Математизация науки. “Чистая” и “прикладная” математика. Основные периоды развития математики - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Бакалавр прикладной математики и информатики подготовлен преимущественно... 1 25.06kb.
«Основные этапы развития политологии» исторически определенные периоды... 3 471.76kb.
Непрерывная математика Дискретная математика 3 1314.78kb.
Математика, системного программиста по специальности 010200 Прикладная... 1 528.16kb.
Программа составлена доктором физ мат наук Поповой С. Н. Основные... 1 18.64kb.
Н. Н. Бутакова. Аналитическая динамика 1 125.06kb.
Семинар «Античная мифология» Периоды развития древнегреческой мифологии... 1 8.51kb.
I. вехи: периоды, темы и личности христианского богословия 18 7236.05kb.
«Математика и физика вокруг нас» 1 31.07kb.
Вопросы к экзамену по дисциплине " Прикладная математика " 1 42.61kb.
Программа для вступительного испытания "Математика и информатика"... 1 69.09kb.
Европейская экономическая комиссия 41 7448.82kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Математизация науки. “Чистая” и “прикладная” математика. Основные периоды развития - страница №1/3


  1. Математизация науки. “Чистая” и “прикладная” математика. Основные периоды развития математики.

Прикладная математика отличается от чистой тем, что она применяется непосредственно на практике. Более строго, прикладная математика — область математики, рассматривающая применение математического знания в других сферах деятельности.


Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:


    • Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;

    • Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);

    • Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;

    • Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».




  1. Выдающиеся отечественные учёные 20-го века в области математики и информатики.

Андрей Николаевич Колмогоров — один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений.


Лев Семёнович Понтрягин. В топологии открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления — создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит т. н. принцип максимума Понтрягина (см. Оптимальное управление); имеет фундаментальные результаты по дифференциальным играм. Работы школы Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всём мире.
А. Н. Тихонов. Первые работы Андрея Николаевича, сделанные в студенческие годы, посвящены топологии и функциональному анализу. В частности Тихоновым в 1926 году было введено понятие произведения топологических пространств — так называемое «тихоновское произведение», доказаны теоремы о бикомпактности произведения бикомпактных пространств и о существовании неподвижной точки при непрерывных отображениях в топологических пространствах.
Фундаментальные результаты были получены им в области математической физики, теоретической геофизики, моделирования физико-химических процессов. А. Н. Тихоновым доказаны теоремы единственности для уравнения теплопроводности, изучены функциональные уравнения типа Вольтерра (1938).
В 1948 г. по распоряжению правительства А. Н. Тихонов организовал Вычислительную Лабораторию для расчёта процесса взрыва атомной бомбы. Он также выполнил фундаментальные исследования по разработке теории и методике применения электромагнитных полей для изучения внутреннего строения земной коры (1950).
А. Н. Тихонов — основоположник крупного направления в асимптотическом анализе — теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной.
Под руководством Тихонова созданы алгоритмы решения многих прикладных задач. В 1956—1963 годах совместно с Александром Андреевичем Самарским развита теория однородных разностных схем .
Работа над проблемами поиска полезных ископаемых привела А. Н. Тихонова к концепции обратных и некорректных задач, к разработке методов регуляризации, тем самым к созданию крупного научного направления, получившего мировое признание. Введённое Тихоновым понятие регуляризации позволило разработать методы решения некорректных задач. Это научное направление он развивал на протяжении всей жизни.


  1. Главные достижения и основные черты математики Древнего Египта.

Использовалась десятичная иероглифическая система счисления. Каждая десятичная единица более высокого разряда обозначалась своим иероглифом, очень похожа на римскую систему счисления.

На этой системе египтянами построена довольно сложная арифметика. Умножение здесь сводится к повторным сложениям. Замечательной чертой является действие с дробями. Все дроби сводятся к суммам основных дробей 1/n и некоторых индивидуальных, например, 2/3, 3/4. Это делается на основе таблиц разложения дробей вида 2/n (n = 3-101). Египтяне знали площадь треугольника - половина произведения основания на высоту, объем параллелепипеда, кругового цилиндра. Замечательный результат - объем усеченной пирамиды с квадратным основанием где а, b - длины сторон квадратов, h - высота. Площади круга диаметра d вычислялась как что дает для p значение 3.1605.


  1. Главные достижения и основные черты математики Древнего Вавилона.

Математика в древнем Вавилоне была на более высоком уровне чем в Египте. Вавилоняне имели более прогрессивную позиционную 60-ричную систему счисления. Такая система имеет огромное преимущество при вычислениях по сравнению с римскими цифрами. Однако эта система не имела нуля, что приводило к некоторой неопределенности, и точное истолкование записи надо было извлекать из контекста.

Шестидесятиричная система и позиционность оказались достоянием человечества. Современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к Вавилону. Это же относится к делению окружности на 3600 , градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд. Что касается авторства позиционности системы, то здесь не все ясно. Возможно это изобретение Индии, где десятичная позиционная система с нулем появилась около 500 года до н.э.

В Вавилоне владели техникой решения квадратных уравнений, тогда как египтянам были известны лишь линейные. Решали также задачи, сводящиеся к кубическим и биквадратным уравнениям. Такие задачи они формулировали только для определенных числовых значений коэффициентов. Ван дер Варден в книге “Пробуждающаяся наука” указывает, что вавилоняне умели решать следующие 10 видов уравнений и систем:

Уравнения

,

Системы


,

Кроме того они умели находить сумму арифметической прогрессии и суммы других видов, например,



Геометрические знания были выше египетских, уже встречаются некоторые тригонометрические соотношения. Площадь круга вычислялась по формуле S = , где c - длина окружности; отсюда p = 3. Есть основания полагать, что в Вавилоне была известна теорема Пифагора.





  1. Главные достижения и основные черты математики Древней Греции. Переход в математике от вопроса “как?” к вопросу “почему?”.

Характерной чертой греческой математики в отличие от Египта и стран Востока является стремление доказывать математические факты. Родоначальником греческой математики считается Фалес (625 - 547 г. до н.э.). Ему приписывают доказательства ряда математических результатов : диаметр делит круг пополам, углы при основании равнобедренного треугольника равны и многое другое. Греки сумели в течение одного - двух столетий овладеть математическим наследием предшественников, которое накапливалось тысячелетиями, и по-новому его осмыслить.

В математике этого периода практические задачи, связанные с вычислениями, геометрическими измерениями и построениями, продолжали играть большую роль. Эти задачи постепенно выделились в отдельную область математики, названную логистикой. Она включала операции с целыми числами и дробями, решение задач, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени, практические задачи архитектуры, земледелия и т.п.

В то же время уже в школе Пифагора (580 - 500 г. до н.э.) начинается процесс накопления и систематизации абстрактных математических фактов. Пифагорийцы не признавали прикладного характера математики. Будучи аристократами они считали, что решение практических задач - удел лишь низших сословий.

Пифагорийцами была построена значительная часть планиметрии прямолинейных фигур, доказана теорема Пифагора ( она получила имя основателя греческой школы, хотя была известна значительно раньше в Вавилоне). Был найден способ отыскания целых пифагоровых чисел, удовлетворяющих соотношению : для нечетных n они имеют вид

.

Для четных n пифагоровы числа были получены позже в Академии знаменитого греческого философа Платона (427 - 347 г до н.э.) и равны



Из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел - все, что относится к общим свойствам операций с натуральными числами. Целые числа представлялись основополагающими универсальными объектами, к операциям с которыми должны сводится и все математические построения, и вообще все многообразие явлений действительности. “Все есть число и все из чисел” - руководящий принцип пифагорийцев. Из этого принципа следовало, что отношения между любыми количествами должны быть отношениями целых чисел (т.е. рациональными числами в современной терминологии).

Этому обожествлению целых чисел был нанесен сокрушительный удар самими же пифагорийцами. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне ( равное ) не является рациональным числом, т.е. отношением целых чисел. Этот факт был доказан путем сведения к противоречию. Действительно, пусть где p и q - взаимно простые. Тогда и p - четное, а, значит, q - нечетное. Но из того, что следует , т.е. , а следовательно и q четные.

Это был, по сути, первый кризис в математике. В то время еще не было предпосылок разрешить его, расширив понятие числа вводом иррациональностей. Осознав, что совокупность геометрических величин более полна, чем множество рациональных чисел, греки создали исчисление в геометрической форме. Новое исчисление получило в литературе название геометрической алгебры.

В греческой математике возникла еще одна трудность, связанная с понятием бесконечности. Математики понимали, что за целым числом N следует целое число N+1, затем N+2 и так далее до бесконечности. К бесконечным процессам приводил и метод исчерпывания (предела), о котором речь будет идти ниже. Эта концепция была важным достижением, однако противоречила всем имеющимся тогда данным физики и философским воззрениям о конечности Вселенной. Она открывала новые широкие возможности в математике, но приводила к парадоксам. Смысл понятия бесконечности и до сих пор не раскрыт до конца, однако в течение веков на многие вопросы, возникающие в связи с этим понятием получен ответ.

Еще одна трудность связана с тем, что греки не знали отрицательных чисел. Они имели дело с отрицательными числами только в терминах алгебраических выражений для площадей квадратов и прямоугольников, например, . Отрицательные числа впервые использовались, по видимому, китайцами, однако окончательно вошли в математику после работ Кардано в 1545 году.


