I. Принятие решений в условиях неопределенности. Вариант 15. 15. ( 0, 1/2 ) ( 6, 1/4 ) ( 5, 1/5 ) ( 2, 1/20 ) 16. ( 6, 1/2 ) ( 2, 1/ - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Принятие решений руководством в условиях неопределенности из-за отсутствия... 1 171.23kb.
Смирнова мария Сергеевна Управление технологическими комплексами... 1 322.44kb.
Справка по результатам изучения вопроса о влиянии позиции Европейского... 1 252.24kb.
Программа дисциплины «Принятие политических решений» 4 491.84kb.
1. Каждая контрольная работа включает 5 вариантов. Студент должен... 5 683.6kb.
Принятие решений в задачах о загрузке рюкзака 1 84.21kb.
Имени петра могилы 2 372.7kb.
Инструкционно технологическая карта занятия по дисциплине «Менеджмент» 1 38.27kb.
1. Менеджеры и организации 1 51.73kb.
Оптимизация технологических процессов и принятие решений 1 197.88kb.
Contrôle, от contrerôle список, ведущийся в двух экземплярах 1 129.61kb.
Даты заезда: 30. 12. 2010 02. 01. 2011, 31. 12. 10 03. 01. 2011,... 1 31.5kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

I. Принятие решений в условиях неопределенности. Вариант 15. 15. ( 0, 1/2 ) ( 6, - страница №1/1




Принятие решений в условиях неопределенности

Часть I. Принятие решений в условиях неопределенности. Вариант 15. 15. ( 0 , 1/2 ) ( 6 , 1/4 ) ( 5 , 1/5 ) ( 2 , 1/20 ) 16. ( 6 , 1/2 ) ( 2 , 1/4 ) ( 8 , 1/5 ) ( 22 , 1/20 ) 17. ( 9 , 1/2 ) ( 4 , 1/4 ) ( 3 , 1/8 ) ( 32 , 1/8 ) 18. ( -6 , 1/2 ) ( -4 , 1/4 ) ( -12 , 1/8 ) ( 10 , 1/8 ) В этих строках опускаем дроби: ( 0 6 5 2 ) ( 6 2 8 22) ( 9 4 3 32) ( -6 -4 -12 10) Полученные строки объединяем в матрицу: 0 6 5 2 6 2 8 22 9 4 3 32 -6 -4 -12 10 рj = ( 1/2 1/4 1/5 1/20 )Руководитель, менеджер, обязан разрешать проблемы, встающие перед ним,перед коллективом, которым он руководит. Он обязан принимать решения. Втеории принятия решений есть специальный термин: ЛПР — Лицо, ПринимающееРешения. Ниже по тексту будем использовать этот термин.Принять решение — это решить некоторую экстремальную задачу, т.е. найтиэкстремум некоторой функции, которую называют целевой, при некоторыхограничениях. Например, линейное программирование представляет целый класстаких экстремальных задач. Методы теории вероятностей и математическойстатистики помогают принимать решения в условиях неопределенности.Не все случайное можно “измерить” вероятностью. Неопределенность — болееширокое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральныйкубик, отличается от неопределенности того, каково будет состояниероссийской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные единичныеслучайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явленияобязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.Предположим, что ЛПР рассматривает несколько возможных решений i = 1,...,m. Ситуация не определена, понятно лишь, что наличествует какой-то извариантов ј = 1,..., n. Если будет принято i-е решение, а ситуация есть j-я, то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход qij. Матрица Q = (qij)называется матрицей последствий (возможных решений). Какое же решение нужнопринять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказанылишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательнобудут приняты ЛПР. Многое будет зависеть от его склонности к риску. Но какоценить риск в данной схеме?Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i-е решение. Нам неизвестнареальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение,т.е. приносящее наибольший доход. Иначе говоря, если ситуация есть j-я, тобыло бы принято решение, дающее доход qj = max qij. Значит, iпринимая i-е решение, мы рискуем получить не qj, а только qij, значит,принятие i-го решения несет риск недобрать rij = qj - qij. Матрица R =(rij) называется матрицей рисков.Пусть матрица последствий есть Q. max 0 6 5 2 5 Q = 6 2 8 22 22 9 4 3 32 32 -6 -4 -12 10 10Составим матрицу рисков R. Имеем q1 = 5, q2 = 22, q3 = 32, q4 = 10.Следовательно, матрица рисков есть R. 9 0 3 30 R = 3 4 0 10 0 2 5 0 15 10 20 22Здесь мы впервые встретились с количественной оценкой риска. Несомненно,что риск — одна из важнейших категорий предпринимательской деятельности,неотъемлемая черта этой деятельности. Как известно, предприниматели живут всреднем лучше, чем остальная часть человечества. Это — награда им за риск водин несчастный день оказаться разоренным. Риск — понятие многогранное и мыеще не раз встретимся с ним.Принятие решений в условиях полной неопределенности.При принятии решений в условиях полной неопределенности некоторымиориентирами могут служить следующие правила-рекомендации.Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая i-е решение,будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е.приносящая самый малый доход ai = min qij. Но теперь уже выберемрешение i0 с jнаибольшим ai0. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i0 такое,что ai0 = max = max (min qij). i j min 0 6 5 2 0 Q = 6 2 8 22 2 9 4 3 32 3 -6 -4 -12 10 -12Так, в вышеуказанном примере имеем a1 = 0, a2 =2, a3 = 3, a4 = -12.Теперь из чисел 0, 2, 3, -12 находим максимальное. Это — 3. Значит, правилаВальда рекомендует принять 3-е решение. Данному правилу следует человек,боящийся риска.Правило Сэвиджа (правило минимального риска). Данному правилу следуетчеловек, боящийся риска. При применении этого правила анализируется матрицарисков R = (rij). Рассматривая i-е решение, будем полагать, что на самомделе складывается ситуация максимального риска bi = max rij. Но jтеперь уже выберем решение i0 с наименьшим bi0. Итак, правило Сэвиджарекомендует принять решение i0 такое, что bi0 = min bi = min (max rij). i j max 9 0 3 30 30 R = 3 4 0 10 10 0 2 5 0 5 15 10 20 22 22 Так, в вышеуказанном примере имеем b1 = 30, b2 =10, b3 = 5, b4 = 22.Теперь из чисел 30, 10, 5, 22 находим минимальное. Это — 5. Значит, правилоСэвиджа рекомендует принять 3-е решение.Правило “розового оптимизма”. ЛПР считает, что для него сложится самаяблагоприятная ситуация, т.е. он получит самый большой доход в результатесвоей деятельности ci = max qij. Теперь выберем решение i0 с наибольшим ci0. Итак, jправило “розового оптимизма рекомендует принять решение i0 такое, что ci0= max (max qij). i j max 0 6 5 2 6 Q = 6 2 8 22 22 9 4 3 32 32 -6 -4 -12 10 10Так, в вышеуказанном примере имеем с1 = 6, с2 = 22, с3 = 32, с4 = 10.Теперь из чисел 6, 22, 32, 10 берем максимальное. Это — 32. Значит, правило“розового оптимизма” рекомендует 3-е решение.Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы кситуации). Принимается решение i, на котором достигается максимум l minqij + (1 - l) max qij, где 0 Ј l Ј 1. Значение l выбирается изсубъективных соображений. Если l приближается к единице, то правило Гурвицаприближается к правилу Вальда, при приближении l к нулю правило Гурвицаприближается к правилу “розового оптимизма”.