2 Понятие об обратных задачах - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Рабочая программа по информатике и икт для 3 класса по умк «Информатики... 1 113.33kb.
Направление «Математика. Информационные технологии» 1 75.1kb.
Главный документ-отпечаток Понятие «дактилоскопирование» 1 25.41kb.
Обобщение понятия степени 1 26.51kb.
Новый метод прямой многопараметрической оптимизации в экономических... 1 10.04kb.
Памятка для туристов, посещающих Мадагаскар Визы 1 40.73kb.
Понятие аналогового, дискретного и цифрового сигналов. Системы счисления 1 38.18kb.
Тема: Понятие смысла и суеты 1 34.58kb.
Учебно-тематический план № п/п Наименование разделов и 1 35.64kb.
Закон радиоактивного распада. Понятие о радиоактивности. Постоянная... 1 23.88kb.
Принятие решений в задачах о загрузке рюкзака 1 84.21kb.
Ордена трудового красного знамени арендное предприятие промстройпроект... 8 1190.59kb.
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел 1 46.11kb.

2 Понятие об обратных задачах - страница №1/1



2.3. Понятие об обратных задачах

В процессе построения математической модели при недостаточной степени ее адекватности или в условиях недостаточной информации об оригинале возникает необходимость уточнения, "доводки" модели. Эта процедура носит название идентификации – задачи определения недостающих или неточно известных параметров или функциональных соотношений модели с помощью результатов вычислительного эксперимента и данных о реальном поведении объекта.



ПРИМЕР. В качестве простейшего примера рассмотрим идентификацию математической модели разбега самолета Ан-2, математическое описание которой составлено в примере § 2.1. Вычисление всех необходимых величин дает:

Vотр = 28,0 м/с = 100,8 км/ч;

A = 3,393 м/с2; B = – 0,007472 1/с; C = – 0,002812 1/м,

а для результатов вычислений по формулам Ньютона-Лейбница в условиях данной задачи соответствующие выражения дают:

Tразб = 12 с; Lразб = 205 м.

Для оценки адекватности полученной математической модели, как следует из § 2.2, необходимо сравнить полученный результат с поведением реального объекта, т.е. с взлетом реального самолета Ан-2 в тех же условиях. Предположим, что данные такого летного испытания получены и что в них зафиксировано значение дистанции разбега самолета Lразб = 232 м. Какой вывод об адекватности разработанной модели можно сделать в этом случае? Ответ на такой вопрос не однозначен, а зависит от той практической задачи, которую необходимо решить – от цели исследований.

Если поставлена задача оценить возможность взлета самолета Ан-2 в условиях, близких к условиям летных испытаний, с ВПП длинной 300 м, то, по-видимому, можно утверждать, что достигнутая точность расчета дистанции разбега (относительная погрешность  13 %) обеспечивает удовлетворительную степень адекватности разработанной математической модели. Заметим попутно, что в данной постановке задачи исследований от модели требуется всего лишь одно значение дистанции разбега, а не вид функциональной зависимости. Поэтому критерий непротиворечивости при оценке адекватности здесь не нужен, и понятие адекватности данной модели совпадает с понятием точности.

Если поставлена задача оценить влияние различных факторов на разбег самолета Ан-2 в условиях, близких к условиям реального полета, в котором произошло летное происшествие в момент отрыва самолета от ВПП (в конце разбега), то, очевидно, что достигнутая относительная точность расчета дистанции разбега ( 13 %) не обеспечивает удовлетворительной степени адекватности разработанной математической модели. Действительно: такая относительная погрешность в определении дистанции разбега может свидетельствовать о примерно такого же порядка относительной погрешности в определении скорости отрыва (которую зарегистрировать в реальном полете очень трудно), что недопустимо при оценке условий возникновения нештатной ситуации.

