1 Расходимости и перенормировки 12 1 Расходимости фейнмановских интегралов - polpoz.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
1 Расходимости и перенормировки 12 1 Расходимости фейнмановских интегралов - страница №1/1


Материалы предоставлены интернет - проектом br />


Содержание

Оглавление

Введение 4

1 Расходимости и перенормировки 12

1.1 Расходимости фейнмановских интегралов... 12

1.2 Перенормировки и регуляризация обобщенных функций ... 19

2 Определение алгебры Хопфа 22

2.1 Линейное пространство графов... 22

2.2 Алгебра Хопфа графов и R-операция Боголюбова... 25

2.2.1 Л-операция Боголюбова... 26

2.2.2 Алгебра Хопфа графов ... 28

2.2.3 Алгебраическая Я-операция... 30

2.3 Алгебра Ли графов и ренормгруппа... 33

3 Лидирующие логарифмы в симметричной точке 38

3.1 Вычисление лидирующих логарифмов... 38

3.2 Двухпетлевой интеграл ... 40

3.3 Прямая оценка фейнмановских интегралов... 45

3.4 Обощенные уравнения РГ в теории с/?4... 51

3.5 Использование рекурсии и древесной формулы... 59

3.6 Связь с диффеоморфизмами... 65

3.7 Многозарядные теории... . 69

4 Ведущие логарифмы в произвольной точке и паркетное приближение 71

4.1 Ренормгрупповое вычисление... 71

4.2 Паркетное приближение... 74

4.3 Паркетное приближение и главные логарифмы... 75

4.4 Суммирование главных логарифмов в несимметричных точках . 78

5 Алгебра Хопфа ленточных графов 82

5.1 Ленточные графы и 1/N разложение... 82

5.2 Ленточные графы и поверхности... 87

5.3 Алгебра Хопфа поверхностей... 93

5.4 Функции на поверхностях и перенормировки... 99

5.5 Приложения... 103

Литература 112

Введение


Одна из самых неприятных проблем в квантовой теории поля - расходимость фейнмановских интегралов. Эта проблема была разрешена Боголюбовым и Парасюком в виде ^-операции [1, 2, 3]. С физической точки зрения возможность разрешения проблемы расходимостей связана с существованием ренормгрупповой инвариантности [1, 4]. Эта инвариантность была открыта в работах Штюкельберга - Петермана [5] и Гелл-Манна - Лоу [6]. А всеобщее признание метод ренормгруппы получил после работ Боголюбова и Ширко-ва, которые исследовали структуру ренормгруппы с математической точки зрения, а также дали более прозрачную физическую интерпретацию [1, 7]. Именно их работы позволили связать проблему устранения расходимостей и ренормгрупповую инвариантность, т.е. представить вычитание расходимостей в виде ненаблюдаемых перенормировок [1, 4, 8]. Позднее доказательство о перенормируемости было усовершенствовано Хеппом [9]. Рекуррентные соотношения для контрчленов были разрешены Завьяловым и Степановым [10], а затем представлены Циммерманом в виде суммы по лесам [11].

К. Вильсон предложил альтернативную интерпретацию ренормгруппы, основанную на аналогии с преобразованием Каданова в статистической физике [12]. Изменение масштаба теории аналогично преобразованию подобия, а уравнения РГ описывают системы с самоподобием [13].

Ренормгруппа наиболее эффективна при изучении асимптотических свойств теорий. Так, с использованием уравнений РГ была найдена асимптотическая свобода в теориях Янга-Миллса [14, 15]. В квантовой теории поля точные от-

веты получить очень сложно, поэтому, как правило, изучаются либо асимптотические пределы, либо разложения по малым параметрам. В теории возмущений физические величины представляют в виде рядов по константе связи. Если константа связи не мала, необходимо искать другие параметры разложения. Например, в теориях с матричными полями можно использовать l/N-разложение [16]. Но даже если константа связи мала, может встретиться другая проблема - большие логарифмы отношений импульсов. При этом произведение константы связи на логарифм становится величиной порядка единицы. В теориях с ренормгрупповой инвариантностью можно перейти в новую точку нормировки, где нет больших отношений импульсов [1, 4, 17]. Эта процедура эквивалентна суммированию ведущих логарифмов [1, 18].