к геометрической алгебре греков. Первичными элементами ее являются отрезки прямой. С ними определены все операции исчисления. Возникающие при этом геометрические построения осуществляются циркулем и линейкой без делений. В геометрической алгебре сложение это приставление отрезков, вычитание - отбрасывание от отрезка части, равной вычитаемому отрезку. Результатом умножения принимается прямоугольник со сторонами a и b, равными перемножаемым отрезкам. Произведение трех отрезков дает параллелепипед. Произведение большего числа отрезков, естественно, не рассматривается. Деление наиболее сложная операция и возможно только, если размерность делимого больше размерности делителя, x=ab/c. Оно интерпретировалось задачей приложения площадей: приложить к отрезку c прямоугольник, равновеликий данному ab. Задача решается так (рис. 2.1). Построим прямоугольник bc.
Проведем диагональ в bc и продолжим ее до пересечения с продолжением отрезка b. Прямоугольники ab и cx равновелики: ab=cx и х=ab/c.

Геометрическими построениями можно интерпретировать алгебраические формулы. Например, рис. 2.2 выражает тождество .

Метод приложения площадей использовался для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Примерами таких задач являются: определение сторон правильных вписанных многоугольников; “золотое сечение” отрезка, т.е. деление отрезка a на части x и a-x, удовлетворяющих соотношению a/x=x/(a-x); построение среднего арифметического а/x=x/b и др.

Решение этого класса задач проводилось с помощью единого канонического метода, имеющего несколько разновидностей в зависимости от вида квадратного уравнения.


Созданному греками геометрическому исчислению свойственны, помимо неудобства, и более существенные недостатки. Довольно скоро выяснилось, что существует класс задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки. К ним относятся три знаменитые задачи древности:

- задача о трисекции угла, т.е. разделение произвольного угла на три равных части;

- задача об удвоении куба, т.е. определение ребра куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба;

- задача о квадратуре круга, т.е. нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади заданного круга.

Попытки решить эти задачи методами геометрической алгебры приводили к тому, что полученные решения оказывались или неверными или приближенными. Последние безусловно имеют ценность, но не являются точными решениями. Эти задачи стимулировали развитие математики. С ними связано развитие конических сечений, открыты некоторые кривые 3-го и 4-го порядков, кривая, получившая название квадратрисы.



  1. Начала” Евклида

“Начала” состоят из 13 книг. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. В 5-ой и 6-ой книгах изложена теория отношений Евдокса и применена к подобию треугольников. Книги 7-9 посвящены теории чисел (теория делимости, алгоритм Евклида, теория простых чисел). В 10-й книге дана геометрическая классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей, т.е. чисел вида . В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. Изложение завершается изучением правильных многогранников: тетраэдра(4 грани), куба (6), октаэдра (8), додэкаэдра (12) и икосаэдра (20). Доказывается, что их только пять. Они получили название платоновых тел и имели основополагаюшее значенние в космологии школы Платона.

Таким образом, в “Началах” систематизированы и строго изложены результаты, полученные математикой к III веку до н.э., включающие три важнейших открытия математики древности: теорию отношений Евдокса, теорию иррациональных Теэтета и теорию пяти правильных тел.

Остановимся специально на аксиоматике “Начал”. Греки уже владели несколькими явными и несомненными истинами окружающего мира, такими как :две точки определяют прямую, прямую можно продолжить неограниченно в обе стороны, прямые углы равны, если к равным прибавить равные, получим снова равные. Эти аксиомы вошли в число аксиом и постулатов “Начал”, из которых Евклид вывел около 500 теорем. Особое место занимает аксиома о параллельных, согласно которой через точку вне заданной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную ей. Эта аксиома не поддается проверке опытом. Многие ученые делали попытку доказать ее как теорему, исходя из остальных девяти аксиом Евклида, но безуспешно. Лишь в XIX веке это утверждение было окончательно признано аксиомой.


  1. Математика Ближнего Востока (IX-XV в.).

Математика Востока, в отличие от греческой, всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия и астрология, механика, оптика.


В IX веке жил Аль-Хорезми — сын зороастрийского жреца, прозванный за это аль-Маджуси (маг). Изучив индийские и греческие знания, он написал книгу «Об индийском счёте», способствовавший популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово «алгоритм» (впервые в близком смысле использовано Лейбницем). Другое сочинение аль-Хорезми, «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин «алгебра».
В отличие от индийцев, исламские математики уделяли много внимания не только алгебре, но также геометрии и тригонометрии (в основном для астрономических приложений). Ат-Туси (XIII век) и Аль-Каши (XV век) опубликовали выдающиеся достижения в этих областях.
В целом можно сказать, что математикам стран ислама в ряде случаев удалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокий теоретический уровень, сравнимый с греческим, и тем самым расширить их мощь. Хотя этим синтезом дело в большинстве случаев и ограничилось. Многие математики виртуозно владели классическими методами, однако новых результатов получено немного.
Аль-Хорезми: возникновение рецептов в виде алгоритмов. Алгебраический трактат. Решение различных квадратных уравнений с положительными коэффициентами (достигается перебрасыванием в соответствующую часть для смены знака). Написал трактат об индийских числах, работал в десятичной и шестидесятеричной системах счисления.
Омар Хайям (1043--1123): поэт-математик. "Алгебра - наука об уравнениях". Пытался искать решения уравнений третьей степени в виде общих точек конических сечений. Делал попытки доказать пятый постулат Евклида.
Насиред-дин: построил первую систему плоской и сферической тригонометрии. Тоже пытался доказать пятый постулат.
Улугбек (1394--1449), правитель Самарканда. Много внимания уделял науке. Построил в Самарканде обсерваторию и медресе (университет). Составил таблицу синусов (точнее, хорд) с точностью до девятого знака и с шагом в одну минуту.
Аль-Каши (XIII в.). Итерационные решения уравнений 2 степени. Вычислил 17 знаков \pi, построив правильный 3*2^28-угольник.


  1. Первые инструменты для счёта – абаки.

Аба́к — счётная доска, применявшаяся для арифметических вычислений приблизительно с IV века до н. э. в Древней Греции, Древнем Риме.

Реконструкция римского абака
Доска абака была разделена линиями на полосы, счёт осуществлялся с помощью размещённых на полосах камней или других подобных предметов.
Впервые появился, вероятно, в Древнем Вавилоне ок. 3 тыс. до н. э. Первоначально представлял собой доску, разграфлённую на полосы или со сделанными углублениями. Счётные марки (камешки, косточки) передвигались по линиям или углублениям. В 5 в. до н. э. в Египте вместо линий и углублений стали использовать палочки и проволоку с нанизанными камешками.
В Европе абак применялся до XVIII века. В Средние века сторонники производства арифметических вычислений исключительно при помощи абака — абацисты — в течение нескольких столетий вели ожесточённую борьбу с алгоритмиками — приверженцами возникших тогда методов алгоритмизации арифметических действий.
В России счёты (аналог абака) появились в XVI веке и применяются до сих пор, хотя в последнее время их использование ограничено широким распространением калькуляторов.
Ацтекские счёты возникли приблизительно в X веке и изготавливались из зёрен кукурузы, нанизанных на струны, установленные в деревянной раме.
В странах Востока распространены китайский аналог абака — суаньпань и японский — соробан.


  1. Логарифмы, логарифмическая шкала, логарифмические линейки. Непер, Гюнтер, Отред, Деламейн, Уатт, Ньютон.

Важным усовершенствованием техники вычислений было изобретение логарифмов, которые позволили свести к сложению не только умножение и деление, но и такие громоздкие операции как возведение в степень и извлечение корня. Логарифмам предшествовала идея сравнения геометрической и арифметической прогрессий, также с целью сведения операций к более простым. Действительно, возьмем две последовательности

а) ..., q-1, q0, q1, q2, ...

б) ..., -1, 0, 1, 2, ...

Умножению членов последовательности а) соответствует сложение соответствующих членов последовательности б). На современном математическом языке эти последовательности задают функцию или . Но в те времена еще не знали показательной и логарифмической функции; они были введены лишь в XVIII веке Эйлером. Очевидно, если , то
Первые логарифмические таблицы были составлены швейцарцем Бюрги. Он работал в пражской астрономической обсерватории вместе с Кеплером, помогая ему в наблюдениях и вычислениях. Толчком для исследований Бюрги послужили опубликованные Стевином в конце XVI века таблицы сложных процентов. Отсюда появилось у Бюрги основание логарифмов . Странно, что он не воспользовался при составлении таблиц десятичными дробями, которые применял Стевин, что усложнило его работу. Над таблицами логарифмов Бюрги трудился 8 лет, с 1603 по 1611 годы. Он их долго не публиковал и сделал это только в 1620 году благодаря настойчивым просьбам Кеплера. Это стоило Бюрги приоритета в изобретении логарифмов.