Возьмем l = 1/2. max min max min 0 6 5 2 6 0 Q = 6 2 8 22 22 2 9 4 3 32 32 3 -6 -4 -12 10 10 -12i1 = Ѕ * 6 + ( 1- Ѕ ) * 0 = 3i2 = Ѕ * 22 + ( 1 - Ѕ ) * 2 = 12i3 = Ѕ * 32 + ( 1 - Ѕ ) * 3 = 17.5i4 = Ѕ * 10 + ( 1 - Ѕ ) * ( -12 ) = -1Итак, мы имеем i1 = 3, i2 = 12, i3 = 17.5, i4 = -1. Теперь из чисел 3, 12,17.5, -1 берем максимальное. Это — 17.5. Значит, правило Гурвицарекомендует 3-е решение.Принятие решений в условиях частичной неопределенности.Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности pj того, чтореальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положениеназывается частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можновыбрать одно из следующих правил.Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемыйфирмой при реализации i-го решения,является случайной величиной Qi с рядом распределения qi1 | . . . |qin | |p1 | |pn | |Математическое ожидание M[Qi] и естьсредний ожидаемый доход, обозначаемый также Qi. Итак, правило рекомендуетпринять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.В приведенном примере вероятности такие (1/2, 1/4, 1/5, 1/20). 0 6 5 2 Q = 6 2 8 22 9 4 3 32 -6 -4 -12 10 рj = ( 1/2 1/4 1/5 1/20 ) 0 6 5 2Q1 : 1/2 1/4 1/5 1/20 6 2 8 22Q2 : 1/2 1/4 1/5 1/20 9 4 3 32Q3 : 1/2 1/4 1/5 1/20 -6 -4 -12 10Q4 : 1/2 1/4 1/5 1/20Q1 = 6/4 + 5/5 + 2/20 = 1,5 + 1 +0,1 = 2,6Q2 = 6/2 + 2/4 + 8/5 + 22/20 = (30+5+16+11)/10 = 62/10 = 6,2Q3 = 9/2 + 4/4 + 3/5 + 32/20 = (45+10+6+16)/10 = 77/10 = 7,7Q4 = - 6/2 - 4/4 - 12/5 + 10/20 = (-30-10-24+5)/10 = - 59/10 = -5,9Максимальный средний ожидаемый доход равен 7.7, что соответствует 3-мурешению.Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации i-го решения является случайной величиной Ri с рядом распределенияri1 |. . . |rin | |p1 | |pn | |Математическое ожидание M[Ri] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемыйтакже Ri. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный среднийожидаемый риск. Вычислим средние ожидаемые риски. 9 0 3 30 R = 3 4 0 10 0 2 5 0 15 10 20 22 рj = ( 1/2 1/4 1/5 1/20 ) 9 0 3 30R1 : 1/2 1/4 1/5 1/20 3 4 0 10R2 : 1/2 1/4 1/5 1/20 0 2 5 0R3 : 1/2 1/4 1/5 1/20 15 10 20 22R4 : 1/2 1/4 1/5 1/20R1 = 9/2 + 3/5 + 30/20 = (45+6+15)/10 = 66/10 = 6.6R2 = 3/2 + 4/4 +10/20 = 1.5 + 1 +0.5 = 3R3 = 2/4 + 5/5 = 15/10 = 1.5R4 = 15/2 + 10/4 + 20/5 + 22/20 = (150+50+80+22)/20 = 302/20 = 15.1Минимальный средний ожидаемый риск равен 1.5, что соответствует 3-мурешению.Иногда в условиях полной неопределенности применяется следующее правило.Правило Лапласа равновозможности, когда все вероятности p считаютсяравными. После этого можно выбрать какое-нибудь из двух приведенных вышеправил-рекомендаций принятия решений.Правило максимизации среднего ожидаемого дохода.Q = |0 6 5 26 2 8 229 4 3 326 -4 -12 10 | | рj = ( 1/4 1/4 1/4 1/4 ) 0 6 5 2Q1 : 1/4 1/4 1/4 1/4 6 2 8 22Q2 : 1/4 1/4 1/4 1/4 9 4 3 32Q3 : 1/4 1/4 1/4 1/4 -6 -4 -12 10Q4 : 1/4 1/4 1/4 1/4Q1 = (6+5+2)/4 = 13/4 = 3,25Q2 = (6+2+8+22)/4 = 38/4 = 9,5Q3 = (9+4+3+32)/4 = 48/4 =12Q4 = (-6-4-12+10)/4 = -12/4 = -3Максимальный средний ожидаемый доход равен 12, что соответствует 3-мурешению.Правило минимизации среднего ожидаемого риска. 