Ведущие логарифмы - объект достойный изучения со многих точек зрения. С точки зрения эксперимента они вносят основной вклад в амплитуды рассеяния при больших энергиях. С точки зрения теории это довольно простой объект, который можно вычислить либо непосредственно, либо с помощью ренормгруппы. Ведущие логарифмы - это своего рода теоретическая лаборатория, которая позволяет тестировать различные методы вычислений и сравнивать ответы с предсказаниями ренормгруппы. Недостаток уравнений ренормгруппы в том, что они фиксируют поведение только суммы диаграмм данного порядка. В диссертации показано, что обобщенные уравнения РГ, следующие из алгебры Хопфа графов, являются более сильными и позволяют находить асимптотики отдельных фейнмановских диаграмм. При этом результаты ренормгрупповых вычислений совпадают с прямыми оценками фейнмановских интегралов.

Нахождение асимптотик фейнмановских интегралов - это одна из наиболее важных проблем в квантовой теории поля. Общие оценки на степени импульсов и логарифмов для фейнмановских интегралов были установлены в знаменитой теореме Вайнберга [19]. В силу своей общности оценки на

степени логарифмов довольно грубы, поэтому в каждой отдельной теории необходимо дополнительное рассмотрение. Например, в теории мезонов точные асимптотики фейнмановских интегралов можно найти по топологии диаграмм [20]. Наряду с асимптотиками фейнмановских интегралов при больших импульсах, физический интерес представляют также разложения по малым импульсам и массам частиц [21]. Кроме ультрафиолетовых расходимостей в теориях с безмассовыми полями существуют инфракрасные расходимости. Они приводят к появлению дополнительных больших логарифмов, так называемых двойных логарифмов Судакова. Суммирование судаковских логарифмов можно найти в [4, 22, 23], а определение процедуры устранения инфракрасных расходимостей было дано в работах [24, 25]. Модификация R-операции на случай инфракрасных расходимостей была найдена Смирновым и Четыркиным [26]. Общие результаты об асимптотических разложениях в пространстве Минковского, а также нахождение судаковских логарифмов методом областей можно найти в работах [27, 28, 29]. Среди современных методов в многопетлевых вычислениях можно выделить использование преобразования Меллина [29, 30], интегрирование по частям и сведение к известным интегралам [31], использование теории обобщенных функций [32] и алгебры Хопфа графов.

Алгебра Хопфа графов появилась как формальная структура, описывающая R-операцию Боголюбова [33, 34]. Это открытие особенно интересно с теоретической точки зрения, поскольку алгебра Хопфа графов дуальна к алгебре Ли, которая описывает диффеоморфизмы в пространстве констант связи, т.е. в такой формулировке операция устранения расходимостей естественным образом связана с перенормировками констант связи. Кроме того, существование структуры алгебры Хопфа позволяет находить аналогии с математическими моделями такими как деформационное квантование [35], некоммутативная геометрия [36], итерированные интегралы [37], где исполь-

зуются алгебры Хопфа. С практической точки зрения алгебра Хопфа помогает удобно формализовать процедуру устранения расходимостей для вычисления многопетлевых фейнмановских интегралов [38, 39].

Целью диссертации является изучение уравнений ренормгруппы, связанных с алгеброй Хопфа графов. Показано, что эти уравнения эквивалентны ренормгрупповым уравнениям на отдельные фейнмановские интегралы [40], т.е. являются нетривиальным обобщением обычных ренормгрупповых уравнений. С помощью обобщенных уравнений ренормгруппы вычислены ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов при произвольных внешних импульсах.

Интересной задачей является применение алгебры Хопфа в теориях с неа-белевыми калибровочными полями. В диссертации сделан первый шаг в этом направлении: найдено обобщение алгебры Хопфа на теории с матричными полями. В таких теориях диаграммы Фейнмана изображают в виде ленточных графов, которые обладают меньшим количеством симметрии, чем обычные графы. Отличие матричных теорий от теорий Янга-Миллса заключается в существовании калибровочной инвариантности, с которой алгебра Хопфа должна быть согласована. Следовательно, алгебра Хопфа в теории Янга-Миллса не свободна, а с дополнительными связями, задаваемыми тождествами Славнова-Тейлора. Алгебра Хопфа, согласованная с калибровочной инвариантностью в абелевых теориях найдена в работе [41].

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Вывод уравнений ренормгруппы в формализме алгебры Хопфа графов для теории 4.

2. Вычисление коэффициентов перед ведущими логарифмами для отдельных фейнмановских диаграмм в евклидовой теории <р4 из уравнений ренормгруппы в симметричных и несимметричных точках относительно внешних импульсов.