Изобретателем логарифмов считается шотландский математик барон Непер, опубликовавший в 1614 году в Англии книгу “Описание удивительных таблиц логарифмов”. Неперу принадлежит и сам термин “логарифм”. Книга Непера содержала 8-значные таблицы логарифмов тригонометрических функций для значений аргумента от до через . Непер исходил из двух последовательностей, из которых одна возрастает в арифметической прогрессии, а другая убывает в геометрической, что соответствует формуле



или ,

т.е. неперовские логарифмы имеют основание 1/е. Коэффициент введен с целью оперировать при составлении тригонометрических таблиц с целыми числами, так как десятичные дроби только еще входили в практику. Следовательно, и . Очевидно, когда , то получаем а не . Это усложняло пользование логарифмами и не удовлетворяло Непера. Непер и английский математик Бригг пришли к идее десятичной системы логарифмов, основанной на последовательностях а), б) при q=10. После смерти Непера Бригг в 1624 году опубликовал книгу “Логарифмическая арифметика”, содержавшую десятичные “бригговы” логарифмы с четырнадцатью знаками для целых чисел от 1 до 20.000 и от 90.000 до 100.000. Пробел был заполнен в 1627 году, когда голландец Влакк издал 10-значные таблицы логарифмов целых чисел от 1 до 10. В 1620 году англичанин Спейдель разработал таблицы натуральных логарифмов.

Таблицы логарифмов быстро распространялись по всему миру и сделались незаменимым средством вычислений.

На шкале в логарифмическом масштабе длина отрезка шкалы пропорциональна логарифму отношения величин отмеченных на концах этого отрезка (в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах).


Наглядный пример употребления и полезности логарифмического масштаба — логарифмическая линейка которая позволяет проводить довольно сложные вычисления с точностью два-три десятичных знака.
Логарифмическая шкала исключительно удобна для отображения очень больших диапазонов значений величин. Кроме того, для многих органов чувств величина ощущения пропорциональна логарифму воздействия. Например, в музыке ноты, различающиеся по частоте в два раза, воспринимаются как одна и та же нота, а интервал между нотами в полтона соответствует отношению их частот 21/12. Поэтому нотная шкала — логарифмическая. Кроме того, согласно закону Вебера — Фехнера, воспринимаемая громкость звука также пропорциональна логарифму его интенсивности (в частности, логарифму мощности колонок). Поэтому на амплитудно-частотных характеристиках звуковоспроизводящих устройств применяют логарифмический масштаб по обеим осям.


  1. Открытия математики эпохи возрождения. Кардано, Тарталья, Сципион дель Ферро и др.

Важным событием, повлиявшим на процесс возрождения науки в Европе, была организация, начиная с XI века, учебных заведений. Одна из первых школ была создана в X веке во Франции ученым монахом Гербертом, будущим римским папой Сильвестром II. В школе обучали в основном технике счета. Начиная с XII века в Европе возникают университеты, вначале в Италии (в Болонье и Салерно), затем в Оксфорде и Париже (1167г.), Кембридже (1209г.), Неаполе (1224г.) и других городах. Первые университеты способствовали распространению знаний среди населения. Изучаемые дисциплины включали в себя и математику.


Период XV, XVI веков, называемый Возрождением, характеризуется существенными сдвигами во всех областях общественной деятельности: промышленности, технике, науке и искусстве. Именно в этот период европейская математика превзошла, наконец, достижения ученых Греции и арабского мира. Это было сделано в области алгебры, когда было получено общее алгебраическое решение кубических уравнений, тогда как греческие и восточные ученые решали лишь частные численные уравнения 3-й степени. Такая теория была создана в Болонском университете, который в конце XV века был самым крупным и известным университетом Европы. Он пользовался огромной популярностью. Студентом Болонского университета был, в частности, Коперник.

Первые результаты были получены профессором Болонского университета Ферро. Уравнения третьей степени можно свести к трем типам



где p, q - положительные числа. Ферро решил эти уравнения, но не публиковал результатов, приберегая их для научного диспута, которые были распространены в то время. К сожалению он скончался, не успев воспользоваться ими. Независимо решение было получено в 1535 году венецианским математиком Тарталья. Для уравнения он поступает так. Делается подстановка что приводит к соотношению



или


.

Положив Тарталья приходит к системе



Дело сводится к решению квадратного уравнения, что дает




или корень . Тарталья долго не публиковал свое решение. Дело в том, что он столкнулся с трудностью, преодолеть которую не мог, с так называемым неприводимым случаем. Решая уравнение с помощью подстановки , он получил

.

При под корнем получается отрицательное число. А Тарталье было известно, что существует корень уравнения. Сейчас мы знаем, что в этом случае все три корня кубического уравнения вещественны и выражаются через комплексные величины. Отмеченный факт послужил толчком к исследованиям, которые привели к созданию теории комплексного числа. Кубическими уравнениями занялся еще один ученый из Милана Кардано.



Джероламо Кардано был очень богатым и неординарным человеком с необычной судьбой. Он был разносторонне талантлив. Занимался математикой, астрономией, философией, медициной. Был изобретательным инженером : предложил подвес, ставший прообразом карданного механизма. Увлекался астрологией и предсказал год своей смерти - 1576. В этот год он объявил голодовку и умер на 75-ом году жизни. Несмотря на жизненные невзгоды - он потерял сына, который был казнен, лишился своего огромного состояния - Кардано увлеченно занимался наукой.

Кардано готовил большой математический труд “Великое искусство или о правилах алгебры”. Ему очень хотелось включить туда результаты Тартальи по кубическим уравнениям. Он выманил у Тартальи секрет под клятвенное обещание не разглашать его. Однако ссылкой на автора. Тарталья был возмущен, завязалась долгая и ожесточенная полемика. Трудно сказать, что нового внес сам Кардано в решение Тартальи, но для потомков осталась формула Кардано, а не Тартальи.

Кардано тоже не смог одолеть неприводимого случая. Некоторая ясность была внесена последним из больших болонских математиков Бомбелли. В своем труде “Алгебра” (1572) Бомбелли развил теорию комплексного числа. Он вводит правила действий над комплексными числами a+bi, опирающиеся на i2=-1. На примере уравнения x3=15x+4 он показал, что в неприводимом случае вещественный корень получается как сумма соотношение двух комплексных чисел a+bi и a-bi.


  1. Зарождение математики переменных величин. Декарт, Ферма, Кеплер, Кавальери, Паскаль и др.

В XVII веке берут начало большинство математических дисциплин, которые ныне составляют основу высшего математического образования: математический анализ (Ньютон, Лейбниц), аналитическая геометрия (Декарт, Ферма), проективная и дифференциальная геометрия (Паскаль, Гюйгенс, Кеплер), теория вероятностей (Якоб Бернули, Ферма).

2. Остановимся в начале на двух ученых, которые заложили основы аналитической геометрии - Декарте и Ферма.

Рене Декарт родился в 1596 году во французском городе Турени в семье, принадлежащей древнему дворянскому роду. Образование получил в иезуитском колледже. Некоторое время служил в армии. Из-за разногласий с церковью долгое время жил в Голландии, и за год до смерти переехал по приглашению шведской королевы в Стокгольм.

Декарт был ученым-энциклопедистом, работающим в области математики, философии, физиологии, физики. Целью деятельности Декарта была разработка общего математического подхода к изучению естествознания. В труде “Геометрия”, вышедшем в 1637 году, он осуществил свой подход, объединив алгебру и геометрию. В основе изложения лежат понятия переменной величины и прямолинейных координат, которые сейчас называются декартовыми. В самом труде они введены еще недостаточно четко. Большая часть “Геометрии” посвящена теории алгебраических уравнений. Там содержится и известное правило Декарта определения числа положительных корней уравнения. Однако главная заслуга Декарта состоит в систематическом применении уже хорошо развитой алгебры к геометрии, что существенно расширило область ее применения и создало основу для формирования самостоятельной математической дисциплины - аналитической геометрии. Большое значение для дальнейшего развития математики имело и окончательное освобождение Декартом от ограничений, связанных с размерностью величин, идущих еще от геометрической алгебры древних греков. В “Геометрии” Декарта дана неудобная классификация кривых, нет, по-существу, еще “декартовых координат” , кривые изучаются лишь в первом квадранте. Некоторые из этих недостатков свойственны и другим ученым, занимающимся подобными исследованиями, в том числе и Ферма.

Пьер Ферма родился в 1601 году на юге Франции в семье торговца. Окончил юридический факультет Тулизского университета и работал юристом в Тулузе до конца жизни. Ферма самостоятельно знакомился с математикой, творчески работал в этой области и получил значительные результаты в разных математических дисциплинах, которые были опубликованы лишь после его смерти. Результаты Ферма по аналитической геометрии изложены в небольшой работе “Введение в теорию плоских и пространственных мест”, опубликованной лишь в 1679 году. Здесь уже содержатся уравнения



,

для прямых линий и конических сечений относительно перпендикулярных осей. В отличие от Декарта он рассматривает и общие уравнения 2-го порядка и сводит их сдвигом и поворотом осей к каноническому виду. Пространственной координаты у Ферма еще не было, но он изучает пересечения поверхностей плоскостями.

