Методические указания к выполнению контрольных работ - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Методические указания по выполнению практических работ для студентов... 1 170.1kb.
Методические указания к выполнению лабораторных и курсовых работ... 5 700.39kb.
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов... 1 73.91kb.
Базы данных в документоведении 1 117.04kb.
Методические указания по выполнению лабораторных работ адсорбционная... 1 173.96kb.
Методические указания для написания контрольных работ студентами... 2 506.45kb.
Учебно-методические указания к выполнению практических работ и рабочие... 2 211.31kb.
Методические указания для контрольных работ №1 и 2 «Вычислительная... 5 386.79kb.
Методические указания по выполнению технико-экономического обоснования... 1 30.55kb.
Методические указания по выполнению контрольной работы для направлений... 1 138.13kb.
Методические указания к выполнению экономической части дипломного... 1 335.64kb.
Рассказ «механик салерно» Урок литературы в 5 классе по программе Р. 1 43.74kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Методические указания к выполнению контрольных работ - страница №1/1




Методические указания к выполнению контрольных работ.

Ниже приведены образцы решения некоторых типичных задач для подготовки к контрольным работам, а также задания для самостоятельного решения.



ЗАДАЧА №1. Для кривой, заданной параметрически, найти:

  1. Векторы сопровождающего трехгранника в точке t = t0;

  2. Плоскости и прямые сопровождающего трехгранника в точке t = t0;

  3. Касательные прямые, параллельные координатным плоскостям;

  4. Соприкасающиеся плоскости, перпендикулярные координатным осям;

  5. Кривизну и кручение кривой в точке t = t0.



Вариант

x(t)

y(t)

z(t)

t0

















t

0



















1



















0



















1

















2t

0



















1



















0



















1



















0



















1

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №1.

Кривая задана параметрическими уравнениями:






(1)

ЗАМЕЧАНИЕ. Все вычисления будут проведены в системе компьютерной математики Mathcat. Поэтому в некоторых вычислениях математическая символика будет несколько отличаться от общепринятой. Но для человека, знакомого с «азами» высшей математики и некоторыми системами компьютерной математики не составит большого труда понима­ние нижеприведенного текста.

Проверим является ли параметризация кривой естественной. Для этого найдем длину вектора . Вычислим производные функций (1):












(2)

Тогда длина вектора равна:



Мы видим, что длина этого вектора не равна единице. Стало быть, параметризация кривой не является естественной.



  1. Найдем векторы подвижного трехгранника кривой. Они находятся по формулам:








(3)

Вычислим вторые производные функций (1):











(4)

Вектор имеет координаты , а вектор Их векторное произведение равно:





(5)

Вектор равен

Найдем длины этих векторов:











(6)

Тогда векторы сопровождающего трехгранника кривой (1) в точке t0 имеют коор­динаты:





(7)





  1. Составим уравнения прямых подвижного трехгранника в точке t = t0.

Уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , записываются следующим образом:





(8)

Вектор имеет координаты

Направляющим вектором касательной прямой в точке является вектор , главной нормали – вектор , а бинормали - То­гда с учетом (8) уравнения касательной прямой, главной нормали и бинормали в точке имеют соответственно вид:











(9)


Составим уравнения плоскостей подвижного трехгранника в точке t = t0.

Уравнения плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной век­тору , записывается следующим образом:







(10)

Нормальным вектором нормальной плоскости в точке является вектор , спрямляющей плоскости – вектор , а соприкасающейся плоскости - Тогда с учетом (10) уравнения нормальной, спрямляющей и соприкасаю­щейся плоскостей в точке имеют соответственно вид:









(11)

3. Условие параллельности прямой с направляющим вектором и плоскости с

нормальным вектором имеет вид:







(12)

С учетом последней формулы получим условие параллельности для касательной прямой, имеющей направляющим вектором вектор , и координатной плоскости YOZ, нормальным вектором для которой может служить вектор с координатами (1,0,0):







(13)

Решая последнее уравнение относительно t, получим Таким образом, существует бесконечно много точек, в которых касательная прямая к кривой (1) парал­лельна плоскости YOZ. Для одной из таких точек уравнение касательной состав­лено в пункте 2.

Получим также условие параллельности для касательной прямой, имеющей направ­ляющим вектором вектор , и координатной плоскости XOY, нормальным вектором для которой может служить вектор с координатами (0,0,1):






(14)

Решая последнее уравнение относительно t, получим Эти точки явля­ются особыми точками для кривой (1), поскольку В этих точках каса­тельной прямой не существует.

Теперь не составляет труда решить аналогичный вопрос для плоскости XOZ.
4. Найдем нормальный вектор соприкасающейся плоскости. Этим вектором может

служить вектор Его координаты равны:









(15)

Для того, чтобы соприкасающаяся плоскость была перпендикулярна одной из ко­ординатных осей необходимо и достаточно, чтобы две из координат вектора (15) были равны нулю, а третья координата была бы отлична от нуля.. Найдем значения t, при кото­рых каждая из координат обращается в ноль.

Первая координата вектора (15) обращается в ноль при , вторая - при , тре­тья – при .