В этом случае необходимо "привести" математическую модель в соответствие с реальностью. Для этого необходимо проанализировать математическое описание модели. В него входят функциональные соотношения, отображающие законы механики, закономерности аэромеханики, динамики полета, теории авиадвигателей, теории трения – их подвергать сомнению не имеет смысла, тем более, что и сам самолет конструировался на основе именно этих соотношений. Такой элемент математического описания, как методы вычисления, в данной модели оказался в виде аналитических формул. Единственной природой погрешности их применения может стать только погрешность вычисления, явно не способная достичь величины в 13 %, поэтому и их подвергать сомнению также не имеет смысла. Остается проанализировать все входящие в математическое описание значения числовых параметров на предмет их уточнения. Значения тех параметров, которые известны недостаточно точно, необходимо идентифицировать. Если, например, значение взлетной тяги двигателя при нулевой скорости P0 = 2000 кгс вызывает подозрения, поскольку после ремонта он имеет солидную наработку, то следует подобрать такое меньшее ее значение, которое обеспечит полученную в летном испытании дистанцию разбега. Таким образом, можно идентифицировать взлетную тягу по известному значению дистанции разбега.

Это, конечно, простейший пример задачи идентификации одного параметра по другому одному известному параметру. В общем случае решение задачи идентификации, например, поляры самолета по данным летных испытаний, представляет собой сложную проблему.

Как видно из примера, для решения задачи идентификации приходится проводить множество расчетов, составляющих специальный контрольный вычислительный эксперимент по поэтапному подбору и коррекции математической модели. (Только в том случае, когда модель строго линейная, можно решить задачу идентификации за один расчет – найти x из уравнения ax + b = y при известном y.) Таким образом, задача идентификации решается с помощью метода последовательных приближений (§ 3.1) в широком смысле. При обработке результатов такого вычислительного эксперимента используются статистические методы: метод наименьших квадратов (§ 6.3), метод моментов (§ 5.3), метод наибольшего правдоподобия (§ 5.3).

Поскольку задачу идентификации нельзя решить "прямо", т.е. нельзя прямым вычислением определить недостающие параметры, то такая задача относится к особому классу – обратных задач. Следует заметить, что математически строго (т.е. безусловно верно) решить обратную задачу нельзя в принципе (кроме случая простейшей линейной математической модели). Даже квадратичная модель допускает два решения, а сложные нелинейные зависимости вообще необратимы. По выражению академика А.Н. Тихонова любое решение обратной задачи следует рассматривать не более чем "интерпретацию данных наблюдений", что блестяще иллюстрируется разобранным выше примером. Таким образом, идентификация математических моделей сводится по сути к "интерпретации" исходного приближенного числового материала и моделей тех отдельных элементов, которые не описываются законами природы.

Для решения задач идентификации чаще всего используются (§ 3.1): метод проб и ошибок, метод перебора – выборочного или последовательного, метод проверки гипотез. Последним методом, в частности, решаются задачи расследования летных происшествий.

Второй тип обратных задачзадачи оптимизации подробно рассматриваются в § 4.5.

2.4. Алгоритм научных исследований

с помощью математического моделирования


Математическое моделирование – мощное современное средство научных исследований и его применение требует соблюдения определенной строгости во избежание получения неверных выводов. Так, например, пренебрежительное отношение к разработке математического описания грозит получением неразрешимой задачи (при ее незамкнутости), а игнорирование оценки адекватности – получением неверных выводов. Такого рода примеры упоминались ранее. В § 1.1 рассматривалось первое приближение структуры процесса моделирования, теперь можно обоснованно дать следующий выработанный практикой алгоритм действий, которого рекомендуется придерживаться:

1► изучение оригинала: выявление основных факторов, особенностей, диапазонов исследуемых параметров, условий и задач исследования, постановка (формулировка) задачи исследования, оценка требуемой точности;

2► феноменологическое описание оригинала ("физическое" описание): поиск аналогий и функциональных зависимостей на основе предыдущего этапа и достижений в различных областях науки;

3► математическое описание оригинала;

4► разработка алгоритмического и программного обеспечения для реализации математического описания с помощью ЭВМ;

5► проведение контрольного вычислительного эксперимента (воспроизводящего реальный известный случай поведения оригинала в конкретных условиях);

6► оценка адекватности результатов контрольного вычислительного эксперимента реальному случаю; при необходимости – повторение алгоритма с пункта 3, 2 или 1;

7► планирование вычислительного эксперимента в целях исследования;

8► проведение вычислительного эксперимента в целях исследования, обработка его результатов;

9► анализ результатов вычислительного эксперимента, сравнение с результатами изучения оригинала (при необходимости – повторение алгоритма с пункта 7 или 1);

10► формулировка выводов исследования.

