Г. Б. Шабат. Предисловие Лиза Лепихова - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Г. Б. Шабат. Предисловие Лиза Лепихова - страница №1/1

09.5.19 / 09.6.7
ДВУКВАДРАТНЫЕ
ЧИСЛА

0. Г.Б.Шабат. Предисловие..............................................................2

  1. Лиза Лепихова. Таблица двуквадратных чисел и наблюдения...................................................................................3

  2. Нина Шиндовски. Двуквадратные числа и площади косых квадратов......................................................................................6

  3. Антон Шабат. Волшебная формула и super13......................11


Заключение. Над чем думать дальше.........................................16

Москва , весна 2009
0. Предисловие
Г.Б.Шабат
Весной 2009 года я проводил еженедельные домашние занятия с небольшой группой пятиклассниц и одним третьеклассником (двое из участников – мои внуки). Это называлось Малый КЭМ (Клуб Экспериментальной Математики). Предлагаемый сборник – продукт наших занятий. Тексты написаны детьми (с умеренным участием взрослых) на основе их докладов на семинаре А.И. Сгибнева в МЦНМО 19 мая 2009 г.
Мы ничего не доказывали и почти ничего не пытались объяснить. Мы учились наблюдать, подмечать закономерности и радоваться их проявлениям.
В процессе работы участники овладели компьютерными программами «Живая Геометрия» и MAPLE и активно их использовали.
Я признателен своим детям – М.Г.Шабат, придумавшей и организовавшей эти занятия, и В.Г. Шабату, помогавшему в работе. Техника работы с «косыми квадратами» перенята мной у А.К.Звонкина, которому я признателен и за эту технику, и за некоторые заимствованные у него приёмы работы с детьми, и за многое другое.


  1. Таблица двуквадратных чисел и наблюдения


Лиза Лепихова.

0. Определения
0.0. Все числа – натуральные: 0,1,2,...
0.1. Двуквадратное число – это число, которое равно сумме двух квадратов.
0.2. Двувидово-двуквадратное число – это двуквадратное число, которое можно выразить как сумму двух квадратов двумя по-настоящему разными способами – то есть не просто переставив слагаемые. Например,
25 = 02+52 = 32+42.
1. Таблица двуквадратных чисел от 1 до 150.


исключение!