3. Установление связи обобщенных уравнений ренормгруппы с ренормгруп-повыми уравнениями в теории с бесконечным набором полей и констант связи.

4. Установление в вывод структуры алгебры Хопфа для ленточных графов.

Результаты диссертации были апробированы в выступлениях на конференции Ломоносов 2002, МГУ, Москва; на конференции Calc'2003, Дубна; на семинаре в университете города Майнц, Германия; на семинаре в университете города Уппсала, Швеция; на семинаре в ИЯИ, Москва; на семинаре в ИТЭФ, Москва; на школе-семинаре Волга 16'04, Казань и на семинаре в ОИЯИ, Дубна.

Результаты диссертации опубликованы в работах [42, 43, 44, 45], а также [46, 47].

Структура диссертации имеет следующий вид. В первой части рассмотрена проблема расходимости фейнмановских интегралов. В качестве примера изучается безмассовая скалярная теория с взаимодействием

Во второй части исследуется комбинаторика Я-операции. Сначала показано, что процедура устранения расходимостей имеет структуру алгебры Хопфа графов. Далее выписана алгебра Ли дуальная к алгебре Хопфа графов, и найдены уравнения ренормгруппы в терминах данной алгебры Ли.

В третьей части рассмотрено применение обобщенных уравнений ренормгруппы. В качестве примера изучаются ведущие логарифмы для отдельных

фейнмановских интегралов в симметричной точке. Сначала ответ получен с помощью прямой оценки фейнмановских интегралов, а потом показано, что эти результаты можно получить из уравнений ренормгруппы. При этом ренормгруппа дает рекуррентное соотношение, выражающее главный логарифм для (га + 1)-петлевой диаграммы через n-петлевые диаграмм, а прямая оценка фейнмановских интегралов дает ответ в виде суммы по максимальным деревьям расходящихся подграфов. Связь между рекурсивной формулой и суммой по деревьям аналогична связи рекурсивного определения контрчленов и определения с помощью суммы по лесам [11]. Рассмотрено несколько примеров применения рекурсивной формулы и формулы с суммой по деревьям. Далее найдено решение уравнения ренормгруппы в виде экспоненты от бета-функции и показано явно, что экспонента от однопетлевой бета-функции задает перенормированную вершинную функцию в главном логарифмическом приближении. В конце этой части исследуется вопрос, какую максимальную информацию можно извлечь из условия ренормгрупповой инвариантности и чего достаточно для существования этой симметрии в теории. А именно, показано, что в теории с двумя скалярными полями ренормгруппо-вые уравнения на двухпетлевые интегралы совпадают с обобщенными уравнениями ренормгруппы. Таким образом, новые уравнения ренормгруппы -это максимальная информация, которую можно извлечь из условия ренормгрупповой инвариантности, в том смысле, что для инвариантности любой безмассовой скалярной теории достаточно выполнения этих уравнений, а с другой стороны, что уравнения ренормгруппы в теории с бесконечным набором полей эквивалентны обобщенным уравнениям ренормгруппы.

В четвертой части найдены ведущие логарифмические асимптотики фейнмановских интегралов в несимметричных точках. Сначала ведущие логарифмы вычислены рекурсивно из уравнений ренормгруппы, а затем с помощью паркетного приближения. В качестве примера рассмотрен двухпетлевой ин-

теграл. Используя паркетное приближение, также заново выведен результат для симметричной точки, выраженный через сумму по деревьям.

В пятой части найдено обобщение алгебры Хопфа на случай ленточных графов на примере матричной теории с взаимодействием Ф4. Проблема состоит в том, что ленточные графы имеют меньше симметрии, чем обычные, а именно, в каждой вершине разрешены только циклические перестановки ребер (в более общем случае многоследовых взаимодействий ребра в вершинах разбиваются на группы, и циклические перестановки разрешены внутри каждой из групп). Уменьшение числа симметрии связано с появлением дополнительной структуры, 1/N разложения. Алгебра Хопфа должна быть согласована с этой структурой. При изучении алгебры Хопфа использована связь между ленточными графами и поверхностями. В теории с односледовы-ми взаимодействиями есть взаимнооднозначное соответствие между ленточными графами и поверхностями с клеточным разбиением. В случае многоследовых взаимодействий возникает разбиение на сферы с отверстиями. Нам будет более удобно построить алгебру Хопфа поверхностей с разбиением на сферы с отверстиями. Некоторые наиболее сложные аксиомы алгебры Хопфа доказаны в приложениях.