Пункты 1 – 6 составляют процесс моделирования – построения математической модели. В нем можно выделить процесс идентификации, объединяющий пункты 3 – 6.

По такому алгоритму проведены многочисленные исследования особенностей динамики полета самолетов гражданской авиации, в том числе выявлены причины летных происшествий, разработаны рекомендации по летной эксплуатации (пожар центрального двигателя Ту-154; удар самолета Ил-86 хвостовой опорой о ВПП при неправильной посадке; выявление предельных значений скорости бокового ветра и коэффициента сцепления колес шасси с ВПП для предотвращения выкатывания; особые случаи посадки и взлета самолетов Ил-96-300 и Ил-96Т в сложных метеоусловиях и с отказами систем; аварии перегруженного самолета Ил-76ТД на взлете; взлет и посадка самолетов в условиях сдвига ветра).

2.5. Основные принципы математического моделирования



механических систем и процессов
В заключение главы 4 сформулируем все те "правила" строгости процесса моделирования, которые так или иначе прозвучали в предыдущих главах, в виде принципов математического моделирования механических систем и процессов.

1. Главным из этих принципов безусловно является обеспечение высокой степени адекватности математической модели. В теории математического моделирования принято называть моделью только тот объект, который успешно прошел оценку адекватности. Как было выяснено в § 2.2, адекватность математической модели механических систем и процессов основывается на удовлетворительной точности и непротиворечивости по отношению к поведению оригинала. Проверка этих качеств модели делается чаще всего с помощью методов математической статистики (§ 5.7).

2. Обычно выделяемые принципы математического моделирования: гибкость, инвариантность и динамичность – сводятся в основном к полной унификации всего программного обеспечения и специальным его свойствам, обеспечивающим оперативную настройку на новые задачи. В конечном итоге следует стремиться к такому состоянию программного обеспечения, когда для решения новой задачи требуется лишь подготовить исходные данные, что тоже должно делаться с помощью специального программного обеспечения.

3. Принцип состоятельности результатов вычислительного эксперимента трактуется, как обеспечение результатов, безусловно приближающихся к истине. Состоятельность здесь следует понимать как статистический термин, обозначающий стремление по вероятности при увеличении объема информации результатов вычислительного эксперимента к истинным значениям параметров исследуемого явления (§ 5.3). Этот принцип требует предельной математической строгости, то есть использования в программном обеспечении вычислительных методов, проявляющих при их применении одновременно устойчивость, сходимость и однозначность (§ 4.4).

4. Принцип удобства исследователя – простота обращения с программным обеспечением, компоновки вариантов расчета, обработки и представления результатов вычислительного эксперимента – все это достигается развитым диалоговым режимом работы, сервисным программным обеспечением (таблицы, графики и т.п.) и унификацией всего программного обеспечения.

5. Принцип планирования вычислительного эксперимента обеспечивается применением методов и приемов планирования эксперимента (см. главу 7).

6. Принцип конкретизации условий и области применения разрабатываемой математической модели. Особенно большое значение этот принцип приобретает при математическом моделировании сложных систем. Он помогает избежать соблазна построения одной математической модели на все случаи жизни, что принципиально невозможно, и построить несколько математических моделей, с достаточной степенью адекватности отвечающих на множество частных конкретных вопросов. Рис. 10 иллюстрирует "мозаику" нескольких моделей, обозначенных различной штриховкой, покрывающую область исследования, обозначенную пунктиром. Этот прием (называемый декомпозицией) позволяет добиться как достоверности результатов вычислительных экспериментов в той области, которая не выходит за пределы области проверки точности, так и непротиворечивости. Прием декомпозиции бывает полезен и при разработке комбинированных методов вычисления, когда не удается получить а
декватные результаты с помощью обычных распространенных методов.

Рис. 10.


