Лабораторная работа «Кривые второго порядка» - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Линейное уравнение с частными производными второго порядка. 1 18.74kb.
Лабораторная работа. Программирование базовых алгоритмов сортировки 1 145kb.
Лабораторная работа «Семейства растений класса Двудольные» 1 43.9kb.
Контрольная работа №1 Объясните понятие ограниченности. В чём заключается... 1 99.21kb.
Лабораторная работа №1 по дисциплине " Методы и средства гидрометеорологических... 1 147.39kb.
«Построение двухфакторного эксперимента с использованием квадратичной... 2 327.76kb.
Лабораторная работа №14 Сетевая файловая система nfs 1 313.45kb.
Лабораторная работа вариант №5 Проверил: Денисов Владимир Петрович 3 509.43kb.
Исследовательская работа по математике Тема: «Счет и вычисления основа... 1 193.51kb.
Лекция №4. Характеристики типовых звеньев сар (Слайд 1) 1 197.64kb.
Лабораторная работа №20 изучение осциллографа и проверка градуировки... 1 55.04kb.
Работа генератора есс5 1 55.74kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Лабораторная работа «Кривые второго порядка» - страница №1/1

Лабораторная работа «Кривые второго порядка»

Пусть кривая второго порядка задана уравнением



Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

Выясним, какие кривые соответствуют этому уравнению.

Возможны следующие случаи:


  1. АС -> 0 – эллиптический тип.

Канонические уравнения фигур эллиптического типа:

- эллипс,

- точка,

- пустое множество точек (мнимый эллипс).


  1. АС - < 0 – гиперболический тип.

Канонические уравнения фигур гиперболического типа:

- гиперболы,

- пара пересекающихся прямых.


  1. АС -= 0 - параболический тип.

Канонические уравнения фигур параболического типа:

у2 = 2рх (х2 = 2ру) (р 0) – парабола;

у2 = а22 = а2) (а 0) – пара параллельных прямых;

у2 = 0 (х2 = 0) – пара совпадающих прямых;

у2 = -а22 = -а2) (а 0) – пустое множество точек.
Применив преобразование поворота осей координат с использованием формул

x = x΄cosαy΄sinα

y = x΄sinα + y΄cosα,

следует при надлежащем выборе α освободиться в уравнении от члена с произведением координат. Дальнейшие преобразования рассмотрим для каждого типа кривых.



  1. Эллиптический тип.

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

Дополним до полного квадрата члены, содержащие х2 и х, а также y2 и y. После этого уравнение можно будет записать в виде



A(xx0)2 + C(yy0)2 = F1 (2)

Если F1 > 0, то уравнение (2) приводится к виду



,

где , , это уравнение определяет эллипс.

Если F1 > 0, то уравнению (2) соответствует пустое множество.

Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид



A(xx0)2 + C(yy0)2 = 0

и определяет точку М(х0, у0).

При А = С эллипс превращается в окружность: (xx0)2 + (yy0)2 = R2, где .


  1. Гиперболический тип.

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

Как и в первом случае, уравнение (1) можно привести к виду (2).

Если F1 > 0, то уравнение (2) можно записать в виде

.

Действительная ось этой гиперболы параллельна оси Оу.

Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид

A(xx0)2 + C(yy0)2 = 0

Ему соответствует пара пересекающихся прямых. Докажем.

Введем обозначения: A = m2, C = -n2 и запишем уравнение в виде:

m2(xx0)2 - n2(yy0)2 = 0 или

(m(xx0) - n(yy0))(m(xx0) + n(yy0)) = 0.

Это уравнение равносильно следующим двум:



m(x – x0) - n(y – y0) = 0,

m(x – x0) + n(y – y0) = 0,

каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку М(х0, у0).



  1. Параболический тип.

Ax2 + Dx + Ey + F = 0.

Можно считать, что A > 0.

Дополнив члены, содержащие x2 и х, до полного квадрата, получим

A(xx0)2 + Ey = F1.

Если E ≠ 0, то уравнение можно записать в виде yy0 = a(xx0)2. Этому уравнению соответствует парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Если Е = 0 и F1 > 0, то уравнение A(xx0)2 = =F1 равносильно уравнениям

,

,

которые определяют пару параллельных прямых.

Если Е = 0 и F1 < 0, то получим также уравнение A(xx0)2 = F1, которому соответствует пустое множество.

Если Е = 0 и F1 = 0, то A(xx0)2 = 0. Оно определяет пару совпадающих прямых



xx0 = 0.

