Лекция №6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1 48.47kb.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1 123.8kb.
Интегральное исчисление функции одной переменной Задание 1 1 41.82kb.
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 1 15.35kb.
Лабораторная работа №3 Решение задач безусловной оптимизации по дисциплине... 1 65.57kb.
Тема: Производная Пример Найти производную функции Решение 1 40.54kb.
Контрольная работа 5 Интегральное исчисление 5 865.41kb.
Область определения – все значения переменной x. Область определения 1 19.41kb.
Тема Эластичность спроса и предложения Эластичность — степень реагирования... 1 190.33kb.
Прикладная математика Лекция 3 1 66.17kb.
Лекция №1 сущность финансового менеджмента 5 1739.1kb.
Элективный курс «Элементы теории множеств» 1 25.44kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Лекция №6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной - страница №1/1

Лекция №6

Дифференциальное исчисление функции одной переменной


План

1. Непрерывность функции

2. Понятие производной

3. Таблица основных формул дифференцирования

4. Правила дифференцирования

5. Дифференциал

6. Производные высших порядков

1. Непрерывность функции

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что ее графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Если независимая переменная приближается к точке , то значение функции неограниченно приближается к значению функции в точке (рис. 6.1).

Дадим строгое определение непрерывности функции.

Определение 6.1. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ; 2) существует предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.

Ч
асто приходится рассматривать непрерывность функции в точке справа и слева. Пусть функция определена в точке . Если , то говорят, что функция непрерывна в точке справа. Если , то функция непрерывна в точке слева.

Введем теперь понятие точки разрыва.



Определение 6.2. Точка называется точкой разрыва функции , если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при функция разрывная. Это может произойти, если в точке функция не определена, или не существует предел функции при , или, наконец, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке : .

Точки разрыва бывают двух типов.

Определение 6.3. Точка разрыва функции называется точкой разрыва I рода, если существуют оба односторонних предела и .

Определение 6.4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из двух пределов или стремится к бесконечности.

Пример 6.1. Рассмотрим функцию:

(6.1)

Даная функция имеет в точке разрыв первого рода, поскольку для нее существуют пределы при и справа и слева:



(6.2)

(6.3)

Пример 6.2. Рассмотрим следующую функцию:

(6.4)

Данная функция имеет в точке разрыв второго рода, поскольку для нее не существуют конечные пределы при ни слева, ни справа:



(6.5)

(6.6)

На рис. 6.2 представлены графики двух функций, которые были рассмотрены в примерах 6.1 и 6.2 .



2. Понятие производной

Пусть дана функция . Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное и новое . Разность называется приращением аргумента в точке (кратко – приращением аргумента) и обозначается символом .

При этом если изменяется аргумент, то и функция получит некоторое приращение в точке : . Приращение функции в точке кратко обозначается . На рис. 4.3 показаны величины и .

Таким образом, можно записать:



(6.7)

(6.8)

или:


(6.9)

(6.10)

Подставляя в формулу (6.8) выражение (6.9), получим:



(6.11)

Составим отношение:



(6.12)

Определение 6.5. Производной функции называется предел отношения ее приращения к соответствующему приращению независимой переменной, когда :

(6.13)

Для одной и той же функции производную можно вычислить в различных точках .

Наряду с обозначением для производной функции употребляются и другие обозначения: , .

Нахождение производной называется дифференцированием.

Функция , имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно.



Пример 6.3. Используя определение, вычислим производную функции .

=

=



Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной в этой точке:

(6.14)

Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени , т.е.:



(6.15)

3. Таблица основных формул дифференцирования

Не обязательно находить производную, используя определение. Иногда этот процесс бывает слишком трудоёмким, а иногда практически неосуществимым.

При помощи основных формул и правил дифференцирования можно найти производную практически любой функции, которую можно представить как комбинация элементарных функций и действий над ними.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

4. Правила дифференцирования

1. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:



(6.16)

Пример 6.4. Найти производную функции

2. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле:



(6.17)

Пример 6.5. Найти производную функции

3. Если функция дифференцируема в данной точке , то в той же точке дифференцируема и функция представляющая собой произведение функции на константу . При этом данную константу можно вынести за знак производной:



(6.18)

Пример 6.6. Найти производную функции

4. Если в данной точке функции и дифференцируемы и , то в той же точке дифференцируемо и их частное , причем:



(6.19)

Пример 6.7. Найти производную функции

5. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в данной точке имеет производную , которая находится по следующей формуле:



(6.20)

Пример 6.8. Найти производную функции



5. Дифференциал

Приращение функции в точке можно представить в следующем виде:



, (6.21)

где – приращение аргумента, вызвавшее приращение функции ; – постоянная (т.е. величина, не зависящая от ); – бесконечно малая функция высшего порядка малости, чем , т.е. .



Определение 6.6. Если приращение функции в точке может быть представлена по формуле (6.21), то главная часть приращения функции , пропорциональная приращению аргумента, называется дифференциалом этой функции.

Дифференциал функции обозначается символом . Итак, по определению:



(6.22)

,

6. Производные высших порядков

Значения производной зависят от , т.е. производная представляет собой тоже функцию от . Дифференцируя эту функцию, мы получим вторую производную. Обозначается вторая производная следующим образом: . Аналогично получаются и производные третьего порядка и т.д.



В общем виде производная го порядка от функции называется производная (первого порядка) от производной го порядка и обозначаются символом . Записывается это следующим образом:

(6.23)






izumzum.ru