2

-

1*1 + 1*1

-

4

2*2

2*2 + 0*0

4*1 + 1

5

-

2*2 + 1*1

-

8

2*2*2

2*2 + 2*2

-

9

3*3

3*3 + 0*0

-

10

2*5

3*3 + 1*1

4*3 +1

13

-

3*3 + 2*2

-

16

2*2*2*2

4*4 + 0*0

4*4 +1

17

-

4*4 + 1*1

-

18

2*3*3

3*3 + 3*3

-

20

2*2*5

4*4 + 2*2

-

25

5*5

*5*5 + 0*0 = 4* 4 + 3*3

-

26

2*13

5*5 + 1*1

4*7 + 1

29

-

2*2 +5*5

-

32

2*2*2*2*2

4*4 + 4*4

-

34

2*17

5*5 + 3*3

-

36

2*2*3*3

6*6 + 0*0

-

37

-

6*6 + 1*1

-

40

2*2*2*5

6*6 + 2*2

4*10 + 1

41

-

5*5 + 4*4

-

45

3*3*5

6*6 + 3*3

-

50

2*2*5

* 5*5 + 5*5 = 7*7 + 1*1

-

52

2*2*13

6*6 + 4*4

-

58

2*29

7*7 + 3*3

4*15 + 1

61

-

6*6 + 5*5

-

65

5*13

8*8 + 1*1 = 4*4 + 7*7

-

68

2*2*17

8*8 + 2*2

-

72

2*2*2*3*3

6*6 + 6*6

4*18 +1

73

-

8*8 + 3*3

-

74

2*37

7*7 + 5*5

-

80

2*2*2*2*5

8*8 + 4*4

-

82

2*3*13

9*9 + 1*1

-

85

5*17

7*7+ 6*6 = 9*9 + 2*2

4*22 +1

89

-

8*8 + 5*5

-

90

2*3*3*5

9*9 + 3*3

4*24 +1

97

-

9*9 + 4*4

-

98

2*7*7

7*7 + 7*7

-

100

2*2*5*5

8*8 + 6*6 = 10*10 + 0*0

-

104

2*2*2*13

10*10 + 2*2

-

106

2*53

9*9 + 5*5

4*27 + 1

109

-

10*10 + 3*3

4*28 + 1

113

-

8*8 + 7*7

-

116

2*2*29

10*10 + 4*4

-

117

3*3*13

9*9 + 6*6

-

121

11*11

11*11 + 0*0

-

122

2*61

11*11 + 1*1

-

125

5*5*5

10*10 + 5*5

-

128

2*2*2*2*2*2*2

8*8 + 8*8

-

130

2*5*13

9*9 + 7*7

-

136

2*2*2*17

10*10 + 6*6

4*34 + 1

137

-

11*11 + 4*4

-

144

2*2*2*2*3*3

12*12 + 0*0

-

145

5*29

12*12 + 1*1

-

146

2*73

11*11 +5*5

-

148

2*2*37

12*12 +2*2

4*37 + 1

149

-

10*10 + 7*7



2. Наблюдения.
2.1. Среди двуквадратных чисел есть простые. (Они выделены жирным шрифтом.) Все простые двуквадратные числа (кроме 2) в таблице при делении на 4 дают остаток 1.
2.2. Произведения двуквадратных чисел двуквадратны. Это объясняется волшебной формулой – см. презентацию Антона.
2.3. Двувидово-двуквадратные числа (в таблице они выделены зелёным) имеют общее свойство: это произведения двух простых нечётных двуквадратных чисел. Кроме 50, и об этом числе надо ещё подумать. Я проверила это правило на MAPLE и для других чисел, не вошедших в таблицу.
Оказывается, например, что
13*17 = 221 = 142 + 52 = 112 + 102,
а

41*61 = 2501 = 502 + 12 = 492 + 102.


Правило продолжает работать!
Последние числа находятся с помощью такой программы на MAPLE:
MAPLE отвечает

1, 50

10, 49

49, 10

50, 1.

Площади косых квадратов и двуквадратные числа
Нина Шиндовски
0. Определения
0.0. Вот косой отрезок.

Он строится так: «5 клеточек вправо, 3 вниз». Можно ещё сказать, что это – отрезок типа (5,-3).
0.1. Косым квадратом мы называем квадрат, стороны которого – косые отрезки. Например,

Это – квадрат типа (3,2). Его стороны – косые отрезки типов (3,-2), (-2,-3),

(-3, 2) и (2, 3).

1. Как считать площади косых квадратов.
Я объясню это на примере только что нарисованного квадрата. Сначала я вписываю его в прямой квадрат:

Площадь большого квадрата равна 55 = 25 клеточек.
Теперь отрезаю уголки:

А теперь представляю себе, что противоположные уголки наехали друг на друга:



Теперь я вижу, что в каждой паре соединившихся уголков по 23 = 6 клеточек. Значит, вся площадь уголков равна 6 + 6 = 12 уголков.
А площадь косого синего квадрата равна площади прямого жёлтого, уменьшенной на площадь уголков, то есть 25 – 12 = 13 клеточек.
Таким же способом я посчитала площади всех косых квадратов от 1 до 25.

2. Список косых квадратов и их площадей
.
5=22+12

1=12+02

2=12+12

8=22+22

9=32+02

10=32+12

13=32+22

16=42+02

17=42+12

18=32+32

20=42+22

4=22+02

25=42+32=52+02



2. Наблюдения
Если сравнить мои площади с числами из Лизиной таблицы, то видно, что
2.1. Все площади косых квадратов – двуквадратные числа.

2.2. И наоборот, все двуквадратные числа – площади косых квадратов.
Это не случайно. Можно заметить, что
2.3. Площадь косого квадрата типа (a,b) равна a2+b2.
И последнее наблюдение.
2.4. Квадрат с двувидово-двуквадратной площадью (например, 25) можно уложить на клетчатую бумагу двумя разными способами (см. рисунок внизу страницы).