Как отмечено выше точки являются особыми точками кривой, в ко­торых трехгранника Френе (подвижного трехгранника) не существует. Вычислим коор­динаты вектора в точках, полученных выше, при этом вычисления проведем для в силу периодичности функций:

































(16)
























ЗАМЕЧАНИЕ. Для некоторых векторов в (16) не выписаны численные значения координат в силу их громоздкости.

Из (16) видно, что не существует точек на кривой (1), в которых соприкасающаяся плоскость была бы перпендикулярна координатным осям.

5.Кривизна и кручение кривой вычисляются по формулам соответственно:









(17)









(18)

Вычислим третьи производные функций (1) и их численное значение в точке :















(19)

С учетом формул (17) – (19) в точке имеем:






(17)









(18)

ЗАМЕЧАНИЕ. Построим кривую (1) с помощью системы компьютерной математики Mathcat. На графике видно, что кривая имеет особые точки. Построение такого графика «вручную» вряд ли возможно.




ЗАДАЧА № 2. Для поверхности, заданной параметрически, найти:



  1. Единичный вектор нормали в точке (u = u0, v = v0);

  2. Уравнение касательной плоскости и нормали в точке (u = u0, v = v0);

  3. Объем тетраэдра, образуемого касательной плоскостью в точке (u = u0, v = v0) к дан­ной поверхности и плоскостями координат;

  4. Нормали, параллельные координатным плоскостям;

  5. Первую квадратичную форму поверхности;

  6. Вторую квадратичную форму поверхности;

  7. Угол между координатными линиями поверхности в точке (u = u0, v = v0);

  8. Гауссову и среднюю кривизну поверхности;

  9. Эллиптические, гиперболические и параболические точки на данной поверхности.




Вариант

x(u,v)

y(u,v)

z(u,v)

u0

v0









1

0









1

1









1

1





















0











0











1











1

0









1

1









1

1





















0











0











1











1

1









1

1





















0











0











1


ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №2.


Поверхность задана параметрическими уравнениями:






(19)

ЗАМЕЧАНИЕ. Все вычисления будут проведены в системе компьютерной математики Mathcat. Поэтому в некоторых вычислениях математическая символика будет несколько отличаться от общепринятой. Но для человека, знакомого с «азами» высшей математики и некоторыми системами компьютерной математики не составит большого труда понима­ние нижеприведенного текста.

Найдем векторы








(20)


1. Единичный вектор нормали к поверхности (19) находится по формуле:








(21)

и в текущей точке поверхности имеет координаты:






(22)

В точке единичный вектор нормали имеет координаты:





(23)

2. Составим уравнения касательной плоскости и нормали поверхности (19) в точке .

Уравнения плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , записывается следующим образом:







(24)

Вектор имеет координаты Нормальным вектором касательной плоскости к поверхности (19) в точке является вектор Тогда с учетом (24) это уравнение будет иметь вид:







(25)

Уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляю­щий вектор , записываются следующим образом:





(26)

Вектор имеет координаты Направляющим вектором нормали к поверхности (19) в точке является вектор Тогда с учетом (26) это уравнение будет иметь вид:







(27)

3. Поскольку касательная плоскость (25) параллельна оси ординат, то тетраэдра, образо­ванного касательной плоскостью в точке (u = u0, v = v0) к поверхности (19) и плоско­стями координат не существует.
4. Условие параллельности прямой с направляющим вектором и плоскости с

нормальным вектором имеет вид:







(28)

С учетом последней формулы получим условие параллельности для нормальной прямой, имеющей направляющим вектором вектор , и координатной плоско­сти YOZ, нормальным вектором для которой может служить вектор с координа­тами (1,0,0):







(29)

Решая последнее уравнение относительно u и v, получим u – любое действительное число, Таким образом, существует бесконечно много точек, в кото­рых нормальная прямая к поверхности (19) параллельна плоскости YOZ. Составим урав­нение нормальной прямой в одной из таких точек, например, в точке с внутренними ко­ординатами (u = u0, v = ).

Вектор имеет координаты Направляющим вектором нор­мали к поверхности (19) в точке (u = u0, v = ) является вектор Тогда с учетом (26) это уравнение будет иметь вид:






(30)

Теперь не составляет труда решить аналогичный вопрос для плоскостей XOZ и XOY.
5.Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности вычисляются по формулам:







(31)

Тогда первая квадратичная форма поверхности (19) имеет вид:








(32)


6.Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности вычисляются по формулам:









(33)

Тогда вторая квадратичная форма поверхности (19) имеет вид:







(34)

7. Угол между координатными линиями в точке (u = u0, v = v0) равен:








(35)

Учитывая формулы (32) и (35), получаем, что координатные линии поверхности (19) в любой точке ортогональны.
8. Гауссова кривизна поверхности находится по следующей формуле:






(36)

а средняя кривизна вычисляется следующим образом:






(37)

С учетом формул (32), (34), (36), (37) получаем для поверхности (19):






(38)

9. Так как гауссова кривизна поверхности в любой точке отрицательна (следует из (38)), поверхность целиком состоит из гиперболических точек.
ЗАМЕЧАНИЕ. Построим поверхность (19) с помощью системы компьютерной матема­тики Mathcat. Рассматривая рисунок, можно сделать предположение, что поверхность (19) – однополостный гиперболоид вращения. Это можно получить и аналитически:






(39)