7. Принцип опережающей математической строгости и глубины феноменологического описания явления. В соответствии с ним при математическом моделировании механических систем и процессов необходимо построение физических закономерностей отдельных явлений на порядок более строгих и глубоких, чем это диктуется непосредственно постановкой конкретной задачи. Дело в том, что на практике невозможно избежать применения математических моделей в несколько более широкой области, чем это проверено при оценке адекватности. Поэтому во избежание ошибок при принятии решений необходимо обосновать возможность некоторой экстраполяции результатов вычислительного эксперимента. Такая экстраполяция возможна только в том случае, когда основу феноменологического описания каждого частного явления составляют физически обоснованные закономерности. Данный принцип можно было бы назвать иначе принципом приоритета физичности – приоритета перед статистическим моделированием и приемами упрощения моделей. Этот принцип отнюдь не противоречит предыдущему принципу конкретизации применения, а лишь дополняет возможности математического моделирования механических систем и процессов.

ПРИМЕР. Важность этого принципа можно показать на примере описания работы шасси. Для того, чтобы описать движение самолета по ВПП в продольном канале, на первый взгляд достаточно знать коэффициент трения только в продольном канале. Но для обеспечения адекватности необходимо учитывать возможность разных нюансов реального движения самолета по ВПП, например, с боковым заносом. При этом существенно изменяются характеристики продольного движения. Это явление необходимо как-то описать. Поэтому приходится в модель, которая будет предназначена для расчета только продольного движения включать учет и таких эффектов, как боковой занос.
Глава 3. Методы разработки математических моделей
3.1. Проблемы построения математических моделей
Можно построить очень сложную математическую модель, учитывающую все видимые и предполагаемые факторы и явления, но получение результата с ее помощью может оказаться не менее сложным, чем на оригинале. Можно построить очень простую модель, отображающую минимум очевидных свойств объекта, но тогда нельзя с ее помощью исследовать тонкие свойства. Задача построения математической модели – это отыскание оптимального компромисса между простотой модели и степенью ее адекватности изучаемому оригиналу.

Построение математической модели (синтез математической модели) требует решения достаточно сложных проблем, среди которых:

– множественность критериев оценки качества функционирования моделируемой системы (многокритериальность);

– большая размерность описания сложных систем ("проклятие размерности");

адекватность.

Под многокритериальностью понимается наличие подчас противоречивых требований к различным элементам сложной системы или к системе в целом (например, экономичность и безопасность полетов, быстрота и качество обслуживания). Для решения этой проблемы применяют различные приемы ранжирования, в том числе и основанные на результатах применения методов экспертных оценок (§ 8.2).

С "проклятием размерности" борются тоже ранжированием, а также агрегированием, что позволяет решать задачу поблочно (поагрегатно). Наиболее сложной при этом остается задача выявления факторов, способных описать изучаемое явление, а также взаимосвязи различных факторов, входных и выходных данных системы. Для этого помимо глубокого изучения физических особенностей системы подчас бывает необходимо проводить многомерный статистический анализ (глава 6) результатов экспериментов (вычислительных или натурных).

При решении проблемы адекватности математической модели приходится очень придирчиво рассматривать условия моделирования, выделять из множества факторов главные, подлежащие изучению. Кроме того, в зависимости от конкретных свойств математической модели следует из всей палитры статистических методов выбирать наиболее приемлемые и эффективные критерии.

Дадим краткую характеристику упоминавшимся ранее методам, которые применяются для разработки математических моделей – методам математического моделирования.



Ранжирование – неформализуемый анализ, в результате которого можно произвести распределение параметров по важности (рангу); наиболее важные необходимо учитывать, наименее важными иногда можно пренебречь, промежуточные по важности можно учесть в виде поправок, каждому из них можно приписать весовые коэффициенты.

Агрегирование (декомпозиция) – разбиение большого числа факторов (параметров) задачи на небольшое число групп, блоков (агрегатов) по определенному принципу; предполагает, с одной стороны, вполне конкретные связи между блоками, которые нетрудно формализовать и учесть, а с другой стороны, возможность решения необходимых вопросов внутри агрегата.

Теория катастроф – часть математической логики, которая позволяет в области изменения основных параметров (факторов), связанных аналитически, выявить точки, линии, плоскости и т.п. границы (бифуркации), на которых происходят резкие изменения качественного поведения рассматриваемой системы – "катастрофы" той или иной интерпретации поведения системы. Так, например, в динамике полета линия разграничения I и II режимов полета самолета – граница бифуркации, где I режим характерен естественной зависимостью: чем большей скорости установившегося полета требуется достичь, тем большую тягу двигателей следует развить, а II режим характерен обратной связью, на первый взгляд неожиданной.