Волшебная формула и super13
Введение (Г.Б Шабат). Работа Антона требует некоторых объяснений.
Когда мы освоили MAPLE, нам захотелось поработать с БОЛЬШИМИ двуквадратными числами. Мы уже знали достаточно, чтобы сразу определять, двуквадратно ли, скажем, некоторое 20-значное число: MAPLE быстро раскладывает его на простые множители и, глядя только на последние две цифры этих множителей, мы сразу определяли их остатки от деления на 4.
Мы стали испытывать разные большие числа. Чего мы только не пробовали! Мы писали наши телефоны и телефоны наших родственников и знакомых, приписывали эти телефоны друг к другу, выписывали свои даты рождения и даты рождения наших мам, зажмуривались и по очереди набирали случайные цифры... Ничего не получалось!
Точнее, обычно получалось вот что. Наши большие числа оказывались составными1. Они разлагались в произведения степеней 2 и нескольких нечётных простых, из которых хотя бы одно оканчивалось на 03, 07, 11, ...91, 99, т.е. давало остаток 3 при делении на 4.
Это казалось цепочкой неудач, особенно с учётом усиленной формы теоремы Дирихле о простых в арифметических прогрессиях (дети, кажется, поняли её формулировку): простых чисел вида 4n+1, меньших данного (большого) числа, примерно столько же, сколько простых чисел вида 4n+3. Но, когда наши простые возникали как группки простых множителей случайного большого числа, множители видов 4n+1 и 4n+3 почему-то всё время перемешивались!
Только после занятия, продумывая его с взрослой точки зрения, я понял, что ничего удивительного не происходило. Во-первых, почему нам не попадались простые числа? Согласно закону ... – Гаусса – Чебышёва – ...Адамара – Валле-Пуссена, количество простых чисел, не превосходящих х, приближённо равно ; иначе говоря, вероятность того, что наугад взятое число от 2 до х окажется простым, обратно пропорциональна количеству знаков х и приближённо равна . В пределах наших экспериментов, скажем, при х = 1020, это даёт , т.е.около 2%.

Во-вторых, почему не попадались двуквадратные числа? Согласно гораздо менее известному факту, независимо обнаруженному Э. Ландау и Рамануджаном (см., например, Shiu, P. Counting sums of Two squares: The Meissel-Lehmer Method. Math. Comput. 47, 351-360, 1986), количество двуквадратных чисел, не превосходящих х, приближённо равно , где К = .764... – константа Ландау-Рамануджана (в современном Интернете можно найти тысячи её знаков). Иначе говоря, вероятность того, что наугад взятое число от 0 до х окажется двуквадратным, обратно пропорциональна корню из количества знаков х и приближённо равна . Для х = 1020 это даёт , т.е. около 11%.


Отчаявшись найти большое двуквадратное число случайно, мы стали набирать цифры подряд: 1, 12, 123,... : дойдя до 10, стали набирать 101112.... За исключением 1234, двуквадратных среди этих чисел тоже не попалось. И лишь при 123...1213 нам улыбнулась удача; ей и посвящён доклад Антона.

Мы назвали эти числа 123 = super3 и т.д. На детей произвело впечатление то, что двуквадратность числа super13 была обнаружена 13 апреля. Мы не знаем, каково следующее двуквадратное число (и существует ли оно, и, если да, доступно ли современным персональным компьютерам).


Я надеюсь, что из рассказанной истории видно, насколько условны границы между «детской» и «взрослой» математикой.
Работа Антона приводится в форме приготовленной им презентации доклада.


Г.Б.Шабат





Заключение.

Над чем думать дальше


  • Что из того, что мы узнали, мы умеем объяснить?

  • Что из того, что мы узнали, мы не умеем объяснять?

  • Как строить трёхвидово-двуквадратные числа? А также четырёхвидово-двуквадратные,... и вообще, многовидово-двуквадратные числа?

  • Сколькими способами квадрат с многовидовой площадью кладётся на лист клетчатой бумаги?

  • Есть ли двуквадратные числа среди super14, super15, ...? Вообще, какие ещё интересные двуквадратные числа можно придумать?

  • Пусть дано разложение числа на простые множители. Как определить, двуквадратно ли оно? Более общий вопрос: сколькими способами (0 или больше...) его можно представить в виде суммы двух квадратов?

  • Можно ли построить похожую теорию трёхквадратных чисел?

  • Можно ли построить похожую теорию двутреугольных чисел?




*


1 Уже на докладе Антона в аудитории нашёлся (единственный) слушатель, чей десятизначный номер телефона был простым.






izumzum.ru