9 0 3 30 R = 3 4 0 10 0 2 5 0 15 10 20 22 рj = ( 1/2 1/4 1/5 1/20 ) 9 0 3 30R1 : 1/4 1/4 1/4 1/4 3 4 0 10R2 : 1/4 1/4 1/4 1/4 0 2 5 0R3 : 1/4 1/4 1/4 1/4 15 10 20 22R4 : 1/4 1/4 1/4 1/4R1 = (9+3+30)/4 = 42/4 = 10,5R2 = (3+4+10)/4 = 17/4 = 4,25R3 = (2+5)/4 = 7/4 = 1,75R4 = (15+10+20+22)/4 = 67/4 = 16,75Минимальный средний ожидаемый риск равен 1.75, что соответствует 3-мурешению.При данных вероятностях состояний теперь требуется проанализироватьсемейство из 4-х операций: каждая операция имеет две характеристики —средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Точка (q’, r’) доминируетточку (q, r), если q’іq и r’Јr. Точка, не доминируемая никакой другой,называется оптимальной по Парето.Нанесем для каждой операции эти характеристики на плоскую систему координатдля выявления операции, оптимальной по Парето, доход по вертикали и риск погоризонтали.q 2.6 6.2 7.7 -5.9r 6.6 3 1.5 15.1[pic]Получим четыре точки. Чем выше точка (q, r), тем доходнее операция, чемправее точка, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать выше и левее.Это точка Q3 (7.7, 1.5). Она является оптимальной по Парето, т.к.доминирует остальные точки.Затем найдем выпуклую оболочку множества полученных точек и дадиминтерпретацию точек полученной выпуклой оболочки.[pic]Точка Q5 находится на равных расстояниях от точек Q1 и Q4, и соответственноимеет координаты (10.9, -1.7). Аналогично, точка Q6 расположена междуточками Q1 и Q2 и имеет координаты (4.8, 4.4).Байесовский подход к принятию решений.Предположим, предприниматель раздумывает над выбросом на рынок новогоперспективного товара. Но он не знает, “пойдет” ли товар. Для уточненияситуации он производит пробную партию и смотрит, как он раскупается. Послеэтого ситуация становится более определенной, более прогнозируемой. Дляуточнения этой ситуации можно выпустить еще одну пробную партию ипроанализировать какие-нибудь другие моменты.В общем, байесовский подход выглядит следующим образом. Предположим, мыимеем вероятностный прогноз ситуации S: P(S=Hi)=pi. Имея такой прогноз,можно найти средний ожидаемый доход [pic] или средний ожидаемый риск[pic].Рассмотрим возможность проведения пробной операции, которая уточнит pi.Новое распределение вероятностей есть pi’. Новому распределениювероятностей соответствуют новые характеристики: средний ожидаемыйдоход[pic], средний ожидаемый риск[pic]. Если ЛПР решит, что при уточнениипробная операция оправдывается (например, если увеличение среднегоожидаемого дохода превышает затраты на проведение пробной операции), то онее проводит. 0 6 5 2 Q = 6 2 8 22 9 4 3 32 -6 -4 -12 10 рj’ = ( 1/6 1/6 1/3 1/3 ) 0 6 5 2Q1’ : 1/6 1/6 1/3 1/3 6 2 8 22Q2’ : 1/6 1/6 1/3 1/3 9 4 3 32Q3’ : 1/6 1/6 1/3 1/3 -6 -4 -12 10Q4’ : 1/6 1/6 1/3 1/3Q1‘= 6/6 + 5/3 + 2/3 = 20/6Q2‘ = 6/6 + 2/6 + 8/3+ 22/3 = 68/6Q3‘ = 9/6 + 4/6 + 3/3 + 32/3 = 83/6Q4‘ = - 6/2 - 4/4 - 12/5 + 10/20 = -14/6Наибольший доход при пробной операции будет получен при 3-ем решении.Теперь выясним, стоит ли производить пробную операцию, т.е. найдем разностьмежду средним ожидаемым доходом от основной операции (см. Правиломаксимизации среднего ожидаемого дохода) и полученными в результате пробнойоперации данными, (83/6 - 7,7 = 184/30 = 92/15 @ 6,13). В итоге можносказать, что стоимость пробной операции в данном примере не должнапревышать @ 6,13.Для нахождения лучших операций иногда применяют подходящую взвешивающуюформулу, которая для пар (Q, r) дает одна число, по которому и определяютлучшую операцию.