Метод последовательных приближений – общее название группы математических методов, в которых на каждом очередном цикле однообразных вычислений определяются новые значения параметров, более точные, которые в свою очередь используются на следующем цикле.

Метод проб и ошибок – по результатам одного или нескольких (отличающихся подбираемыми значениями параметров) расчетов делается вывод о направлении дальнейшего подбора искомых значений для минимизации ошибки.

Метод перебора – процесс отыскания решения, в котором проверяются возможные варианты, или простым перебором всего их множества, или случайным перебором. Этот прием для непрерывно распределенных факторов механических систем и процессов, принимающих бесконечное множество значений на любом отрезке своего изменения, не может считаться методом, поскольку не гарантирует получение решения.

Метод проверки гипотез – процесс выдвижения, анализа и проверки разнообразных предположений о причинах появления определенного результата. Этот метод имеет смысл применять там, где требуется найти скорее качественное, чем количественное объяснение сложного и неординарного явления.

Обзор методов экспертных оценок приводится в § 8.2.



Многомерный статистический анализ – группа методов математической статистики, рассматриваемых в главах 6 и 8).

Другие методы математического моделирования, требующие подробного изложения, рассматриваются в последующих параграфах.

3.2. Подобие и анализ размерностей

Наиболее распространенным частным случаем математических моделей является случай подобных моделей. Подобные модели наиболее легко воспринимаются и вызывают у неподготовленных людей желание отбросить в сторону все строгости науки. Поэтому сформулируем в терминах теории моделирования строгое понятие подобия. Два объекта подобны, если выполнены одновременно два условия:

1) они имеют одинаковые математические описания;

2) их соответствующие переменные связаны коэффициентами подобия (масштабами, константами подобия, коэффициентами пропорциональности).

Рассмотрим подробнее особенности различных величин с точки зрения строгости построения подобных детерминированных математических моделей.

Еще древние заметили, что величины ведут себя по-разному по отношению к арифметическим действиям. Некоторые из них можно складывать, вычитать, умножать и делить, а результат арифметических действий с другими величинами не имеет смысла. Так, например, не имеет смысла сумма длины и времени, зато результат деления длины на время имеет вполне конкретный физический смысл скорости. Сумма длины и ширины прямоугольника, наоборот, имеет смысл полупериметра. Величины, сумма или разность которых имеет физический смысл, назвали однородными.

Для сравнения результатов измерений одной и той же или однородных величин необходимо было ввести некое мерило, масштаб. Поэтому были разработаны единицы измерения, и стали различать размерные и безразмерные величины. Единицей измерения физической величины D (размерностью, обозначаемой с помощью квадратных скобок [D]) называется условно выбранная физическая величина, имеющая тот же самый физический смысл, что и величина D. Например, единицей измерения температуры может служить градус по шкале Фаренгейта, который равен 1/180 части разности температур кипения воды и таяния льда при нормальных атмосферных условиях, причем температура таяния льда принята за 32F. Такое сложное описание единицы недопустимо в формулах, поэтому для размерностей были придуманы специальные краткие обозначения (F). Однако это не означает, что единицы измерения – нечто второстепенное. Наоборот, всякое значение любой физической величины представляет собой единство численного значения (масштабного множителя по отношению к единице измерения) и размерности. Это жесткое сочетание при использовании в расчетах можно рассматривать как произведение.

Величины, численное значение которых зависит от принятых единиц измерения, называются размерными. Величины, численное значение которых не зависит от принятых единиц измерения, называются безразмерными. Изучением размерных величин занимается анализ размерностей – мощный метод математического моделирования.

Все известные законы природы описываются с помощью функциональных связей между размерными величинами, поэтому для расчетов необходимо в эти связи подставлять значения величин вместе с их размерностями. Например, вычисляя по закону Ома величину тока I осветительной сети с напряжением U = 220 В, протекающего через лампу сопротивлением R = 2 кОм, необходимо произвести не только арифметические действия с числами, но и преобразования единиц измерения:

.

