информатика в технических системах» и 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» – Томск: Изд. ТПУ 2008. – 32 с.

Составители: Коновалов В.И.

Горбунова Е.А.

Дейнего Е.Р.
Рецензент: Кочегурова Е.А.

Методические указания обсуждены на заседании кафедры автоматики и компьютерных систем 2008 г.

Зав. кафедрой Г.П. Цапко


ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ( ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ )
Целью работы является изучение логической схемы проверки статистических гипотез, принципа значимости, односторонних и двусторонних критериев значимости и практическая проверка некоторых статистических гипотез.

1. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

Математическая статистика - раздел математики, изучающий методы обработки и классификации статистических данных для получения на их обосновании выводов. Простейшим примером статистических данных является последовательность конечного числа наблюдений некоторой случайной величины. При обработке статистических данных часто приходится сравнивать данные, полученные в результате разных экспериментов. При этом возникают вопросы: «Одинаковы ли их статистические характеристики, например дисперсия или математическое ожидание? По какому закону распределены случайные величины? Можно ли считать, что две выборки распределены по одному и тому же закону распределения?» На эти и подобные им вопросы можно получить ответ в результате статистической проверки гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза, проверяемая путем статистической обработки наблюдений за интересующим нас явлением. Так как проверка гипотезы осуществляется по выборке наблюдений, то задача проверки заключается в том, чтобы отсеять случайное, обусловленное влиянием случайностей эксперимента, от неслучайного, обусловленного механизмом явления, гипотеза о котором выдвигается. Статистические гипотезы проверяются на основе принципа значимости, который, в свою очередь, базируется на принципе практической невозможности. Последний заключается в том, что событие с малой вероятностью появления считается практически невозможным. Если же в результате опыта такое событие появилось, то это объясняется какими-то неслучайными причинами.

Предположим, что мы провели испытание, в результате которого появилось практически невозможное событие. Это событие привлекает наше внимание, становится для нас неслучайным, значимым. Использование принципа практической невозможности для доказательства неслучайного появления события с малой вероятностью и называется принципом значимости. При проверке статистических гипотез используется такое понятие, как уровень значимости. Уровнем значимости называют наибольшую вероятность появления события, которое мы считаем практически невозможным. Пусть, например, уровень значимости =0,05. Тогда событие, вероятность появления которого при одном испытании меньше или равна 0,05, будем считать практически невозможным. И, если в результате опыта такое событие все же появляется, будем считать его значимым. Наиболее употребительны уровни значимости 0,05; 0,02; 0,01; 0,001. Уровень значимости, выраженный в процентах, показывает, сколько раз в ста испытаниях мы рискуем ошибиться, объявив изучаемое событие неслучайным. Так, при =0,05 мы в 5-ти случаях из 100 можем ошибиться, объявив случайное событие неслучайным.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоположную ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. Выдвинутую гипотезу обычно называют нулевой или основной и обозначают Н0. Конкурирующей или альтернативной называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.

Рассмотрим логическую схему проверки статистических гипотез.

1. Выдвигают гипотезу, имеющую характер предположительного утверждения. Например: закон распределения случайной величины Х нормален и имеет параметры М_x и D_x.

Задача: проверить, не противоречит ли высказанная гипотеза имеющимся статистическим данным.

2. Выбирают определенный статистический критерий для проверки гипотезы, т.е. формируют определенную случайную величину К, которая может быть подсчитана по элементам выборки, т.е. К = Y (X₁,X₂, ... , X_N ). Значение критерия К, вычисленное по статистическим данным, называют наблюдаемым. Обычно в качестве критерия выбирают такую случайную величину, распределение которой хорошо изучено и затабулировано. Величина К называется также критической статистикой выборки.

3. Выбирают определенный уровень значимости . Обычно  = 0,05; 0,025; 0,01; 0,001.

4. После выбора определенного критерия множество всех его значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая – при которых она принимается.

5. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, а областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.