Для анализа ситуаций можно применить взвешивающую формулу E(Q, r) = 4Q -r. Данная формула говорит, что доход ценится в четыре раза больше, чемриск, т.е. увеличение риска на 4 компенсируется увеличением дохода наединицу.E1 = 4*2.6 - 6.6 = 3.8E2 = 4*6.2 - 3 = 21.8E3 = 4*7.7 - 1.5 = 29.3E4 = 4*(-5.9) - 25.1 = -48.7Согласно этой формуле лучшей операцией считается операция № 3, а худшей —операция № 4.Часть I I. Анализ доходности и рискованности финансовых операций.( 10, 1/4 ) ( 8, 1/4 ) ( 2, 1/3 ) ( 4, 1/6 )( -6, 1/4 ) ( -2, 1/4 ) ( 10, 1/3 ) ( -6, 1/6 )( 10, 1/3 ) ( 2, 1/3 ) ( 4, 1/6 ) ( 16, 1/6 )( -6, 1/3 ) ( 15, 1/3) ( -4, 1/6 ) ( 3, 1/6 )Составим матрицу Q. 10 8 2 4Q = -6 -2 10 -6 10 2 4 16 -6 15 -4 3 pj = ( 1/4 1/4 1/3 1/6 )Риск как среднее квадратическое отклонение.Риск как среднее квадратическое отклонение — еще одно понимание риска.Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина Q.Как уже указывалось, средний ожидаемый доход — это математическое ожиданиеслучайно величины Q. А вот среднее квадратическое отклонение dQ = [pic] —это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднегоожидаемого дохода. Напомним, что D[Q] = M[(Q - mQ)2].Найдем риски в их новом определении ri доходов Qi. 10 8 2 4Q = -6 -2 10 -6 10 2 4 16 -6 15 -4 3 pj = ( 1/4 1/4 1/3 1/6 ) 10 8 2 4Q1 : 1/4 1/4 1/3 1/6 -6 -2 10 -6Q2 : 1/4 1/4 1/3 1/6 10 2 4 16Q3 : 1/4 1/4 1/3 1/6 -6 15 -4 3Q4 : 1/4 1/4 1/3 1/6[pic] = 10/4+8/4+2/3+4/6 = 70/12 @ 5.83[pic] = -6/6-2/4+10/3-6/6 = 4/12 @0.33[pic] = 10/4+2/4+4/3+16/6 = 84/12 = 7[pic] = -6/6+15/4-4/3+3/6 = 17/12 @ 1.42D1 = 2384/144 @ 16.56 r1 @ 4.07D2 = 443/9 @ 49.22 r2 @ 7.02D3 = 25 r3 = 5D4 = 10091/144 @ 70.08 r4 @ 8.37Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость — доход [pic]откладываем по вертикали, а риски — по горизонтали.[pic]Получили четыре точки. Чем выше точка (q, r), тем более доходная операция,чем точка правее — тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точкулевее и выше. Точка (q’, r’) доминирует точку (q, r), если q’іq и r’Јr.В данном примере точка Q3 доминирует точки Q2 и Q4, точка Q1 доминируетточки Q2 и Q4. Точки Q1 и Q3 несравнимы — доходность 3-ей больше, но и рискее тоже больше. Точка, не доминируемая никакой другой, называетсяоптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множествомоптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операцийнадо выбрать лучшую, то ее обязательно надо выбирать из операций,оптимальный по Парето.Предположим, что все операции независимы друг от друга, тогда можновыяснить, нет операции, являющейся линейной комбинацией основных операций,более хорошей, чем имеющиеся.[pic][pic][pic][pic]Теперь найдем [pic], при которой риск будет минимальным. Т.к.[pic]стремится к минимуму, то [pic] также стремиться к минимуму.[pic][pic]График данной функции представляет собой параболу, ветви направлены вверх,значит, минимальное значение данной функции будет в точке перегиба —операция, являющаяся линейной комбинацией основных операций, будет иметьминимальный риск при [pic]. Этот риск будет равен 3.38, а доходсоответственно 6,08. Полученная точка Q’(6.08, 3.38) доминирует точкуQ1(5.83,4.07).Для нахождения лучших операций иногда применяют подходящую взвешивающуюформулу, которая для пар (q, r) дает одно число, по которому и определяютлучшую операцию.Для анализа ситуаций применим взвешивающую формулу E(Q, r) = 4Q - r.Данная формула говорит, что доход ценится в четыре раза больше, чем риск,т.