Порядок и правила применения размерностей устанавливают системы единиц измерения. В физике использовалось достаточно большое количество таких систем: СГС, техническая, МКС, МКСА, СГСЭ и СГСМ. В 1960 году в Париже XI Генеральная конференция по мерам и весам приняла Международную систему единиц измерения, обозначаемую SI (в русской транскрипции СИ). Сегодня эта система на территории России утверждена ГОСТом 8.417–81 Единицы физических величин. Этим стандартом устанавливаются правила применения размерностей в технической документации, терминология и система обозначений.

Упомянутый пример с законом Ома показывает, что из некоторой совокупности одних единиц измерения можно получить другие единицы. Иными словами, в любой системе можно выделить основные единицы, через которые с помощью законов природы получаются остальные. В 1832 г. Гаусс предложил в качестве основных единиц измерения выбирать независимые единицы (попарно не связанные между собой законами природы), на которых строится вся система. В СИ основными единицами приняты:

метр [м] в качестве меры длины,

килограмм [кг] в качестве меры массы,

секунда [с] в качестве меры времени,

ампер [А] в качестве меры силы электрического тока,

кельвин [К] в качестве меры термодинамической температуры,

моль [моль] в качестве меры количества вещества,

кандела [кд] в качестве меры силы света.

Кроме этого вводятся дополнительные единицы измерения плоских углов – радиан [рад] и телесных углов – стерадиан [ср], по сути являющиеся безразмерными.

Остальные размерные единицы принято называть производными. Они получаются из основных с помощью физических законов. Например, единица мощности N Ватт [Вт] получается применением следующих формул известных законов механики, использующих понятия работы, силы, массы и ускорения:



.

Общепризнанность системы СИ определяется удачным выбором минимального набора основных единиц, обеспечивающего запись практически всех физических законов без использования размерных числовых коэффициентов.

Исходным положением теории размерностей является то, что все основные законы природы в любой системе единиц измерения описываются степенными комплексами:

– произведениями размерных параметров определяющих изучаемое явление, со своими числовыми показателями степеней Этот факт нельзя доказать, но он легко проверяется: действительно, законы Ньютона, Кулона, Фарадея и т.п. описываются именно степенными комплексами. Следует оговориться, что функциональные связи, содержащие знак + или –, не являются основными законами природы, а представляют суперпозицию нескольких независимых природных явлений, каждое из которых в свою очередь выражается степенным комплексом.

Нетрудно видеть, что выражение:

безразмерно, так как числитель и знаменатель его должны иметь одну и ту же размерность в силу записи закона природы. Этот факт уже можно доказать. Более того, можно доказать, что независимая от выбора системы единиц измерения связь между n + 1 размерными величинами принимает вид соотношения между n + 1 – k безразмерными степенными комплексами (критериями подобия), где k – количество величин из используемых n + 1, которые имеют независимые размерности. Так формулируется -теорема ("Пи-теорема" – по названию греческой буквы ).

Очевидно то фундаментальное место, которое занимает -теорема. Действительно: для функционального описания изучаемого явления достаточно выбрать параметры, которые его характеризуют, и составить из них все возможные критерии подобия. Эти критерии подобия содержат в себе с точностью до безразмерного числового коэффициента все действующие в данном явлении законы природы. Так, в частности, можно получить и новые законы, и доселе неизвестные исследователю.

-теорема нашла широкое применение при разработке подобных детерминированных математических моделей. Так как у таких моделей математическое описание то же самое, что у оригинала, то и критерии подобия у них общие. А это означает, что недостающий в критерии подобия безразмерный числовой коэффициент можно определить эмпирически в процессе идентификации модели. Таким образом, можно составить недостающие элементы математической модели сложного явления.



ПРИМЕР 1. Равномерное поступательное движение описывается формулами: для объекта L = VT; для подобной модели l = vt. Это означает, что при переходе от оригинала к модели должен сохраняться безразмерный степенной комплекс:

критерий подобия.

