Лабораторная работа №3 Решение задач безусловной оптимизации по дисциплине: " Математические методы исследования операций " - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Что дает решение задач оптимизации 1 28.23kb.
Лабораторная работа №1 по дисциплине " Методы и средства гидрометеорологических... 1 147.39kb.
Лабораторная работа 2 Методы эволюционного поиска для решения задач... 6 390.82kb.
Экзаменационный билет по предмету математические методы исследования... 1 139.75kb.
Методы и средства гидрометеорологических измерений 1 333.08kb.
Линейное программирование: постановка задач и графическое решение... 1 307.48kb.
Лекция №14 Методы оптимизации параметров систем автоматизации 1 120.88kb.
Образец составления списка литературы по дисциплине 1 67.83kb.
"Решение оптимизационных задач линейного программирования" 3 405.66kb.
1. Целями освоения дисциплины «Математические методы защиты информации»... 1 29.57kb.
Рабочая программа учебной дисциплины двм. 02. Математические методы... 1 223.11kb.
Робочая программа учебной дисциплины 2 412.08kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

Лабораторная работа №3 Решение задач безусловной оптимизации по дисциплине: " Математические - страница №1/1


Министерство образования и науки Украины

Национальный горный университет


Институт электроэнергетики

Факультет информационных технологий



Кафедра СА и У




Лабораторная работа №3


Решение задач безусловной оптимизации.

по дисциплине:

Математические методы исследования операций ”


ВЫПОЛНИЛА:

студент группы КС-06-2

Спектр Е.И.

ПРОВЕРИЛА:


ас. Шевченко Ю.А.



Днепропетровск
2009


  1. Цель работы: получить навыки в решении задач безусловной оптимизации.

  2. Краткие теоретические сведения.

Функция одной переменной.








Постановка задачи.

1.Проверить заданные функции одной переменной на наличие локальных и глобальных экстремумов.

2. Проверить заданную функцию трех переменных на наличие локальных и глобальных экстремумов.

Задание 1.1

ƒ(x)=(17-x)3+34



Задание 1.2

ƒ(x)=(17-x)2+68



Задание 2

ƒ(x1,x2,x3)=x12 + 17x22 + 34x32 + x1 x2 – 3x1-2x2



  1. Решение.

Задание 1.1. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функции ƒ(x)=(17 x)3+34

Находим первую производную ƒ(x):

ƒ’(x)= – 3(17 – x)2

Вычисляем корни уравнения ƒ’(x)=0:

– 3(17 – x)2=0 → (17-x)2=0 → х(1)=17

Получили одну стационарную точку ( I={17}), х(1)=17

Определяем характер стационарной точки.

Находим вторую производную ƒ(x):

ƒ”(x)= 6(17 – x)

Вычисляем значение ƒ”(x) в точке х(1):

ƒ”(x(1)=17) = 0

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим третью производную ƒ(х)

ƒ’’’(х)= – 6

Значит, в стационарной точке х(1)=17 не реализован ни min, ни max. Эта точка является точкой перегиба функции ƒ(x).




Ответ: функция ƒ(x)=(17– x)3+34 экстремумов не имеет.

Задание 1.2. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функции ƒ(x)=(17 x)2+68

Находим первую производную ƒ(x):

ƒ’(x)= –2(17– х)

Вычисляем корни уравнения ƒ’(x)=0:

–2(17– х)=0 → 17– х=0 → х(1)=17

Получили одну стационарную точку ( I={17}), х(1)=17

Определяем характер стационарной точки.

Находим вторую производную ƒ(x):

ƒ”(x)= 2 ≠ 0

Поскольку порядок k первой необращающейся в нуль в точке х=17 производной есть четное число (k=2) и ƒ”(x) > 0, то точка х=17 есть точка локального минимума (I=Ø).

Вычисляем предельные значения ƒ(x):

l
x→∞



x→∞
im ƒ(x)=lim ((17-x)2 + 68 ) = ∞
l
x→-∞

x→-∞
im ƒ(x)= lim ((17-x)2 + 68 ) = ∞
Поскольку

V
x→∞



x→-∞
=max {lim ƒ(x), lim ƒ(x)} = + ∞, то ƒ(x) не имеет конечного глобального
максимума.

Поскольку

W
x→∞

x→-∞
=min{lim ƒ(x), lim ƒ(x)} = + ∞ ≠ – ∞, то ƒ(x) имеет конечный глобальный
минимум.

Вычисляется значение ƒ(x) в точке х=17

ƒ(x=17) = 68

Определяем точку глобального минимума ƒ(x):

m
x Є R1
in
ƒ(x)=min { ƒ(x=17), W} = min{68; +∞}=68= ƒ(x=17)

Таким образом, х=17 является точкой глобального минимума ƒ(x)




Ответ: функция ƒ(x)=(17-x)2+68 имеет в точке х=17 глобальный минимум.
Задание 2. Определить точки локальных экстремумов функции ƒ(x1,x2,x3)=x12 + 17x22 + 34x32 + x1 x2 – 3x1-2x2

Находим первые частные производные ƒ(x):



д
= 2х1+ х2 3
ƒ

дx1

д
= 34х2 1 – 2
ƒ

дx2
д
= 68х3
ƒ

дx3
Решаем систему уравнений:


(1)

(2)
1+ х2 3 = 0,


(3)
34х2 1 – 2 = 0,

68х3 = 0;


Разрешаем уравнение (2) относительно х1:

х1= 2 - 34х2

Подставляя полученное выражение в уравнение (1), находим х2:

2(2-34х2) + х2 3 = 0 → 4 – 68х2 + х2 3 = 0 → – 67х2 = –1 → х2 = 1/67

Соответственно:

х(1) = 100/67, х(2) = 1/67, х(3) = 0


Находим вторые частные производные ƒ(x):

д
= 2
2ƒ

дx12
д
= 34
2ƒ

дx22
д
= 68
2ƒ

дx32

=1

д


=
2ƒ д дƒ

дx1 дx2 дx1 дx2

=0

д


=
2ƒ д дƒ

дx1 дx3 дx1 дx3

=1

д


=
2ƒ д дƒ

дx2 дx1 дx2 дx1

=0

д


=
2ƒ д дƒ

дx2 дx3 дx2 дx3

=0

д


=
2ƒ д дƒ

дx3 дx1 дx3 дx1

=0

д


=
2ƒ д дƒ

дx3 дx2 дx3 дx2

Составляем матрицу Гессе:


д2ƒ д2ƒ д2ƒ

дx12 дx1 дx2 дx1 дx3

ƒ’’(x)=

д2ƒ д2ƒ д2ƒ

дx2дx1 дx22 дx2 дx3
д2ƒ д2ƒ д2ƒ

дx3дx1 дx3 дx2 дx32

2
ƒ’’(x)=

1 0

1 34 0


0 0 68
Вычисляем угловые миноры:


M1 = 2 = 2 >0


2 1 1 34

M2 =



= 68-1=67 >0

M3 =

= 4556 >0
2 1 0

1 34 0


0 0 68
Матрица ƒ’’(x) является положительно определенной. Точка А с координатами

х(1) = 100/67, х(2) = 1/67, х(3) = 0 является точкой локального минимума.


Ответ: функция ƒ(x1,x2,x3)=x12 + 17x22 + 34x32 + x1 x2 – 3x1-2x2 имеет в точке

А(100/67, 1/67, 0) локальный минимум.