е. увеличение риска на 4 компенсируется увеличением дохода на единицу.Тогда для 1-ой операции Е = 19.25, для 3-ей операции Е = 23. При сравнениирезультатов анализа видно, что при данном отношении к рискованностиопераций лучшей является 3-я операция.Часть III. Анализ денежных потоков.Анализ одномерных денежных потоков.Исходные данные: ежедневные суммарные зачисления по счетам юридических лицза апрель месяц.|число |день |сумма ||месяца|недели |(тыс. руб)||1 |ср |47 ||2 |чт |44 ||3 |пт |31 ||4 |сб |28 ||5 |вс | ||6 |пн |42 ||7 |вт |48 ||8 |ср |39 ||9 |чт |40 ||10 |пт |38 ||11 |сб |15 ||12 |вс | ||13 |пн |45 ||14 |вт |53 ||15 |ср |41 ||16 |чт |27 ||17 |пт |56 ||18 |сб |25 ||19 |вс | ||20 |пн |51 ||21 |вт |32 ||22 |ср |49 ||23 |чт |21 ||24 |пт |35 ||25 |сб |13 ||26 |вс | ||27 |пн |58 ||28 |вт |59 ||29 |ср |29 ||30 |чт |30 ||числовой |частота |частость |выборочная ||ряд (хi) |(mi) |([pic]=mi/n|функция || | |) |распределения[p|| | | |ic] ||13 |1 |0,04 |0,04 ||15 |1 |0,04 |0,08 ||21 |1 |0,04 |0,12 ||25 |1 |0,04 |0,15 ||27 |1 |0,04 |0,19 ||28 |1 |0,04 |0,23 ||29 |1 |0,04 |0,27 ||30 |1 |0,04 |0,31 ||31 |1 |0,04 |0,35 ||32 |1 |0,04 |0,38 ||35 |1 |0,04 |0,42 ||38 |1 |0,04 |0,46 ||39 |1 |0,04 |0,50 ||40 |1 |0,04 |0,54 ||41 |1 |0,04 |0,58 ||42 |1 |0,04 |0,62 ||44 |1 |0,04 |0,65 ||45 |1 |0,04 |0,69 ||47 |1 |0,04 |0,73 ||48 |1 |0,04 |0,77 ||49 |1 |0,04 |0,81 ||51 |1 |0,04 |0,85 ||53 |1 |0,04 |0,88 ||56 |1 |0,04 |0,92 ||58 |1 |0,04 |0,96 ||59 |1 |0,04 |1,00 |График выборочной функции распределения [pic].[pic]Теперь построим интервальный вариационный ряд. Рассчитаем длину интервалапо формуле [pic], где а — верхняя граница и b — нижняя граница дляинтервалов, v — количество интервалов. Для данного примера а = 59, b = 13,v = 6, а h = 9.|интер-|сере- |частота|частость |выборочная |выборочная ||валы |дина | |([pic]) |функция |плотность ||[ai-ai|интер-ва|(mi) | |распределе-ния|([pic]) ||+1) |ла | | | | || |(yi) | | |[pic] | || 9-18 |13,5 |2 |0,08 |0,08 |0,22 ||18-27 |22,5 |2 |0,08 |0,16 |0,22 ||27-36 |31,5 |7 |0,27 |0,43 |0,78 ||36-45 |40,5 |6 |0,23 |0,66 |0,67 ||45-54 |49,5 |5 |0,19 |0,85 |0,56 ||54-63 |58,5 |4 |0,15 |1 |0,44 |[pic]График функции распределения [pic] выглядит следующим образом.[pic]Многоугольник интервальных частостей дает более наглядное представление озакономерности изменения ежедневных денежных потоков, т.к. суммызачислений в разные дни различны и их можно анализировать только по ихвхождению в какой-либо интервал.Выборочное среднее считается следующим способом:непосредственно по исходным данным [pic], [pic].по дискретному вариационному ряду[pic], где v — число вариантов выборки, но в данном примере v = n. [pic].по интервальному вариационному ряду [pic], таким образом можно найти лишь приближенное значение выборочнойсредней. [pic].Аналогом дисперсии является выборочная дисперсия:непосредственно по исходным данным [pic], [pic].по дискретному вариационному ряду [pic],[pic].по интервальному вариационному ряду приблизительное значение [pic],[pic].Среднее квадратическое отклонение рассчитывается как квадратный корень издисперсии.[pic][pic][pic]Исследуемая нами большая совокупность называется генеральной совокупностью.Теоретически может быть бесконечной В данном примере выборка состоит из 26элементов. Понятия генеральной совокупности и случайной величинывзаимозаменяемы.