Если предположить, что С ≠ 0, А = 0, то уравнение (1) будет иметь вид:



Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

Аналогично предыдущему можно показать, что при D 0 это уравнение определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Ох, и может быть приведено к виду



xx0 = а(yy0)2.

Если D = 0, то уравнение определяет пару параллельных прямых или пустое множество.


При переходе основной системы координат хОу к новой х΄О1у΄ направление осей координат остается прежним, за новое начало координат принимается точка О1(a; b). Связь между старыми и новыми координатами некоторой точки плоскости определяется следующими формулами:

x = x΄ + a, y = y΄ + b;

x΄ = x – a, y΄ = y – b.
Пример: х2 – 2ху + у2 – 10х – 6у + 25 = 0.

1) Определим тип кривой: А =1, В/2 = -1, С = 1, АС – (В/2)2 = 0 – кривая параболического типа.

2) Приведем уравнение кривой к каноническому уравнению.

Освободимся от слагаемого содержащего ху. Преобразуем уравнение с помощью формул поворота осей координат:



(x΄cosαy΄sinα)2 – 2(x΄cosαy΄sinα)(x΄sinα + y΄cosα) + (x΄sinα + y΄cosα)2 – 10(x΄cosαy΄sinα) – 6(x΄sinα + +y΄cosα) + 25 = 0, раскроим скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными

(cos2α – 2cosαsinα + sin2α)2 + (sin2α + 2sinαcosα + +cos2α)2 + 2(-cos2α + sin2α –

- cosαsinα +cosαsinα)x΄y΄ – (10cosα + 6sinα) + (10sinα -6cosα) + 25 = 0.

Множитель при слагаемом содержащем приравняем к нулю:



sin2α - cos2α = 0,

sin2α = cos2α,

tg2α = 1,

tgα1 = 1, tgα2 = -1. Возьмем tgα1 = 1; α = .

sinα = ; cosα = .

Подставим найденные значения sinα и cosα :



2 - + + 25 = 0,

2 2 - 8 + 2 + 25 = 0.

Выделим полный квадрат:



2(2 + ) - 8 + 25 = 0,

2( + )2 = 8 + 24.

Получим уравнение



( + )2 =4( - ).

Перейдем к новой системе координат. За новое начало координат возьмем точку О΄, новые координаты выразим через старые :



+ = y΄΄; = y΄΄ - .

х΄ - = х΄΄; х΄ = х΄΄ + .

y΄΄2 = 4 х΄΄ - уравнение параболы в новой системе координат.

3) Определим параметры параболы:



; - уравнение директрисы; F(;0) – фокус.

4) Построим параболу.

В прямоугольной системе координат выполним поворот осей координат на угол α = . Получим систему координат и построим в ней точку О΄. Осуществим параллельный перенос осей координат и в новый центр О΄, получили систему координат , строим в ней параболу y΄΄2 = 4 х΄΄, директрису , фокус F(;0).
парабола



Набор заданий

Определить тип кривой, привести уравнение к каноническому, найти параметры и построить кривую


1. 9х2+9у2+42х-54у-95=0

2. 3х2+3у2+6х-4у-2=0

3. 4х2+3у2-8х+12у-32=0

4. 2х2+у-8х+5=0

5. 4х2-у+8х+7=0

6. 5у2-10у-х+6=0

7. х2-4х-у+5=0

8. 5х22-20х+2у-4=0

9. 108х2+72у2-108х-48у-397=0

10. 196х2+49у2+56х-98у-143=0

11. 9х2+10у2-54х+60у+81=0

12. 4х2+16у2+4х+64у+1=0

13. 144х2+16у2-72х-128у+121=0

14. у2-6х-2у-2=0

15. 3х2-2у2 -6х-8у-17=0

16. 25х2-9у2 +50х+18у+241=0

17. 4х2-2у2 -4х-12у-25=0

18. х2-6у2 +2х+72у-209=0

19. 5х2-2у2 +40х+4у+28=0

20. 49х2-196у2 +56у+780=0

21. 11х2-4у2 +44х=0

22. 9х2-8у2 -6х-16у+65=0

23. 4х2+8х+у=0

24. 4х2-4х-32у-63=0

25. 4у2+32у+х+60=0

26. 81х2+64у2-162х+128у-5039=0

27. 256х2+64у2-512х+16у+1=0

28. 4х2+4у2-32х+4у-35=0

29. 2x2-3y2+8x-6y+3=0

30. -16x2+25y2-32x+100y-316=0

31. 4х22-8х+4у=0

32. 2х2+3у2+12х-6у+21=0

33. 4х22+8х-2у+3=0

34. 9х2+16у2+36х-64у-44=0



35. 5х2+3у2+-10х+12у+17=0