Говоря о Ферме, нельзя не упомянуть о его других открытиях в математике. Он, по-видимому, первым предложил метод определения максимума и минимума функции. Ферма и Паскаль считаются основателями теории вероятностей. В 1654 году они установили ряд основных положений теории вероятностей на примере азартных игр. Когда об этих результатах узнал Гюйгенс, он также увлекся новыми задачами и в 1657 году опубликовал книгу “О расчетах при азартных играх”, которая явилась первым трудом по теории вероятностей. Изучая перевод работ Диафанта, Ферма сформулировал на полях этой книги ряд утверждений по теории чисел, которые известны как теоремы Ферма. Ферма их не доказывал, вернее нет сведений об этом. Некоторые из них позже были доказаны другими математиками. Одна из теорем, так называемая Великая теорема Ферма гласит: диофантово уравнение при , целом, не имеет решения в натуральных числах. Сформулировав эту теорему, Ферма добавляет: ”Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить”. Если Ферма и знал доказательство, то оно никогда не было опубликовано. Все попытки математиков доказать эту теорему оказывались неудачными.

Помимо Декарта и Ферма вопросы аналитической геометрии разрабатывались в XVII веке и другими математиками, в частности английским ученым Валлисом. Однако, существенное развитие аналитическая геометрия получила лишь в работе Ньютона “Перечисление кривых 3-его порядка”, вышедшей в 1704 году, где введена современная классификация кривых по порядку уравнения.В XVIII веке француз Клеро распространил аналитическую геометрию на трехмерное пространство, а петербургский академик Леонард Эйлер придал ей облик, близкий к современному в сочинении “Введение в анализ”.

3. Важнейшим достижением математики XVII века является разработка основ математического анализа, который к концу века получил название анализа бесконечно малых. Возникновение математического естествознания, в частности развитие такой ветви механики, как динамика связано с введением в математику переменной величины и разработкой новых, инфинитезимальных, методов, основанных на понятии бесконечно малой величины. Подобный подход восходит еще к Архимеду. В XVII веке многие крупные ученые проводили исследования, относящиеся к анализу бесконечно малых: Кеплер, Галилей, Кавальери, Торричелли, Паскаль, Валлис, Ферма, Декарт, Барроу. Они подготовили основу, на которой в конце века Ньютон и Лейбниц создали, независимо друг от друга дифференциальное и интегральное исчисление. Смысл бесконечно малой еще не был ясен в то время. Под ней понимали неизменяющуюся величину, не равную нулю, но меньшую любой конечной величины (актуально бесконечно малая). К пониманию бесконечно малой как к переменной величине, которая в процессе своего изменения становится меньше любой конечной величины, математика придет значительно позже.

Одной из первых работ в этом новом направлении была работа Кеплера 1615 года “Новая стереометрия винных бочек, преимущественно австрийских , как имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для них кубической линейки с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии”. В этой работе Кеплер для вычисления объемов тел пользуется алгоритмом оперирования с бесконечно малыми, следуя Архимеду, однако не заботясь особенно о строгости доказательств, свойственной Архимеду. Он исходит из того, что фигура или тело состоит из множества бесконечно малых частей. Так, круг состоит из бесконечно большого числа бесконечно малых секторов, которые можно считать равнобедренными треугольниками. Треугольники имеют одинаковую высоту - радиус круга, а сумма их оснований составляет окружность. Точно также шар состоит из бесконечного множества пирамид с общей вершиной в центре. Метод суммирования бесконечно малых Кеплер распространил на тела вращения. Например, в случае тора он проводит меридиональные плоскости. Образующиеся ломтики он заменяет цилиндриками с общим основанием и средней высотой. Сумма их объемов составляет объем тора и равна объему цилиндра с высотой равной длине окружности, описываемой центром круга. В своем труде Кеплер вычислил объемы 87 новых тел вращения.

Известный итальянский ученый Галилей, внесший значительный вклад в астрономию и механику, оказал большое влияние и на развитие математики. Будучи профессором университетов в Падуе и Пизе, он активно содействовал распространению идей Архимеда, пропагандировал применение математики для изучения природы. Изучая ряд задач механики о движении тел, он пришел к математическому описанию движения, к зависимости между скоростью, ускорением и расстоянием, и с полным правом считается предшественником Ньютона. Ученики Галилея Кавальери и Торричелли внесли свой вклад в разработку метода суммирования бесконечно малых.

Бонавентура Кавальери (1598-1647), родом из знатной итальянской семьи, возглавлял кафедру математики в Болонском университете, будучи одновременно настоятелем монастыря. Большую известность получил его метод неделимых, разработанный в трудах “Геометрия, изложенная новым способом неделимых непрерывного” и ”Шесть геометрических опытов”, вышедших в свет соответственно в 1635 и 1647 годах. О популярности “Геометрии” свидетельствует тот факт, что к двухсотлетию ее опубликования в Милане был сооружен памятник Кавальери.

Метод неделимых был изобретен для вычисления размеров фигур и тел. Согласно этому методу фигуры состоят из параллельных отрезков прямых, а тела-из плоскостей. Это и есть неделимые, их бесконечно много и они не имеют толщины. Кавальери понимал логические трудности, возникающие при составлении площади из прямых, не имеющих ширины, а объема-из плоскостей, лишенных толщины. Идею Кавальери о неделимых мы находим еще у Архимеда в работе “Послание к Эратосфену”, которая была обнаружена лишь в 1909 году, так что Кавальери не знал об этих работах Архимеда. В §3 было показано применение Архимедом этой идеи в сочетании с правилом рычага при вычислении объема шара и там она не вызывала сомнений. Другое дело с методом неделимых Кавальери как общим методом вычисления площадей и объемов. Кавальери сущность метода формулирует так: плоские фигуры (или тела) относятся как все неделимые, взятые вместе. Эта формулировка очень туманна. Повидимому, все же неделимые находятся на равных расстояниях друг от друга и вместо отрезков берутся прямоугольники малой площади. Торричелли показал, что если суммировать отрезки, то из правила Кавальери следует, что высота любого треугольника делит его на две равновеликие части. Рассмотрим правило неделимых на примере квадрата АВСД со стороной а и треугольника АСД, изображенных на рис.7.1. (Кавальери рассматривает параллелограмм). Линии MN = a это неделимые квадрата, а LN = х - неделимые треугольника, отстоящие друг от друга на величину h=a/n. По правилу Кавальери

В “Геометрии” Кавальери находит, что отношение всех квадратов неделимых параллелограмма (линий MN) и треугольника (линий LN) равно 3. Далее он показывает, что отношение третьих и четвертых степеней неделимых параллелограмма и треугольника равны соответственно 4 и 5 и обобщает полученную закономерность на произвольную целую степень m,



что дает


(7.1)

Работа Кавальери послужила началом исследований многих видных математиков над проблемами анализа бесконечно малых. Дополнительным импульсом послужила публикация Декартом своего труда по аналитической геометрии. Формула (7.1) была получена рядом математиков. При этом Торричелли, Барроу и Гюйгенс пользовались, в основном, геометрическими построениями, а Ферма, Паскаль, Валлис - новой алгеброй, разрабатываемой Декартом и Ферма. Метод неделимых совершенствуется: вместо суммы неделимых рассматриваются суммы элементарных площадок, образованные бесконечно близкими, одинаково отстоящими друг от друга ординатами, т.е. суммы вида . Ферма ввел неравномерное разбиение абсциссы. Он же доказал формулу (7.1) для рациональных показателей m. Наиболее отчетливо понятие определенного интеграла выявляется у французского ученого Блеза Паскаля (1623-1662). Он был известным математиком, физиком и философом. Последние годы жизни провел в монастыре, не бросая, однако, занятий наукой и философией. В работе “Общий трактат о рулетте”, посвященной исследованию неалгебраической кривой циклоиды (рулетты), Паскаль при вычислении площади использует зависимую и независимую переменные и суммирует значения функции, умноженные на приращения независимой переменной. В этой же работе появляется “треугольник Паскаля” - прообраз дифференциального треугольника (dx,dy,ds) Лейбница. Паскаль получил также значительные результаты в области проективной геометрии, теории вероятностей, теории чисел, алгебре.

Другая ветвь анализа бесконечно малых получила развитие в связи с задачей о касательной и определением наибольших и наименьших значений функции. В решении этих задач пионером был Ферма. В наших обозначениях он получил условие экстремума и выражение для подкасательной Аналогичным путем, используя “треугольник Паскаля”, находит касательную к кривой и Барроу. Торричелли, а позже и Барроу для определения касательной использовали кинематические соображения, раскладывая скорость движения материальной точки по траектории на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Впервые на связь двух основных задач анализа бесконечно малых - построением касательной (дифференцирование) и квадратурами (интегрирование) указал в 1670 году в “Лекциях по оптике и геометрии” Исаак Барроу (1630-1677) - профессор математики Кембриджского университета, у которого учился Ньютон.

Наиболее полно развитие анализа в рассматриваемый период представлено в работах Валлиса “Арифметика бесконечного” (1655г.) и Гюйгенса “Маятниковые часы” (1673г.). Джон Валлис (1616-1703) -профессор геометрии Оксфордского университета, член-учредитель Лондонского королевского общества, учитель Барроу. В своих исследованиях он широко пользовался бесконечными рядами и произведениями. В частности, он получил для числа разложение

Валлис представил отношения к-тых степеней неделимых Кавальери как отношения сумм чисел:

при неограниченно возрастающем n и получил формулу (7.1). Христиан Гюйгенс (1629-1695) - голландский математик, член первого состава Французской академии наук. Он был выдающимся физиком и астрономом, создал волновую теорию света, обнаружил кольцо Сатурна. Гюйгенсу принадлежат значительные результаты в анализе и теории вероятностей. В упомянутой книге он не только разработал теорию маятниковых часов, которые решили важнейшую проблему определения географической долготы, но и исследовал эволюты и эвольвенты плоской кривой.