Расходимости и перенормировки

1.1 Расходимости фейнмановских интегралов

В этой главе рассматривается проблема ультрафиолетовых расходимостей фейнмановских интегралов на примере скалярной модели ср4. Цель - ввести необходимую терминологию, а также указать на основные черты проблемы и методы ее решения.

Мы будем изучать безмассовую теорию (р4 в 4-мерном евклидовом пространстве с лагранжианом [1, 4, 18]

1 2 16тг2 4

Если предполагать, что константа связи д мала, то все величины можно выражать в виде рядов по д. Члены ряда соответствуют диаграммам Фейнмана, при этом степень д равна числу вершин в диаграмме [1, 4]. Диаграммы Фейнмана для краткости будем называть графами и обозначать буквами Г и 7-Подграф 7 С Г состоит из некоторых вершин графа Г, а также некоторых ребер, соединяющих эти вершины. Такие ребра становятся внутренними ребрами подграфа. Если ребро Г оканчивается на вершине 7, но не является внутренним в 7, то естественно назвать его внешним ребром в 7- Может так оказаться, что некоторое ребро Г оканчивается на двух вершинах 7, но не является внутренним в 7, тогда этому ребру соответствуют два внешних

ребра в 7 (по одному в каждой из соответствующих вершин 7) [18, 49].

Граф - несвязный, если есть 2 подграфа, не соединенные ребрами. Граф -слабо связный, или одночастично приводимый - 1ЧП, если существует такое ребро, что после его удаления граф становится несвязным. В остальных случаях граф - сильно связный, или одночастично неприводимый - 1ЧН [1, 4].

Основные величины, которые изучаются в квантовой теории поля, - это амплитуды рассеяния частиц. Амплитуды выражаются через корреляционные функции, или функции Грина. Производящий функционал для функций Грина в евклидовом пространстве имеет следующий вид [1, 4, 8]

В теории возмущений функции Грина представляют в виде рядов по диаграммам Фейнмана, при этом есть как связные, так и несвязные диаграммы. Аналог свободной энергии W[J] = — logZ[J] является производящим функционалом для функций, зависящих только от связных диаграмм. С помощью преобразования Лежандра можно получить производящий функционал для вершинных функций

Вершинные функции содержат только 1ЧН диаграммы. Производящий функционал для вершинной функции можно интерпретировать как эффективное действие Г[

Рассмотрим 4-точечную вершинную функцию F. С точки зрения классического поля эта функция определяет величину взаимодействия, т.е. является "зарядом" для классического взаимодействия ^. В теории возмущений 4-точечная вершинная функция задается рядом по одночастично неприводимым диаграммам Фейнмана с четырьмя внешними ребрами

F =


7

13

здесь V1 - число вершин графа 7, $7 - фактор, связанный с симметриями графа, a F7 - фейнмановский интеграл, соответствующий 7- Четырехточечная вершинная функция зависит от 4 переменных, ассоциированных с внешними ребрами, обычно это импульсы частиц pi, г — 1...4, на которые наложено условие Y^Pi — 0 ~ закон сохранения импульса, таким образом, только 3 импульса из 4-х являются независимыми. Вершинная функция - скалярная величина, поэтому она может зависеть только от скалярных произведений импульсов. Если внешние импульсы находятся на массовой поверхности, то вершинная функция зависит только от трех переменных. Обычно выбирают переменные Мандельштама



s== (P1+P2)2, t = (pi+Рг)2-, u = {pi+Pi)2i (1-4)

где все импульсы являются "входящими". В общем случае есть еще три независимых величины: четырехимпульсы в квадрате р2, р2 и р2.

Ренормгрупповое уравнение на четырехточечную вершинную функцию записывается в виде

d Z-*F = 0, (1.5)

d log /i2 где Z - перенормировки амплитуд полей, а ц - масштаб теории, связанный с

точкой нормировки. В безмассовой теории в размерной регуляризации масса не перенормируется в любом порядке теории возмущений. В однопетлевом приближении также нет перенормировок двухточечной вершинной функции, т.е. нет перенормировок амплитуд полей. Поэтому в однопетлевом приближении уравнение (1.5) принимает более простой вид

TT72F 0- (L6)

d log Л2 '

Рассмотрим вершинную функцию (1.3) в симметричной точке по внешним импульсам. В теории tp4 диаграммы с п петлями имеют асимптотику ^n+1(log Aj-)*, где к < п [18, 19]. Члены, пропорциональные (log^-)n, называются ведущими логарифмами. Известно, что ведущие логарифмы для суммы