ПРИМЕР 2. Чем определяется вид движения вязкой жидкости в гладкой трубе (ламинарный или турбулентный)? Основные параметры явления: радиус трубы r [м], вязкость жидкости  [кг/(мс)], плотность жидкости  [кг/м3], средняя скорость движения жидкости V [м/с]. Можно ли из этих параметров составить безразмерный степенной комплекс? -теорема дает на это положительный ответ. Степенной комплекс должен иметь размерность 1 хотя бы при одном комплекте значений показателей степеней. Это означает, что размерности величин r, , , V, будучи возведенные в соответствующие степени, после их перемножения должны дать 1. С другой стороны, поскольку размерности [м], [кг], [с] независимы (это основные единицы измерения в СИ) и не могут быть переведены друг в друга с помощью каких-либо степеней, постольку эту 1 можно получить только при условии равенства нулю всех показателей степени у [м], [кг], [с] в произведении размерностей рассматриваемых основных параметров, возведенных в соответствующие степени:

Отсюда следует система линейных однородных алгебраических уравнений для определения неизвестных yi:



Решение этой системы: y2 = –y4, y3 = y4, y1 = y4, где y4 – произвольно (свободное неизвестное), дает безразмерный степенной комплекс вида: и в силу произвольности числа y4 приводит к хорошо известному критерию подобия: – вид движения жидкости в трубе определяется числом Рейнольдса.



ПРИМЕР 3. Этот пример применения -теоремы демонстрирует возможность составления недостающих элементов математического описания, связывающих параметры исследуемого явления.

В условиях невесомости (при этом ускорение силы тяжести несущественно) рассматривается шар в вязкой жидкости. Для очень медленного равномерного движения шара (при этом плотность жидкости и масса шара несущественны) требуется определить вид зависимости силы сопротивления W от скорости движения V и других существенных параметров явления.

Из условия задачи следует, что масса шара, ускорение силы тяжести и плотность жидкости не являются для данного процесса существенными параметрами. Составим список других параметров, которые могут претендовать на существенные. Вязкость жидкости характеризуется коэффициентом динамической вязкости , который в СИ имеет размерность [кг/(мс)]. Существенно влияние и диаметра шара d, и, по-видимому, размеров шероховатости поверхности шара h. Возможно влияние и температуры T. Таким образом выявлены следующие параметры, которые могут быть существенными в исследуемом явлении: d, , V, W, h, T. Их размерности, выраженные через основные единицы измерений: [d] = м, [] = кг/(мс), [V] = м/с , [W] =кгм/с2, [h] = м, [T] = K.

Найдем вид возможных безразмерных степенных комплексов [] = 1, т.е. показатели степеней yi при физических параметрах задачи, составляющих безразмерное произведение:



.

Из приведенных размерностей следует:



Поскольку м, кг, с и K – основные единицы, имеющие независимые размерности, то показатели степеней при каждой из них должны независимо обращаться в нуль:



В этой системе линейных алгебраических уравнений для определения 6 неизвестных есть только 4 уравнения, поэтому решение выглядит как выражение четырех базисных неизвестных через два свободных. Выбор свободных неизвестных может быть произвольным, но таких комбинаций слишком много для полного перебора. Поэтому выберем в качестве одного из свободных неизвестных y4, так как целью выкладок является получение функции для определения W, показателем степени которого и служит y4. В качестве второго свободного неизвестного можно избрать лишь y1 или y5, так как ни y2, ни y3 в силу второго и третьего уравнений не могут быть свободным в паре с y4, а y6 определяется однозначно. Таким образом, приходим к решению в одном из следующих видов:

1) y5, y4 – свободные, тогда из (K): y6 = 0, из (кг): y2 = – y4, затем из (с): y3 = – y4, далее из (м): y1 = – y5 – y4. Из курса линейной алгебры известно, что так как свободные неизвестные могут принимать любые значения независимо друг от друга, то линейно независимые ортонормированные комбинации в пространстве двух переменных могут получиться в двух случаях:

1.1) y5 = 1, y4 = 0: тогда y2 = y3 = 0, y1 = –1. Это приводит к безразмерному степенному комплексу вида:

 = d–1h1,

который интерпретируется как критерий подобия, т.е. явления будут подобны при сохранении соотношения между h и d – геометрическое подобие движения различных шаров в жидкости;






izumzum.ru