Усилиями многих математиков к 70-тым годам XVII столетия были заложены основы анализа бесконечно малых. На этом фундаменте Ньютон и Лейбниц построили теорию интегрального и дифференциального исчисления. Работая независимо друг от друга, они примерно в одно время создали теорию интегрирования и дифференцирования и установили, что эти процессы являются взаимно обратными. Возникшая в свое время дискуссия о приоритете открытия постепенно заглохла. Оба выдающихся ученых вошли в историю науки как создатели интегрального и дифференциального исчисления.





  1. Счётные машины эпохи техники часовых механизмов (Шиккард, Паскаль, Лейбниц).

С изобретением зубчатых колёс появились и гораздо более сложные устройства выполнения расчётов. Антикитерский механизм, обнаруженный в начале XX века, который был найден на месте крушения античного судна, затонувшего примерно в 65 год до н. э(по другим источникам в 80 год до н. эили даже 87 год до н. э. году до нашей эры, даже умел моделировать движение планет. Предположительно его использовали для календарных вычислений в религиозных целях, предсказания солнечных и лунных затмений, определения времени посева и сбора урожая и т/п. Вычисления выполнялись за счёт соединения более 30-ти бронзовых колёс и нескольких циферблатов; для вычисления лунных фаз использовалась дифференциальная передача, изобретение которой исследователи долгое время относили не ранее чем к XVI веку. Впрочем, с уходом античности навыки создания таких устройств были позабыты; потребовалось около полутора тысяч лет, чтобы люди вновь научились создавать похожие по сложности механизмы.


В 1623 Вильгельм Шикард придумал Считающие часы Вильгельма Шикарда;— первый механический калькулятор, умевший выполнять четыре арифметических действия. Считающими часами устройство было названо потому, что как и в настоящих часах работа механизма была основана на использовании звёздочек и шестерёнок. Практическое использование это изобретение нашло в руках друга Шикарда, философа и астронома Иоганна Кеплера.
За этим последовали машины Блеза Паскаля «Паскалина», 1642 г. и Готфрида Вильгельма Лейбница. Примерно в 1820 году Charles Xavier Thomas создал первый удачный, серийно выпускаемый механический калькулятор — Арифмометр Томаса, который мог складывать, вычитать, умножать и делить. В основном, он был основан на работе Лейбница. Механические калькуляторы, считающие десятичные числа, использовались до 1970-х.
Лейбниц также описал двоичную систему счисления, центральный ингредиент всех современных компьютеров. Однако вплоть до 1940-х, многие последующие разработки (включая машины Чарльза Бэббиджа и даже ЭНИАК 1945 г. были основаны на более сложной в реализации десятичной системе.
Джон Непер заметил, что умножение и деление чисел может быть выполнено сложением и вычитанием, соответственно, логарифмов этих чисел. Действительные числа могут быть представлены интервалами длины на линейке, и это легло в основу вычислений с помощью логарифмической линейки, что позволило выполнять умножение и деление намного быстрее. Логарифмические линейки использовались несколькими поколениями инженеров и других профессионалов, вплоть до появления карманных калькуляторов. Инженеры программы Аполлон отправили человека на Луну, выполнив на логарифмических линейках все вычисления, многие из которых требовали точности в 3–4 знака.
Для составления первых логарифмических таблиц Неперу понадобилось выполнить множество операций умножения, и в то же время он разрабатывал Napier’s bones.

Шиккард (1592--1636)

Профессор кафедры восточных языков Тюбингенского университета, интересовался астрономией, переписывался с Кеплером. Кеплер высоко ценил его способности. Рекомендовал бросить языки и заняться математикой... что он и сделал. Стал потом заведовать кафедрой математики. В письме писал, что он сумел сделать "Часы для счёта". То есть он сделал механически то, что Кеплер сделал алгебраически.

Придумал устройство, которое умело складывать, вычитать, умножать и делить. Умножать и делить, смысл: чем отличается машина Шиккарда от абака и от всех более ранних вообще? Проблемы: как представлялось число; не как колечко, а цифра - угол поворота зубчатого колеса. 10 зубцов.

Самая тяжёлая задача - перенос десятков. Поставили ещё одно однозубое колесо. =) В общем, она отличалась тем, что была сделана остроумно.)
В машине также использовались барабаны, на которые была намотана таблица умножения.
Блез Паскаль (1623--1662)

Родился в достаточно обеспеченной семье рантье Этьена Паскаля. В 1638 отец попал в немилость к Ришелье и вынужден был бежать в Испанию. Позже по просьбе младшей дочери Этьен был прощен и занял пост интенданта Руана.

В шестнадцатилетнем возрасте Блез опубликовал первую работу по математике (на 53 строки математического труда, размножил в 50 экземплярах и расклеил по улицам Парижа). Это был трактат по проективной геометрии "Опыт о конических сечениях"
Занимался также физикой; разработал в это же время что-то из гидродинамики (закон Паскаля). Гидравлический пресс и всё такое. Из математики: треугольник Паскаля; первые методы интегрирования; использовал начала теории определённого и неопределнного интегрирования. Определённые результаты теории вероятности. В общем, везде он начал что-то делать.
В 18 лет начал разрабатывать вычислительные машины (около 50 штук). Идеи очень напоминали Шиккардовские. Но он точно не мог их увидеть, потому что никто о той машине и её идеях, кроме самого Шиккарда и его друзей, не знал этих идей. Машина Паскаля умела складывать, вычитать (используя дополнительный код), умножать и делить (путем последовательных сложений или вычитаний)


  1. Научная биография Ньютона. Теория флюксий.

Исаак Ньютон (1642-1727) родился близ Кембриджа в семье землевладельца. Учился в Кембриджском университете у Барроу. В 1669 году , всего лишь через год после получения Ньютоном звания магистра, Барроу передал ему свою кафедру. В университете Ньютон работал до 1696 года, после чего поступил на службу в ведомство монетного двора вначале в качестве инспектора, а затем директора. В 1672 году он избирается членом Лондонского королевского общества, а с 1703 года становится его президентом. Ньютон пользовался в научных кругах исключительным авторитетом как автор фундаментального научного труда “Математические принципы натуральной философии”, вышедшей в свет в 1687 году.

Ньютон получил исключительной важности результаты в механике, физике, астрономии и математике. Он сформулировал три основные законы механики, известные всем еще со школьной скамьи. Установил фундаментальный закон всемирного тяготения, который гласит: две материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, т.е.

где G- гравитационная постоянная. Строго математически из закона тяготения вывел законы движения планет вокруг Солнца, установленные Кеплером опытным путем. Дал объяснение приливов, заложил основы теории движения Луны, решил задачу двух тел для сфер. В физике он получил основополагающие результаты о распространении световых волн, исследовал интерференцию и дифракцию, открыл дисперсию света и хроматическую аберрацию.

К интегральному и дифференциальному исчислению Ньютон пришел при разработке математического аппарата механики, который учитывает движение и связанные с ним понятия скорости и ускорения. На Ньютона оказало влияние сочинение Валлиса “Арифметика бесконечных”. Изучая его, Ньютон обобщил понятие бинома и пришел к биномическому ряду, который расширил область применимости его теории дифференцирования.

Свой метод Ньютон назвал методом флюксий. Он был разработан в 1665, 1666 годах, а опубликован лишь в 1736 году уже после смерти Ньютона в трактате “Метод флюксий и бесконечных рядов”. Кстати, в течение этих же двух лет, которые Ньютон провел в деревне в связи эпидемией чумы в Кембридже, он получил основные результаты по теории тяготения и сложном составе света. Они тоже были опубликованы с большой задержкой в 1687 году. Ньютон не спешил публиковать свои открытия. С большим опозданием вышла в свет и “Всеобщая арифметика”, содержащая важные результаты по алгебре.

Ньютон вводит переменные величины флюенты (текущие), зависящие от времени, и обозначает их латинскими буквами u, x, y. Скорости их изменения обозначаются теми же буквами, но с точками: ; это производные по времени. Бесконечно малые Ньютон называет моментами. Момент времени обозначается о, момент флюенты y есть - произведение скорости на момент времени ( т.е. дифференциал флюенты).

Первая основная задача, которую формулирует Ньютон заключается в определении соотношения между флюксиями по заданному соотношению между флюентами. Это прямая задача теории флюксий - задача дифференцирования и получения дифференциального уравнения. Ньютон демонстрирует решение на примере соотношения



(7.2) Подставим сюда и вместо x, y, тогда получим

Члены, не содержащие флюксий, уничтожаются согласно (7.2). Оставшиеся члены разделим на 0 и отбросим все члены, содержащие 0, как бесконечно малые. В результате получим



Позднее Ньютон ввел вторую флюксию , т.е. флюксию от флюксии, и флюксии более высоких порядков. Если в соотношении, связывающем флюенты встречаются дроби или радикалы, Ньютон действует по правилам дифференцирования сложной функции. С помощью рядов он распространяет свою теорию на трансцендентные функции. Исчисление флюксий Ньютон применяет для нахождения наибольших и наименьших значений функций, построения касательной и кривой, определения кривизны кривой. Все эти задачи методом флюксий решаются без труда.