фейнмановских диаграмм данного порядка фиксируются из однопетлевой ре-нормгрупповой инвариантности [1, 18]. Наша задача - найти ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов. Поскольку в однопетле-вом приближении двухточечная вершинная функция не перенормируется, то диаграммы с двумя внешними ребрами не дают вклад в ведущие логарифмы. Для четырехточечной вершинной функции это означает, что диаграммы, в которых есть поддиаграммы с двумя внешними ребрами (собственноэнерге-тические вставки), не дают вклад в ведущие логарифмы. Поэтому мы будем рассматривать только 1ЧН графы с четырьмя внешними ребрами без соб-ственноэнергетических вставок.

здесь р2 = (Р1+Р2)2 = (P3+P4)2 = s — это одна из переменных Мандельштама. Чтобы избежать проблем при s = 0, будем считать, что s ф 0. Интегралы, соответствующие двум другим переменным t = (pi + Рз)2 и и = (pi + P4)2 получаются заменой s на t или и.

Интеграл (1.7) имеет логарифмическую расходимость при q —•> 00. В од-нопетлевом приближении нет перенормировок амплитуд полей, поэтому диа-

грамма 7i дает полную однопетлевую поправку к эффективному взаимодействию полей (fitf. Получается так, что однопетлевая поправка к эффективному действию дает бесконечно сильное взаимодействие полей. Решение этой проблемы аналогично решению проблемы электрического потенциала в двумерной электродинамике. Электрический потенциал в d-мерном пространстве можно определить по формуле

При d = 2 интеграл имеет логарифмическую расходимость. Решение этой проблемы в электродинамике заключается в том, что потенциал - величина ненаблюдаемая, а наблюдаемые величины - разности потенциалов - конечны для любых двух точек. В квантовой теории поля надо сравнивать взаимодействия при различных внешних импульсах. Заметим, что в нашем примере

разность интегралов для любых точек pi и р2 - величина конечная

Г°° d4a ?ъЫ - tf»(Pi) ~/ "Х> (1-9)

поэтому, зная из эксперимента величину взаимодействия в некоторой точке, можно найти взаимодействие во всех других точках.

Опишем процедуру устранения расходимостей более подробно, используя метод размерной регуляризации [4, 8, 50, 51, 52]. Перепишем интеграл (1.7) в параметрическом представлении [1, 53]

Здесь размерность пространства d = 4, поэтому интеграл по переменной г расходится в нуле. В общем случае необходимо придать смысл интегралу от га при г —> 0 и а < — 1. В теории обобщенных функций устранение локальных расходимостей в интегралах называется регуляризацией функционалов [48]. Суть метода размерной регуляризации состоит в формальной замене размерности пространства с d — 4 на d = 4 — 2е [51, 52]. В нашем случае размерная регуляризация приводит к добавлению регуляризующего множителя

(//2г)6 (параметр // нужен, чтобы сделать выражение безразмерным)

>ОО J

/•1 />


ds

7о ./о


е-^1^2 (1.11)

Теперь можно без труда проинтегрировать по г

1 Д2

= - + In Чт 4- cons? + О(б).



Обозначим голую константу связи в начальной теории (в теории с расхо-димостями) через до и запишем разложение вершинной функции до второго порядка по до, учитывая также вклад t и и каналов. Для простоты обозначений положим s = t — и = р2.

П90:Р) = 9о- ^о2 (^ + 1п ^ + const + °^) + °^3)- (L13)

Переход к перенормированной вершинной функции можно описать с помощью следующего диффеоморфизма констант связи

9o = g + l9j + 0(g% (1.14)

здесь д - перенормированная константа связи, а бесконечная часть Зд2/2е -контрчлен. Теперь с точностью до О(#3) и О (б) вершинная функция имеет вид

F(fi,g,p) =g-\g2 (ln^- + const) . (1.15)

z \ р j

Мы видим, что перенормировка сводится к вычитанию полюса по б и замене д. Произвол в выборе параметров д и /i можно зафиксировать с помощью выбора условия нормировки. При этом параметр ц, связывают с точкой нормировки /л2 — р2, а параметр д - со значением вершинной функции в точке нормировки



gW = F(^gjP)\p=fx. (1.16)

В произвольной точке вершинная функция равна



=g'lg2ln^. (1.17)




izumzum.ru