Любая функция от выборки называется статистикой.Пусть Q — некоторый параметр с.в. Х. Мы хотим определить хотя быприближенно, значение этого параметра. С этой целью подбираем статистику[pic], которая должна оценивать, может быть приближенно, параметр Q.Заметим, что любая статистика есть с.в., поскольку она определена навыборках. Статистику [pic], определенную на выборках объемом n, будемобозначать[pic].Статистика должна удовлетворять следующим требованиям:состоятельность. Статистика-оценка должна сходиться к оцениваемомупараметру при [pic].несмещенность. [pic] для всех достаточно больших n.Генеральная средняя удовлетворяет обоим условиям, поэтому составляет[pic], но генеральная дисперсия удовлетворяет лишь первому условия, поэтомуее «подправляют», умножая на [pic]. В результате, [pic]. Это и являетсянесмещенной оценкой генеральной дисперсии.Для построения графика выборочной функции плотности рассчитываетсявыборочная плотность [pic] (см. выше).[pic]Теперь отметим на графике [pic] и интервалы [pic]и [pic], если [pic].[pic]Площадь многоугольника, опирающегося на интервал [pic], примерно равна 3/4,а площадь многоугольника, опирающегося на интервал[pic], равна единице.Предположим, что размер ежедневного суммарного зачисления по счетамюридических лиц, обозначим его через случайную величину Х, имеет нормальныйзакон распределения [pic], тогда плотность распределения вероятностей равна[pic], а функция распределения [pic].[pic]Отметим полученные точки на графике[pic]Положение о нормальном законе распределения не противоречит исходнымданным.[pic]Вероятность попадания ежедневного суммарного зачисления по счетамюридических лиц в интервал [pic] равна 0.364, в интервал [pic] — 0,996.Теперь рассчитаем, за сколько дней надо иметь информацию, чтобы свероятностью не менее 0.9 можно было ожидать, что вычисленное по этойинформации среднее зачисление отличается от генерального среднегозачисления по абсолютной величине не более, чем на 10% величины среднегозачисления.Используя неравенство Чебышева.[pic]Используя центральную предельную теорему.[pic]Исходные данные — ежедневные суммарные списания со счетов юридических лицза апрель месяц.|число |день |сумма ||месяца|недели |(тыс. руб)|| | | ||1 |ср |46 ||2 |чт |54 ||3 |пт |42 ||4 |сб |28 ||5 |вс | ||6 |пн |57 ||7 |вт |26 ||8 |ср |48 ||9 |чт |45 ||10 |пт |32 ||11 |сб |29 ||12 |вс | ||13 |пн |52 ||14 |вт |33 ||15 |ср |50 ||16 |чт |22 ||17 |пт |36 ||18 |сб |14 ||19 |вс | ||20 |пн |59 ||21 |вт |49 ||22 |ср |30 ||23 |чт |31 ||24 |пт |43 ||25 |сб |16 ||26 |вс | ||27 |пн |40 ||28 |вт |41 ||29 |ср |39 ||30 |чт |62 |Построим интервальный вариационный ряд и график выборочной функцииплотности.|интер-|сере- |частота|частость |выборочная |выборочная ||валы |дина | |([pic]) |функция |плотность ||[ai-ai|интер-ва|(mi) | |распределе-н|([pic]) ||+1) |ла | | |ия | || |(yi) | | |[pic] | || 8-16 |12 |1 |0,04 |0,04 |0,005 ||16-24 |20 |2 |0,08 |0,12 |0,010 ||24-32 |28 |5 |0,19 |0,31 |0,024 ||32-40 |36 |4 |0,15 |0,46 |0,019 ||40-48 |44 |6 |0,23 |0,69 |0,029 ||48-56 |52 |5 |0,19 |0,88 |0,024 ||56-64 |60 |3 |0,12 |1,00 |0,014 |Выборочная функция плотности.[pic]Найдем несмещенные выборочные оценкигенеральной средней [pic]дисперсии [pic], [pic].Предположим, что размер ежедневных суммарных списаний со счетов юридическихлиц — нормально распределенная случайная величина, тогда функция плотности[pic].