Вторая основная задача заключается в определении соотношения между флюентами по заданному соотношению между флюксиями. Это обратная задача - задача интегрирования дифференциального уравнения, в частности нахождение первообразной. В общем случае эта задача представляет больше трудности. Постепенно сформировалась самостоятельная математическая дисциплина - теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Ньютон находил решение отдельных дифференциальных уравнений, как правило, с помощью бесконечных рядов. Задачу нахождения первообразной Ньютон трактует геометрически как задачу квадратуры кривой. Обозначим z(x) переменную площадь фигуры, ограниченной кривой y=f(x), ординатой x=a, текущей ординатой x и отрезком оси x. Ньютон пользуется следующим утверждением: производная от z(x) по конечной абсциссе равна конечной ординате y=f(x). Иначе, переменная площадь z(x) является первообразной для данной функции y=f(x). Это утверждение обычно называют теоремой Ньютона-Лейбница, хотя оно было получено ранее Барроу. Используя это утверждение, Ньютон решает задачу определения кривой, площадь которой задается с помощью конечного уравнения. Он исходит из некоторого уравнения между x и z, находит уравнение между x и и отсюда определяет кривую. Он формулирует и решает с помощью подстановок и более сложную задачу определения кривой, площадь которой связана с площадью некоторой данной кривой конечным уравнением. С помощью таких приемов Ньютон получил большое число квадратур. Ньютон пытался обосновать теорию флюксий. В своем основном труде “Математические начала натуральной философии” он строит своеобразную теорию пределов, которая называется “Метод первых и последних отношений”. Пользоваться этой теорией было трудно; Ньютон, по видимому, не был ей удовлетворен. По крайней мере, в “Началах” нет никаких упоминаний о теории флюксий, хотя по утверждению самого Ньютона многие результаты, вошедшие в эту книгу, получены с помощью метода флюксий. Создавая теорию первых и последних отношений, Ньютон подошел к современному пониманию бесконечно малой. Он пишет: “Если в последующем для простоты речи я буду говорить о величинах весьма малых или исчезающих или зарождающихся, то не следует под этим разуметь количеств определенной величины, но надо их рассматривать как уменьшающиеся беспредельно”.


  1. Научная биография Лейбница. Дифференциальное Исчисление.

Другим путем при создании интегрального и дифференциального исчисления пошел Лейбниц. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) родился в Лейпциге в семье профессора университета. Учился в Лейпцигском и Йенском университетах. Многие годы находился на службе при дворе ганноверских герцогов. По делам службы посетил ряд европейских стран, где встречался с видными учеными. Был членом Лондонского королевского общества и Парижской академии наук. Основал Берлинскую академию и научный журнал в Лейпциге. Оказал влияние на развитие науки в России. Он был знаком с Петром I. Обсуждал с ним проекты организации Академии наук в Петербурге, планы развития науки в России. Лейбниц был видным дипломатом, политиком, философом и ученым в области физики, права, литературы и языкознания и, конечно, крупнейшим математиком.

Идеи дифференциального исчисления изложены в маленькой журнальной заметке 1684 года “Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого”. Он мыслил в терминах характирестического треугольника (dx, dy, ds), ранее встречавшегося в работах Паскаля и Барроу. Дифференциал аргумента dx Лейбниц понимает как бесконечно малую разность. Дифференциал функции dy определяется из соотношения , где - подкасательная. В статье даны правила дифференцирования суммы, произведения, частного, степени. Получено условие dy=0 для экстремальных значений функции и d2y=0 для точек перегиба. Через два года вышла статья Лейбница “О глубокой геометрии”, в которой были даны правила интегрирования. Следуя Паскалю и Кавальери, он представлял интеграл как сумму “всех” ординат, которых бесконечно много. Он вводит для интеграла современный символ . Для трансцендентных функций использует ряды. Получает формулу многократного дифференцирования произведения функций, которая носит его имя. Символика и термины Лейбница оказались хорошо продуманными, удобными, и многие из них дошли до наших дней. Лейбниц ввел термины: дифференциал, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальное уравнение, функция, координаты и др.

С появлением двух статей Лейбница о дифференцировании и интегрировании начался исключительно плодотворный период для математики. Начиная с 1687 года с Лейбницем стали активно сотрудничать братья Якоб и Иоганн Бернулли. До конца века они втроем разработали значительную часть современного интегрального и дифференциального исчисления. В 1696 году появился первый учебник по дифференциальному исчислению ученика Иоганна Бернулли маркиза Лопиталя “Анализ бесконечно малых”, как результат обработки лекций своего учителя. Здесь уже встречается известное правило Лопиталя раскрытия неопределенности типа 0/0. Это правило сообщил Лопиталю в одном из писем Бернулли.

Проблема обоснования анализа бесконечно малых не была решена и Лейбницем, как и Ньютоном. Этим занимались многие видные ученые, такие как Даламбер и Лагранж. Окончательное решение пришло, когда в XIX веке была создана строгая теория пределов, в основном трудами Коши.


  1. Наука в России в начале 18-го века. Леонард Эйлер. Научная биография.

До XVIII века общий уровень культуры и науки в России был весьма низким. Первое высшее общеобразовательное учебное заведение было основано в Москве в 1687 году. Это была Славяно - греко - латинская академия, созданная для подготовки кадров для нужд государства и церкви и преподавателей школ. Положение начало меняться в связи с проведением Петром I реформ, которые коснулись и вопросов образования, культуры и науки. В1701 в Москве открылась школа навигационных и математических наук ( в Сухаревой башне). Затем был создан еще ряд технических учебных заведений: артиллерийская школа, морская академия и др. Крупным событием в культурной жизни России было открытие в 1724 году Петербургской академии наук - первого российского научного учреждения. Идея создания академии принадлежит Петру I, которую он обсуждал, в частности, с Лейбницем. При академии были образованы гимназия и университет. Преподавание в академическом университете было оторвано от научной жизни академии, и он просуществовал лишь до 1766 года. Другое крупное событие XVIII века в России это открытие в 1755 году первого российского университета в Москве, связанное с именами М.В.Ломоносова и И.И.Шувалова.

Делу просвещения и становлению математических наук и вообще естествознания способствовало появление учебных пособий. Первым печатным руководством по математике была “Арифметика” Л.Ф. Магницкого (1703 г.), которая в течение многих десятилетий служила основным пособием для изучающих математику. По ней учился М.В. Ломоносов и называл “вратами своей учености”. Магницкий преподавал в навигационной школе, для учащихся которой и была в первую очередь предназначена книга. Это был очень образованный человек, знавший несколько иностранных языков; образование получил, по-видимому, самостоятельно. По крайней мере, в надгробной надписи на могиле Магницкого говорится: “Он научился наукам дивным и неудобовероятным способом”. Из этой надписи известно также, что ”Петр I многократно беседовал с ним о математических науках и был так восхищен глубокими познаниями его, что называл его магнитом и приказал писаться Магницким”. В 1708 году вышел первый учебник по геометрии “Приемы циркуля и линейки ... “, а позже опубликованы сокращенные изложения “Начал” Евклида: “Евклидовы элементы” (1739 г.) и “Архимедовы теоремы” (1745 г.)

Петербургская академия наук в 1725 году насчитывала 17 действительных членов и была сформирована целиком из иностранных ученых, в основном немецких. Первым русским членом академии стал М.В. Ломоносов (1745 г).



Леонард Эйлер (1707-1783)

Родился в Базеле, в семье священника. В 16 лет стал магистром. Занимался математикой, теологией, медициной, проблемы кораблестроения, отправлял свои работы в Париж, чтобы его взяли там на кафедру, но его почему-то не взяли. Занимался морским делом во всех его проявлениях; а потом оказалось, что он безработный.

В 1727 приехал в Россию и угодил в тот день, когда умерла Екатерина Первая. И это очень негативно сказалось на науке. Освободилась кафедра физики, потому что учёные сбегали из России, а потом и кафедра математики, и Эйлер их обе на себя взял.)

Стал публиковаться, там же была статья Бернулли о колебаниях струны.

От перенапряжения потерял зрение на один глаз, потом уехал в Германию на некоторое время, но всё ещё помогает России всем, чем может, и в результате опять вернулся в Россию. Продолжает очень напряжённо работать и теряет зрение на второй глаз. И он диктовал свои работы (400 работ продиктовал в своём почтенном возрасте) ученикам и своему сыну..

Лаплас: "Читайте Эйлера, учителя всех нас" (с).

За свою жизнь опубликовал 889 работ. Это много, ибо он это всё сам придумывал. +3000 писем математического содержания.

Математика, механика, астрономия, медицина, морское дело, баллистика, артиллерия, финансовое дело, музыка, горное дело, теория музыки, картография, страховое дело, то есть, понимаете, всё.

До хрена методов Эйлера, формул, терминов Эйлера.

Условие Коши-Римана - это Эйлер и Даламбер))

Ряды Фурье - это Эйлер =)
В 1770 году - ввёл понятие двойного интеграла.
Альфа-бета-гамма функции тоже.
Самый базовый его труд - дифференциальное исчисление. Создал теорию ОДУ, основы ДУЧП. Диффур с постоянными коэффициентами... чаще всего решаются через подстановки Эйлера. Он пишет книгу и включает в неё все известные способы решения диффуров, в т.ч. и им самим изобретёнными. О единственности он не задумывался. Не разделял уже действительные и комплексные аргументы - в общем случае делал.

Начал классифицировать кривые по степени.


Умер Эйлер - на долгое время математика в России заглохла.


  1. Научная биография Ч. Беббиджа. Методологические проблемы науки в работах Беббиджа.

Чарльз Бэббидж родился 26 декабря 1791 года в Лондоне. Его отец, Бенджамин Бэббидж, был банкиром. Мать звали Элизабет Бэббидж. Её девичья фамилия Тип (Teape). В детстве у Чарльза было очень слабое здоровье. В 8 лет, его отправили в частную школу в Альфингтоне на воспитание священнику. На тот момент его отец уже был достаточно обеспечен, чтобы позволить обучение Чарльза в частной школе. Бенджамин Бэббидж попросил священника не давать Чарльзу сильных учебных нагрузок из-за слабого здоровья.


После школы в Альфингтоне Чарльз был отправлен в академию в Энфилде, где по существу и началось его настоящее обучение. Именно там Бэббидж начал проявлять интерес к математике, чему поспособствовала большая библиотека в академии.
После обучения в академии, Бэббидж обучался у двух репетиторов. Первый был священником, жившим возле Кембриджа. По словам Чарльза, священник не дал бы ему тех знаний, который он мог получить, обучаясь у более опытного репетитора. После священника у Бэббиджа был репетитор из Оксфорда. Он смог дать Бэббиджу основные классические знания, достаточные для поступления в колледж.
В 1810 году Бэббидж поступил в Тринити-колледж в Кембридже. Однако, основам математики он обучался самостоятельно по книжкам. Он тщательно изучал труды Ньютона, Лейбница, Лагранжа, Лакруа, Эйлера и других математиков академий Санкт-Петербурга, Берлина и Парижа. Бэббидж очень быстро обогнал своих преподавателей по знаниям и был сильно разочарован уровнем преподавания математики в Кембридже. Более того он заметил, что Британия в целом заметно отстала от континентальных стран по уровню математической подготовки.
В связи с этим, он решил создать общество, целью которого являлось внесение современной европейской математики в Кембриджский университет. В 1812 году Чарльз Бэббидж, его друзья, Джон Гершель (John Herschel) и Джордж Пикок (George Peacock) и ещё несколько молодых математиков основали «Аналитическое общество». Они стали проводить собрания. Обсуждать различные вопросы, связанные с математикой. Начали публиковать свои труды. Например, в 1816 году они опубликовали переведённый ими на английский язык «Трактат по дифференциальному и интегральному исчислению» французского математика Лакруа, а в 1820 году опубликовали два тома примеров, дополняющих этот трактат. Аналитическое общество своей активностью инициировало реформу математического образования вначале в Кембридже, а затем и в других университетах Британии.
В 1812 году Бэббидж перешёл в колледж Св. Петра (Peterhouse). А в 1814 году он получил степень бакалавра. В том же году Чарльз Бэббидж женился на Джорджии Витмур (Georgiana Whitmore), и в 1815 году они переехали из Кембриджа в Лондон. За тринадцать лет брака у них было восемь детей, но пятеро из них умерли в детстве. В 1816 году он стал членом Королевского Общества Лондона. К тому времени он написал несколько больших научных статей в разных математических дисциплинах. В 1820 году он стал членом Королевского Общества Эдинбурга и Королевского Астрономического Общества. В 1827 году он похоронил отца, жену и двоих детей. В 1827 году он стал профессором математических наук в Кембридже, и занимал этот пост в течении 12 лет. После того, как он покинул этот пост, он большую часть своего времени посвятил делу его жизни - разработке вычислительных машин.
Последние годы жизни Бэббидж посвятил философии и политической экономии.
Чарльз Бэббидж умер в возрасте 79 лет 18 октября 1871 года.


  1. Разностная машина Беббиджа.

Малая разностная машина


Впервые Бэббидж задумался о создании механизма, который позволил бы производить автоматически сложные вычисления с большой точностью в 1812 году. На эти мысли его натолкнуло изучение логарифмических таблиц, при пересчёте которых были выявлены многочисленные ошибки в вычислениях, обусловленные человеческим фактором. Ещё тогда он начал осмысливать возможность проведения сложных математических расчётов при помощи механических аппаратов.
Так же, очень большое влияние на Бэббиджа оказали работы французского учёного барона де Прони, который предложил идею разделения труда при вычислении больших таблиц (логарифмических, тригонометрических и др.). Он предлагал разделить процесс вычисления на три уровня. Первый уровень — несколько выдающихся математиков, подготавливающих математическое обеспечение. Второй уровень — образованные технологи, которые организовывали рутинный процесс вычислительных работ. А третий уровень занимали сами вычислители, от которых требовалось лишь умение складывать и вычитать. Идеи Прони навели Бэббиджа на мысль о замене третьего уровня (вычислителей) механическим устройством.
Однако, Бэббидж не сразу начал заниматься развитием идеи построения вычислительного механизма. Лишь в 1819 году, когда он заинтересовался астрономией, он более точно определил свои идеи и сформулировал принципы вычисления таблиц разностным методом при помощи машины, которую он впоследствии назвал разностной. Эта машина должна была производить комплекс вычислений, используя только операцию сложения. В 1819 году Чарльз Бэббидж приступил к созданию малой разностной машины, а в 1822 году он закончил её строительство и выступил перед Королевским Астрономическим обществом с докладом о применении машинного механизма для вычисления астрономических и математических таблиц. Он продемонстрировал работу машины на примере вычисления членов последовательности. Работа разностной машины была основана на методе конечных разностей. Малая машина была полностью механической и состояла из множества шестерёнок и рычагов. В ней использовалась десятичная система счисления. Она оперировала 18 разрядными числами с точностью до восьмого знака после запятой и обеспечивала скорость вычислений 12 членов последовательности в 1 минуту. Малая разностная машина могла считать значения многочленов 7-ой степени.
За создание разностной машины Бэббидж был награждён первой золотой медалью Астрономического общества. Однако, малая разностная машина была экспериментальной, так как имела небольшую память и не могла быть использована для больших вычислений.
Большая разностная машина
В 1822 году Бэббидж задумался о создании большой разностной машины, которая позволила бы заменить огромное количество людей, занимающихся вычислением различных астрономических, навигационных и математических таблиц. Это позволило бы сэкономить затраты на оплату труда, а так же избавиться от ошибок, связанных с человеческим фактором.
Со своими предложением профинансировать создание большой разностной машины Чарльз Бэббидж обратился в Королевское и Астрономическое общества. И те, и другие отозвались на это предложение положительно. В 1823 году Бэббидж получил 1500 фунтов стерлингов и приступил к разработке новой машины. Он планировал сконструировать машину за 3 года. Однако Бэббидж не учёл сложности конструкции, а также технические возможности того времени. И уже к 1827 году было затрачено 3500 фунтов стерлингов (более 1000 личных денег). Ход работы по созданию разностной машины сильно замедлился.
Кроме того, на процесс конструирования машины большое влияние оказали трагические события в жизни Бэббиджа в 1827 году. В этот год он похоронил отца, жену и двоих детей. После этих событий у него ухудшилось самочувствие и он не мог заниматься конструированием машины. Чтобы восстановить здоровье он поехал в путешествие по континенту.
После путешествия в 1828 году Бэббидж продолжил разработку, но денег уже не было. Он обращался ко многим обществам и правительству с просьбой о помощи. Только в 1830 году он получил от правительства ещё 9000 фунтов стерлингов, после чего продолжил конструирование разностной машины.
В 1834 году работы по созданию машины были приостановлены. На тот момент уже было затрачено 17000 фунтов государственных денег и 6000 личных. С 1834 по 1842 год правительство обдумывало оказывать поддержку проекту или нет. А в 1842 году отказалось финансировать проект. Разностная машина так и не была достроена.
Большая разностная машина должна была состоять из 25 000 деталей, весить почти 14 тонн и 2,5 метра высотой. Кроме того, разностная машина должна была быть оснащена печатным устройством для вывода результатов. Память была рассчитана на 1000 50-разрядных чисел.
Возможно, причиной неудачи создания разностной машиной, наряду с трагическими событий 1827 года и недостаточным уровнем технологий того времени, стала излишняя разносторонность Бэббиджа. Он поднимался с экспедицией на Везувий, погружался на дно озера в водолазном колоколе, участвовал в археологических раскопках, изучал залегание руд, спускаясь в шахты. Почти год он занимался безопасностью железнодорожного движения и сделал очень много специального оборудования. В том числе создал спидометр. Кроме того, при конструировании разностной машины, он разработал немало оборудования для обработки металла. В 1851 году Чарльз Бэббидж предпринял попытку сконструировать улучшенную версию разностной машины — «Разностную машину 2». Но и этот проект не был удачным.

Одна из 6-ти демонстрационных моделей вычислительной части разностной машины Чарльза Бэббиджа, собранная после его смерти сыном Генри из деталей, найденных в лаборатории.