[pic] [pic]Нанесем точки на график[pic]Предположение о нормальном законе распределении не противоречит исходнымданным.Анализ двумерных денежных потоков.Исходные данные: ежедневные суммарные зачисления и списания со счетовюридических лиц за апрель месяц.|число |день |сумма |сумма ||месяца|недели |зачислений |списаний || | |(тыс. руб) |(тыс. руб) ||1 |ср |47 |46 ||2 |чт |44 |54 ||3 |пт |31 |42 ||4 |сб |28 |28 ||5 |вс | | ||6 |пн |42 |57 ||7 |вт |48 |26 ||8 |ср |39 |48 ||9 |чт |40 |45 ||10 |пт |38 |32 ||11 |сб |15 |29 ||12 |вс | | ||13 |пн |45 |52 ||14 |вт |53 |33 ||15 |ср |41 |50 ||16 |чт |27 |22 ||17 |пт |56 |36 ||18 |сб |25 |14 ||19 |вс | | ||20 |пн |51 |59 ||21 |вт |32 |49 ||22 |ср |49 |30 ||23 |чт |21 |31 ||24 |пт |35 |43 ||25 |сб |13 |16 ||26 |вс | | ||27 |пн |58 |40 ||28 |вт |59 |41 ||29 |ср |29 |39 ||30 |чт |30 |61 |Построим двумерную корреляционную таблицу:| |i |1 |2 |3 |4 |5 |6 | ||j |Y X|13,5 |22,5 |31,5 |40,5 |49,5 |58,5 |[pic] ||1 |12 |0 |1 |0 |0 |0 |0 |1 ||2 |20 |1 |0 |1 |0 |0 |0 |2 ||3 |28 |1 |1 |1 |0 |2 |0 |5 ||4 |36 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |4 ||5 |44 |0 |0 |2 |1 |1 |2 |6 ||6 |52 |0 |0 |1 |3 |1 |0 |5 ||7 |60 |0 |0 |1 |1 |1 |0 |3 || |ni |2 |2 |7 |6 |6 |3 |26 || |[pic] |24 |20 |40 |49 |41 |41 | || |[pic] |0 |0 |0,57 |0,33 |0,33 |0,33 | |Общая средняя [pic], [pic].Общая дисперсия [pic] , [pic]Средняя из групповых дисперсий [pic], [pic].Дисперсия групповых средних [pic], [pic]Выборочная средняя и дисперсия компоненты Х : [pic] и [pic] (расчеты см.выше).График поля корреляции и линия групповых средних компоненты Y.[pic]|Y=1|13,|22,|31,|40,|49,|58,||2 |5 |5 |5 |5 |5 |5 || |0 |1 |0 |0 |0 |0 |M[Y/X=12] = 22,5D[Y/X=12] = 0|Y=2|13,|22,|31,|40,|49,|58,||0 |5 |5 |5 |5 |5 |5 || |1/2|0 |1/2|0 |0 |0 |M[Y/X=20] = 22,5D[Y/X=20] = 81|Y=2|13,|22,|31,|40,|49,|58,||8 |5 |5 |5 |5 |5 |5 || |1/5|1/5|1/5|0 |2/5|0 |M[Y/X=28] = 33,3D[Y/X=28] = 207,36|Y=3|13,|22,|31,|40,|49,|58,||6 |5 |5 |5 |5 |5 |5 || |0 |0 |1/4|1/4|1/4|1/4|M[Y/X=36] = 45D[Y/X=36] = 101,25|Y=4|13,|22,|31,|40,|49,|58,||4 |5 |5 |5 |5 |5 |5 || |0 |0 |2/6|1/6|1/6|2/6|M[Y/X=44] = 45D[Y/X=44] = 128,25|Y=5|13,|22,|31,|40,|49,|58,||2 |5 |5 |5 |5 |5 |5 || |0 |0 |1/5|3/5|1/5|0 |M[Y/X=52] = 40,5D[Y/X=52] =32,4|Y=6|13,|22,|31,|40,|49,|58,||0 |5 |5 |5 |5 |5 |5 || |0 |0 |1/3|1/3|1/3|0 |M[Y/X=60] = 40,5D[Y/X=60] = 54D[Y, ост] = 121,25Коэффициент детерминации К = 1 - 121,25/169 = 0,28Корреляционное отношение [pic] (близость корреляционного отношения кединице указывает на то, что зависимость Y от Х близка к функциональной).Корреляционный момент[pic], [pic]Коэффициент корреляции [pic], [pic]. Показывает степень линейнойзависимости между случайными величинами.Выборочный коэффициент детерминации [pic], равен 1,008.Выборочное корреляционное отношение [pic], равен 1,004.Отношение коэффициента детерминации и коэффициента корреляции равно 0,76.Уравнение регрессии y=0.37x+25.57. Прямая регрессии обязательно проходитчерез точку [pic].[pic][pic]Теперь оценим, на сколько процентов (по отношению к размеру среднегоежедневного зачисления) изменится ожидаемое значение ежедневного списанияпри увеличении на 1% (по отношению к размеру ежедневного списания)ежедневного зачисления. y=0.37x+25.57(0,37*40,4+25,57)/(0,37*40+25,57)=1,004Значит, при увеличении ежедневного зачисления на 1% ожидаемое значениеежедневного списания увеличится на 0,4%.


izumzum.ru