Однако, труды Бэббиджа по созданию разностной машины не пропали даром. В 1854 году шведский изобретатель Шойц по работам Бэббиджа построил несколько разностных машин. А ещё через некоторое время Мартин Виберг усовершенствовал машину Шойца и использовал её для расчётов и публикации логарифмических таблиц.
В 1991 году была построена «Разностная машина 2», которая расположена сейчас в Лондонском научном музее.


  1. Аналитическая машина Беббиджа.

Не смотря на неудачу с разностной машиной, Бэббидж в 1834 году задумался о создании программируемой вычислительной машины, которую он назвал аналитической (прообраз современного компьютера). В отличие от разностной машины, аналитическая машина позволяла решать более широкий ряд задач. Именно эта машина стала делом его жизни и принесла посмертную славу. Он предполагал, что построение новой машины потребует меньше время и средств, чем доработка разностной машины, так как она должна была состоять из более простых механических элементов. С 1834 года Бэббидж начал проектировать аналитическую машину.


Архитектура современного компьютера во многом схожа с архитектурой аналитической машины. В аналитической машине Бэббидж предусмотрел следующие части: склад (store), фабрика или мельница (mill), управляющий элемент (control) и устройства ввода/вывода информации.
Склад предназначался для хранения как значений переменных, с которыми производятся операции, так и результатов операций. В современной терминологии это называется памятью.
Мельница (арифметико-логическое устройство, часть современного процессора) должна была производить операции над переменными, а так же хранить в регистрах значение переменных, с которыми в данный момент осуществляет операцию.
Третье устройство, которому Бэббидж не дал названия, осуществляло управление последовательностью операций, помещение переменных в склад и извлечение их из склада, а также выводом результатов. Оно считывало последовательность операций и переменные с перфокарт. Перфокарты были двух видов: операционные карты и карты переменных. Из операционных карт можно было составить библиотеку функций. Кроме того, по замыслу Бэббиджа, Аналитическая машина должна была содержать устройство печати и устройство вывода результатов на перфокарты для последующего использования.
Для создания компьютера в современном понимании оставалось лишь придумать схему с хранимой программой, что было сделано 100 лет спустя Эккертом, Мочли и Фон Нейманом.
Бэббидж разрабатывал конструкцию аналитической машины в одиночку. Он часто посещал промышленные выставки, где были представлены различные новинки науки и техники. Именно там состоялось его знакомство с Адой Августой Лавлейс (дочерью Джорджа Байрона), которая стала его очень близким другом, помощником и единственным единомышленником. В 1840 году Бэббидж ездил по приглашению итальянских математиков в Турин, где читал лекции о своей машине. Луиджи Менабреа, преподаватель туринской артиллерийской академии, создал и опубликовал конспект лекций на французском языке. Позже Ада Лавлейс перевела эти лекции на английский язык, дополнив их комментариями по объёму превосходящих исходный текст. В комментариях Ада сделала описание ЦВМ и инструкции по программированию к ней. Это были первые в мире программы. Именно поэтому Аду Лавлейс справедливо называют первым программистом. Однако, аналитическая машина так и не была закончена. Вот, что писал Бэббидж в 1851 году: « Все разработки, связанные с Аналитической машиной, выполнены за мой счёт. Я провёл целый ряд экспериментов и дошёл до черты, за которой моих возможностей не хватает. В связи с этим я вынужден отказаться от дальнейшей работы». Несмотря на то, что Бэббидж подробно описал конструкцию аналитической машины и принципы её работы, она так и не была построена при его жизни. Причин этому было много. Но основными стали: полное отсутствие финансирования проекта по созданию аналитической машины и низкий уровень технологий того времени. Бэббидж не стал в этот раз просить помощи у правительства, так как понимал, что после неудачи с разностной машиной ему всё равно откажут.
Только после смерти Чарльза Бэббиджа его сын, Генри Бэббидж, продолжил начатое отцом дело. В 1888 году Генри сумел построит по чертежам отца центральный узел аналитической машины. А в 1906 году Генри совместно с фирмой Монро построил действующую модель аналитической машины, включающая арифметическое устройство и устройство для печатания результатов. Машина Бэббиджа оказалась работоспособной, но Чарльз не дожил до этих дней.
В 1864 году Чарльз Бэббидж написал: «Пройдёт, вероятно, полстолетия, прежде чем люди убедятся, что без тех средств, которые я оставляю после себя, нельзя будет обойтись». В своём предположении он ошибся на 30 лет. Только через 80 лет после этого высказывания была построена машина МАРК-I, которую назвали «осуществлённой мечтой Бэббиджа». Архитектура МАРК-I была очень схожа с архитектурой аналитической машины. Говард Айкен на самом деле серьёзно изучал публикации Бэббиджа и Ады Лавлейс перед созданием своей машины. Причём, его машина идеологически незначительно ушла вперёд по сравнению с недостроенной аналитической машиной. Производитльность МАРК-I оказалось всего в десять раз выше, чем расчётная скорость работы аналитической машины.



  1. Научная биография А. Лавлейс.

В 1842 году итальянский учёный Манибера познакомился с аналитической машиной, пришёл в восторг и сделал первое подробное описание изобретения. Статья была опубликована на французском, и именно Ада Лавлейс взялась перевести её на английский. Позднее Бэббидж предложил ей снабдить текст подробными комментариями. «Аналитический двигатель Бэббиджа», – писала Ада – «ткёт алгебраические задачи точно так же, как ткацкий станок Жаккарда ткёт цветы и листья на ткани». Именно эти комментарии дают потомкам основания называть Аду Байрон первым программистом планеты. В числе прочего она сообщила Бэббиджу, что составила план операций для аналитической машины, с помощью которых можно решить уравнение Бернулли, которое выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости.


В материалах Бэббиджа и комментариях Лавлейс намечены такие понятия, как подпрограмма и библиотека подпрограмм, модификация команд и индексный регистр, которые стали употребляться только в 50-х годах XX века. Сам термин «библиотека» был введён Бэббиджем, а термины «рабочая ячейка» и «цикл» предложила Ада Лавлейс. Её работы в этой области были опубликованы в 1843 году. Однако в то время считалось неприличным для женщины издавать свои сочинения под полным именем и, Лавлейс поставила на титуле только свои инициалы. Поэтому её математические труды, как и работы многих других женщин-учёных, долго пребывали в забвении.


  1. Н.И. Лобачевский и неевклидова геометрия.


Никола́й Ива́нович Лобаче́вский (20 ноября (1 декабря) 1792(17921201), Нижний Новгород — 12 (24) февраля 1856, Казань), великий русский математик, создатель геометрии Лобачевского, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

Н. И. Лобачевский родился в Нижнем Новгороде [1]. Его родителями были Иван Максимович Лобачевский (чиновник в геодезическом департаменте) и Прасковья Александровна Лобачевская.[2] В 1800 году после смерти отца мать вместе с семьёй переехала в Казань. Там Лобачевский окончил гимназию (18021807), а затем (18071811) и только что основанный Казанский Императорский университет, которому отдал 40 лет жизни.

Большое влияние во время обучения в университете на Лобачевского оказал Мартин Фёдорович Бартельс — друг и учитель великого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Он взял шефство над бедным, но одарённым студентом. На старшем курсе в характеристику Лобачевского включили «мечтательное о себе самомнение, упорство, неповиновение», а также «возмутительные поступки» и даже «признаки безбожия».[3] Над ним нависла угроза отчисления, но заступничество Бартельса и других преподавателей помогло отвести опасность.

По окончании университета Лобачевский получил степень магистра по физике и математике с отличием (1811) и был оставлен при университете. В 1814 году стал адъюнктом, спустя 2 года — экстраординарным, и в 1822 году — ординарным профессором. Студенты высоко ценили лекции Лобачевского.

Круг его обязанностей был обширен — чтение лекций по математике, астрономии и физике, комплектация и приведение в порядок библиотеки и музея и т. д. В списке служебных обязанностей есть даже «наблюдение за благонадёжностью» всех учащихся Казани.[4]

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Евклидова аксиома о параллельных гласит:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её.

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще.


Попытки доказательства пятого постулата


Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида — аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его из остальных постулатов Евклида.

Среди пытавшихся доказать были следующие учёные:



  • древнегреческие математики Птолемей (II в.), Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными),

  • Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X — начало XI вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию),

  • иранские математики Омар Хайям (2-я половина XI — начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения),

  • немецкий математик Клавиус (1574),

  • итальянские математики

    • Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных),

    • Борелли (1658), Дж. Витале (1680),

  • английский математик Валлис (1663, опубликовано в 1693) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура),

  • французский математик Лежандр (1800) (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства).

При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным.

Были предприняты попытки использовать доказательство от противного:



  • итальянский математик Саккери (1733) (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным),

  • немецкий математик Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) (проведя исследования, он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).

Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате:

  • немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825) (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной).

Создание неевклидовой геометрии


Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.

Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи, а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше. Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Например, в письме 1846 года астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так отзывается о работе Лобачевского:

Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет ее «воображаемой геометрией»; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение.[1]

В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист этой теории.

Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решён вопрос о её реальном смысле, логической непротиворечивости.

следующая страница >>


izumzum.ru